二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1、学习必备欢迎下载（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题一、知识归纳：1 .二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式 Ax + By +C > 0在平面直角坐标系中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）.对于在直线 Ax + By +C = 0同一侧的所有点（x, y）,实数Ax + By +C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0, y0）,从Ax0 +By0 +C的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域 .（特殊地，当CW0时，常把原点作为此特殊点）2 .线性规划：求线性目标函数

2、在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。3 .线性规划问题应用题的求解步骤：（1）先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；（2）作出相应的图象（注意特殊点与边界）（3）利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数 z = mx + ny的最大（小）时，直线 mx + ny=0往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。二、学习要点：1 .掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域的确

3、定方法。2 .对线性目标函数 z = Ax + By中B的符号一定要注意：当B a 0时，当直线过可行域且在 y 轴截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当B<0时，当直线过可行域 且在y轴截距最大时，z值最小，在y轴截距最小时，z值最大。3 .如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一 般就是多边形的某个顶点。4 .由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误。 三、例题分析：例1 .画出不等式2x+y-6 <0表示的平面区域.点（2,t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是 .x 一 y 5 ：二

4、0 画出不等式组(x + y 0 0表示的平面区域x .3 -4y < -3例2.设x, y满足约束条件：3x +5y <25 ,分别求下列目标函数的的最大值与最小值:x至1(1) z=6x+10y；(2) z=2x y；(3) z =2x y ( x, y 是整数)；(4) co =x2 +y2 ；(5)缶=y-x 1例3.甲乙两个粮库要向 A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表：路程/km运费(元 t,km)甲库乙库甲库乙库A镇20151212B镇2520108(1)这两个粮库各运

5、往 A、B两镇多少吨大米？才能使总运费最省？此时总运费是多少?(2)最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少？例4.预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍。问桌子、椅子各买多少才合适?四、练习题：（一）选择题:1 .不等式x-2y之0表布的平面区域是2 .满足不等式y2 -x2 >0的点（x, y）的集合（用阴影表示）是3 .若函数y = ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域（不含边界）为D.2x - y +1 >04 .不等式组x-2y-1

6、40表示的平面区域是 x y -1A. 一个正三角形及其几个内部C.在第一象限内的一个无界区域B. 一个等腰三角形及其内部D.不包含第一象限的一个有界区域x - y 1 _ 05.如果实数x、y满足条彳y十1至。，那么2x y的最大值为x + y +1 <0A. 2B. 1C. -2D. 3x -2 <0,6.已知点P (x, y)在不等式组y-1W0,表示的平面区域上运动，则z=xy的取值范x 2y-2 _ 0围是A. 2, 1 B. -2, 1C. -1, 2 D. 1, 2一一 227.双曲线x -y =4的两条渐近线与直线是fx-y_0ix-y_0A. (x + y 至0

7、B. x 十 y E00_x_30_x_3x=3围成一个三角形区域x - y _ 0I 'C. <x + y E 0 D.0 _x _3，表示该区域的不等式组j_x - y - 0I 7x y _ 00 _x_3x y - 2 _0,8.在平面直角坐标系中，不等式组« x - y+2之0,表示的平面区域的面积是x <2A . 4 72B. 4C, 272x20y >0_ ,9.在约束条件下，当3MsM5时，x y - s y 2x - 4目标函数z =3x +2y的最大值的变化范围是A. 6,15B. 7,15 C. 6,810 .已知平面区域 D由以A(1

8、,3)、B(5,2卜C(3,1 )为顶点的三角形内部和边界组成，若在区 域D上有无穷多个点(x, y可使目标函数z = x + my取得最小值，则 m =A. -2B. -1C. 1D. 4(二)填空题：11 .点P(a,4)到直线x2y+2=0的距离为2 45 ,且P在3x+y-3 > 0表示的区域内，则a =工x - y 1 . 012 .不等式组4x+ y T6 £0表示的区域中，坐标是整数的点共有 个。x > 0, y 013 .某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋 24千克，价格为12

9、0元.在满足需要的条件下，最少 要花费 元.y -x14 .设变量x、y满足约束条件,x + y > 2 ,则目标函数z=2x+y的最小值为 y >3x -6x y . 4 ¥15 .已知点P(x,y)的坐标满足条件y y之x ，点。为坐标原点，那么|PO|的最小值等于 x -1,最大值等于.(三)解答题：16 .某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤A产品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电 力供应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值？17 .某运输队公司

10、接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天 往返的次数为 A型卡车4次，B型卡车3次。每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元，B型车504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本最低？18 .某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资 30万元组成。已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中， 金融投资不超过160万元，房地产投

11、资不超过180万元，那么这两 种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？（五）二元一次不等式组与简单的线性规划问题参考答案三、例题分析：例1画出不等式2x+y-6v0表示的平面区域.解：先画直线 2x+y-6=0 （画成虚线）.取原点（0, 0）,代入 2x+y-6,2X0+0-6=-6<0,原点在2x+y-6v0表示的平面区域内，不等式2x+y-6v0表示的区域如图:点（-2,t）在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是_（t>2/3）.x - y 5-0画出不等式组（x+y之0表示的平面区域.x <3解：不等式x -y+5 > 0表示直线x -y+5=

12、0上及右下方的点的集合，x+y>0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，xW3表示直线x=3上及左方的点的集合 不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：x -4y - -3例2.设x, y满足约束条件：<|3x+5yW25,x .1分别求（1） z=6x+10y；（2） z=2x y； （3） z=2xy（x, y 是整数）；（4）8=x2 + y2 ；(5)8=-的最大值与最小值。x 1解：(1)先作可行域，如下图所示中AABC的区域，且求得 A(5,2)、B(1,1)、C(1,22)5作出直线l0:6x+10y=0,再将直线10平移，当10的平行线11过点B时，可使z =6

13、x+10y达到最小值；当I。的平行线12过点A时，可使z = 6x + 10y 达到最大值。故 zmin =6x1 +10x1 =16 , zmax =6父5 + 10父2=50(2)同上，作出直线10:2x-y=0,再将直线|0平移，当10的平行线11过点C时，可使z=2x-y达到最小值；当10的平行线12过点A时，可使z = 2x-y达到最大值。ntt 12人Zmin =, Zmax =85(3)同上，作出直线10:2x y = 0,再将直线|0平移，当10的平行线12过点A时，可使z =2x y达到最大值，Zmax =82222当10的平行线11过点C时，可使z=2x-y达到取小值，但由

14、于一不是整数，点C(1,)55不是最优解，当10过可行域内的点(1,4)时，可使z = 2x-y达到最小值，Zmin=-2(4)缶表示区域内的点(x,y)到原点的距离的平方。则(x,y)落在点B(1,1)时，缶最小，(x,y)落在点 A(5,2)时，。最大，故 comin=2, 8max =25 + 4 = 29(5)切表示区域内的点(x, y)与点D(1,0)连线的斜率。则(x, y)落在点A(5,2)时，切最小,22111(x, y)洛在点C(1,=)时，切取大，故切min=；,切max="7535例3.甲乙两个粮库要向 A、B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出

15、80吨大米，A镇需70吨大米，B镇需110吨大米，两库到两镇的路程和运费如下表：路程/km运费（元 t，km）甲库乙库甲库乙库A镇20151212B镇2520108（1）这两个粮库各运往 A、B两镇多少吨大米？才能使总运费最省？此时总运费是多少?（2）最不合理的调运方案是什么？它使国家造成的损失是多少?例3.解：设甲粮库向 A镇运送大米X吨，向B镇运送大米y吨，总运费为z元，则乙粮库向A镇运送大米（700 -X）吨，向B镇运送大米（110-y）吨，目标函数是z-12 20x 25 10y 15 12 (700 -x) 20 8 (110 - y) 60x 90y 30200<x + y

16、<100 + y < 100其中线性约束条件是:(700 -x) +(110 -y) <80 即 x + y >100'0 <x <70'|0<x<70y-0y -0可行域如右图。当x=70,y =30时，总运费最省zmax=37100元当x = 0, y =100时，总运费最不合理 zmin =39200元。答：甲粮库要向A镇运送大米70吨，向B镇运送大米30吨，乙粮库 要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元。最不合理的调动方案是甲粮库要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米100吨，乙粮库要向A

17、镇运送大米70吨，向B镇运送大米10吨，此时总运费为39200 元，使国家造成损失 2100元。例4.预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能的多。但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍。问桌子、椅子各买多少才合适？解：设桌子、椅子分别买x,y张，共买z=x + y张，依题意，得x三yy E1.5x50x 20 y < 2000x, y N可行域如图。x = y,口，得200x 二200，即人岬翠 y-yi5x，得50x+20y =2000x=257575,即 B(25=)y = 7250x+20y =200075由2=乂 + 丫，即直线y

18、 = x+z平移得知，当直线过点 B时，即x = 25, y = -时，z最大。由于yw N ,故y =37答：买25张桌子、37张椅子时是最优选择。四、练习题：一、选择题：1. D. 2. B. 3. C. 4. B. 5. B. 6. C. 7. A. 8. B. 9. D. 10. C.二、填空题：11. a= ; 12. _10 个；13. _500元.14. _3_ 15 . _V2 _,_ VT0_.解析：227.双曲线x -y =4的两条渐近线方程为 y=±x,与直线x = 3围成一个三角形区域时有x - y - 0 I x + y 之0。0 < x <3x

19、+y=s x=4s9 .由 3y =3交点为 A(0,2),B(4s,2s 4),C(0,s),C'(0,4),y+2x=4、y = 2s4(1)当3 ws <4时可行域是四边形 OABC ,此时，7 <z<8(2)当4MsM5时可行域是 OAC此时，zmax=8故选D.10 .解选Co由A(1,3)、B(5,2 )、C(3,1的坐标位置知，MBC所在的区域在第一象限，故八八，1z 、一 人一,1x >0, y >0 o 由 z=x +my 得 y = x + ,它表不斜率为 一一。 m mm. z 11 -3(1)右mA0,则要使 z = x + my取

20、得取小值，必须使一取小，此时需-一 = kAC=mm 3 -1即 m =1;z 一， 一 11 -2(2)若m < 0,则要使z = x + my取得最小值，必须使一最小，此时需-一=kBC = mm3-5即m =2,与m < 0矛盾。综上可知，m =1。13.解：设需35千克x袋，24千克y袋，则目标函数z=140x + 120y元，约束条件为35x + 24y 之 106 t 71，当 x=1 时，y 之一，即 y =3,这时 Zmin =140+1203 = 500x, y w N24三、解答题：16 .某厂生产A与B两种产品，每公斤的产值分别为 600元与400元.又知每生

21、产1公斤A产 品需要电力2千瓦、煤4吨；而生产1公斤B产品需要电力3千瓦、煤2吨.但该厂的电力供 应不得超过100千瓦，煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最大产值？2x 3y <10016 .解:设生产A与B两种产品分别为x公斤，y公斤，总产值为 Z元。则 0x + 2y <120 x _ 0, y _ 0且 z =600x 400y作可行域：作直线l: 600x+400y=0,即直线l: 3x+2y=0,把直线l向右上方平移至11的位置时，直线经过可行域上的点 A,且与原点距离最大， 此时z=600x+400y取最大值.解方程组2x+3y=100一，得A的坐标为x=20, y=20-2x + y =60答：生产A产品20公斤、B产品20公斤才能才能使产值最大。17 .某运输队公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6t的A型卡车与