傅里叶级数课程习题讲解

1、第15章傅里叶级数§15.1傅里叶级数一 基本内容、傅里叶级数f (x)在哥级数讨论中nanxn 1,可视为f (X)经函数系1, X, X2, L , Xn, L线性表出而得.不妨称1，X，X2，L ,xn,L 为基，则不同的基就有不同的级数.今用三角函数系作为基，就得到 傅里叶级数1三角函数系函数列coSX, sinX, c0s2K sin 2KLic0snX, sinnX, L称为三角函数系.其有下 面两个重要性质.(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性 任意两个不同函数的积在,上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在为 Un(X)

2、,Um(X)，可积的函数系un(X)： X a, b, n 1,2，L,定义两个函数的内积bUn(X)Um ( X)d Xal 0 m n Un(X),Um(X).为正交系.如果0 m n ,则称函数系un(X): X a, b, n 1,2,L由于 1, sinnX 1 sin mX, sin nXcosmX, cosnX sin mX, cosnX.1, 112 dxsinnXdX 1 cosnx d x 0sin mx sin nxd xcosmx cos nxd xsin mx cosnxd x2m n0 m n .m n0 m n .0所以三角函数系在,上具有正交性，故称为 正交系.

3、利用三角函数系构成的级数a。一 an cosnx bn sin nx2 n1称为二角级数，其中a0 , a1, bl ,L , an ,bn ,L为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在,上可积，ak1：f (x),coskx1-f(x)coskxdxk °,1,2,L .1.1bk ： f (x),sin kxf (x)sin kxd xk 1,2,L ,称为函数f (x)的傅里叶系数，而三角级数a。2称为f(x)的傅里叶级数，记作an cosnx bn sin nxf(x)an cosnx bn sin nx1f(x)按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知这里之所以

4、不用等号，是因为函数 其是否收敛于f(x).二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2为周期的函数f(x)在，上按段光滑，则a。an cosnx bn sin nxn 1f(x 0) f(x 0)其中an,为f(x)的傅里叶系数.定义2如果f(X)Ca, b,则称f(x)在a，b上光滑.若x a,b), f (xx (a,b, f (x且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点.推论如果f(x)是以2为周期的连O 段光滑，则 x R,0)，f (x O)存在；°), f(x °)存在，f(x

5、)在a，b上按段光滑.J二上按定义3设f(x)在(f(x) a有2 n1,上有定义，函数an cosnx bn sin nx?(x)f(x)f(x 2k )(,(2k,2k,k1, 2,L称f(x)为的周期延拓.习题解答解：1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 f(x) x, (i)x , (ii) 0x2.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得a0f(x)d xxdx 0an1时,xcosnxdx nxd(sin nx)所以(ii)、xsin nx|xsinnxdx1xcosnx|f(x)sin nxdx 0xd(cosnx)cosnxdx(1)n 1- n，)为所求.n其按段光

6、滑，故可展开为傅里叶级数.n11)n 1 sinnxx (由系数公式得a。f (x)d x1 2 xdx 21时,i 2anxcosnxdx20 xd(sin nx)2xsin nx|0sin nxdx 0bnxsin nxd x所以(2)2o xd(cosnx)1xcosnx nf(x)f (x) =2|0sin nx2 cosnxd x n(0,2 )为所求.(i)-n< x< 为(ii) 0 < x< 2 %ao解:其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得112一 f (x)d x xdx1时，121一 x cosnxd x 一 n2x d(sinnx)1

7、2x nsin nx|2xsin nxdx22 nxd(cos nx)xcosnx|cosnxdx (1)ntnx-1-xsinnx| nsin nxd xx2 d(cosnx)xcosnxdx2cosnx|xd(sin nx)sin nxdx 0所以2f(x).n sin nx1)-,n x (，）为所求.n解:1其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得a。f (x)d x2x2dxan1时,1 20x2 cosnxdx2 ,x d(sin nx)bi所以12x n2sin nx| o2xsin nxd x2T n2T n2° xd(cosnx)2xcosnx| 01x n

8、f (x)sin nxdx2cosnx | 022 n22 n2T n4 cosnxd x nx2 d(cos nx)xcosnxdxxd(sin nx)2xsin nx|022n2sin nxdx0axcosnxsin nxx （°，2 ）为所求.f(x)(a b, a0,b 0)bx0x由系数公式得a。,1f(x)d x 一0axdx I0bxdx(b a)21时,anax2 cosnxd x0 bxeosnxdx1n a b1)nbnaxsin nxdxbxsin nxdx所以(1)f(x)n(b a)2(ba)2 cos(2n 1(2n 1)21)x(a b)(n 1n 1

9、sin nx 1)-,）为所求.2设f是以2为周期的可积函数，证明对任何实数.1 一、 ,-f (x)cos nxdx f (x)cos nxdx,n 0,1,2,L21bnf (x)sin nxd x - f (x)sin nxdx,n 1,2,L证:因为 f (x), sin nxcosnx都是以2为周期的可积函数，所以令 t x 2有.1f (x)cosnxdx -c 2 f (t 2 )cosn(t 2)d(t 2 )c+21f (t)cosntdtc+2f (x)cosnxdxan 从而n1an f (x)cosnxdxf (x)cosnxdx1一 c f(x)cosnxdx1 f

10、(x)cosnxdx 一c+2f (x)cosnxdxf (x)cos nxdx同理可得bn1 f (x)sin nxd x f (x)sin nxdx把函数f(x)展开成傅里叶级数并由它推出(1)(2)111113117解：函数f(x)11 13 171y32O23 xaaoi,)作周期延拓的图象如下.x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得1,101dx 04a0f (x)d xdx o当n 1时,an10,1, ccosnxdx 一 cosnxdx 040 41101sin nxd x 一41)n121n一 sin nxd x0 4n 2k 1n 2k,0) U (0,)为所求.

11、(2),1f (x)sin(2n 1)x, x (故n12n 1x1取 2 ,则4111一 1 由 43 5 7 1于是3 4 12_ 1 1 工12 3 9 151 1工工 L5 7 11 13 17121_ _/31 1±x 、，1 一、 ,取x 3 ,则 4)d x 一 0 f (x)cosnxdx5 7 11 13 1731 1 1 ± ± ± L所以 65 7 11 13 17.4设函数f(x)满足条件f(x )什么特性.f (x),问此函数在内的傅里叶级数具有为周期的函数.解：因为f(x)满足条件所以 f(x 2 ) f (xf(x ) f

12、(x),)f(x),即 f (x)是以 2于是由系数公式得1,10,1,a0 f (x)d x f (x)d x 。f (x)d x1,1,0 f (t)dt 0 f (x)d x1,1,-0 f (t 2 )dt 0 f(x)dx1 1-o f(t )dt ° f (x)d x 0当n 1时，101f (t )cos(nxan 一 f (x)cos nxdx 一 o f (x)cos nxd x1 (1)n1f (x)cosnxdx一 ° f (x)cosnxdx n 2k 10n 2k,1 01bn 一 f (x)sin nxdx 一。f (x)sin nxdx0 f

13、(x)sin nxdx n 2k 10n 2k内的傅里叶级数的特性是故当f(x) f(x)时，函数f(x)在b2k 05设函数f(x)满足条件：f(x ) f(x),问此函数在 ，内的傅里叶级数具有 什么特性.解：因为f(x)满足条件f (x ) f(x),所以f(x 2 ) f(x ) f(x),即f(x)是以2为周期的函数.于是由系数公式得1,1 0 ,1,a0f (x)d x f (x)d x 一 ° f (x)d x1 10 f (t )dt 0 f(x)dx1 ,1,-0 f (t 2 )dt 0 f(x)dx1 120 f (t )dt 0 f (x)d x 0 f (x

14、)d x当n 1时，1 0 一、,1 一、 ,an- f (x)cosnxdx 一 0 f (x)cosnxd x1 o f (t)cos(nx n )d x1一 0 f (x)cosnxdx1 ( 1)n0 f (x)cosnxd x2 一、，-0 f (x)cosnxdx2k01 0 . f (x)sin nxdxn 2k 10 f (x)sin nxdxf (x)sin nxdxn 2kn 2k 1b2k 1故当f(x ) 0f(x)时，函数f(x)在内的傅里叶级数的特性是a2k 10 ,6试证函数系 他们合起来的却不是cosnx, n 0/2,L和sinnx, n 1,2,L都是0,上

15、的正交函数系，但 0，上的正交函数系.证：就函数系1,cosx, cos2x, L , cosnx, L,因为n, 小dx01-0 (cos2 nx1)d x 2 ,cosnx,cos nx2.cos nxdx 01,cosnxm, n mcosnxd x0n时,cosmx,cosnx.0 cosmxcosnxdx11-0 cos(m n)xdx -所以1, cosx, cos2x, L ,0 cos(m n)xdx就函数系sin x，sin 2x, Lcosnx, L 在0, ,sin nx, L 0上是正交系. 2,sin nxd xsin nx,sin nxsin nxd x -(1 c

16、os2nx)d x 一02 02 ,n时,sin mx,sin nxsin mxsin nxd x01 cos(m2 0、，1，、，八n)xdx - ° cos(m n)xdx 0所以sin x, sin2x, L , sinnx, L 在0,上是正交系.但1, sin x, cosx, sin2x, cos2x, L , sin nx, cosnx, L 不是 0,上的正交系.1,sinx sin xdx 1 0实因： ,;07求下列函数的傅里叶级数展开式解:其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得1 22ao,1f (x)d x x , 八dx 02an1时,1 * 2x

17、 .cosnxd x2x .、-d(sin nx)2n2sin nx|o2n2sin nxdx 00x°x 、-d(cosnx)所以(2)解:2nf(x)x .一 cosnx|f(x)sinnx2ncosnxdx(0,2 )为所求.1 cosx,其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.f(x)x .f(x) 1 cosx2 x2sin 2因为所以由系数公式得,2sin-2a。f(x)d xan.xsin dx2sin -d x024.21时,.5.x .sin-cosnxdx22. x , sin-cosnxdx024 2(4n2 1)xsin cosnxdx2_2x_.sin -sin

18、nxdx22. x ., sin-sin nxdx02f(x) 所以1；cosnx 4n2 1f(时，0)2f(0)f(12.2 4.2 f (x)故n 1 4n解：f(x)ax2bx由系数公式得c, (i) 0一 cosnx1xx 2 , (ii),为所求.a0f (x)d2(axbxc)d x8 2a32b2c1时,I 2an/ 2(axbxc)cos nxd x/ 2(ax2bx c)sin nx| o(2axb)sin nxdxbn4a-2n1 20/ 2(axbxc)sin nxdx(ii)a。(ax2bx2c)cos nx 102° (2ax b)cos nxdx2,f

19、(x) ax bx由系数公式得f(x)d x1时,1(ax2 bxbn4 2a c34acosnx1 n4 a 2b .sin nx, x (0,2 n)为所求./ 2(axbxc)d x2Ja 2c3c)cos nxdx(ax2 bx c)sin nx|(1)4a-2 n(ax2(ax2(2axb)sin nxdxbx c)sin nxd xbx c)cos nx |(2 ax b)cos nxd xnf(x) ax2 bx2 2a八n 4a1) 2 cosnx n八 n 2b .,1) sin nx, x ( n)为所求.(4) 解：f (x) ch x, 由系数公式得aof(x)d xc

20、h xdx2sh1时,ch xcosnxdx所以bn所以ch xsin nx|sh xd(cosnx)-shxcosnx|(1)n 2shT nsh xsin nxdxanbn1)n2sh(n2 1)chxsin nxdxchxcosnx|shxd(sin nx)-2sh xsin n1-shxsin nch xcosnxd xchxd(cosnx)shxcosnxdxnx|nx|f(x)故chx2 sh解：f (x) sh x,ao由系数公式得1f(x)d x1an 一1时,chxsinnxdxchxsinnxdx1)n 12 cos nx n 1sh xdxshxcosnxdx 0bn)为

21、所求.bn所以shxsin nxd xLhxcosnx n1)n 1Ash nshxd(cosnx)| chxcosnxd xn1 chxd(sinnx) n1)n1)nf (x) 故解:12 shn2shn1)nshxchxsinnx| nn1-shxsinnxdx4bn n1 2nshx(n21)1)n1 2nsh zsin nx(n2 1),)为所求.f(x)求函数2(3x2 6x2122)的傅里叶级数展开式并应用它推出由"x)2axbx4 2a c 34acosnx n4 a 2b sin nx, nx (0,2f(x) /x 61 cosnxn 1 n1cosnxn 1 n

22、(0,2 )2而 f(0 0)f(20)故由收敛定理得f(0 0)f(220)口 cos01 n设f(x)为上光滑函数，f ()f() ,且an, bn为f(x)的傅里叶系数,an ,bn为 f(x)f (x)傅里叶系0,an n*, bnna (n 1,2,L ).证：因为f(x)为上光滑函数，所以f (x)为上的连续函数，故可积.由系数公式得a。1,f (x)d x1 ,-f( ) f( )0f (x)cos nxdx1时,1,一 f (x)cos nx|f (x)sin nxdx nbn1bn 一 f (x)sin nxdx1 , f (x)sinnx|f (x)cos nxd xnan

23、故结论成立.一(an cosnx bn sin nx)10 证明：若三角级数2 n 1中的系数an，bn满足关系sup n3an , n3bnMn, M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.u(x)包,、.证：设 2 , Un(x) an cosnx bnSinnx, n 1,2,L .则n 0, un(x)在R上连续，且U0 (x)0,Un(x)nanSinnxnhcosnx亦在r上连续.又 xRUn(x)n an sin nxnbn cosnxn ann bn2M-2 n .2M _12-而 n收敛，所以Un(x)nbn cos nx nan sin nx 在 r 上一致

24、收敛s(x) 包(an cosnx bn sin nx)故设2 n 1，则s (x)( nan cosnx nbn sin nx)un (x)n 1n 1s (x)( nan cosnx nbn sin nx)且 n 1在R上连续.§15. 2以21为周期的函数的展开基本内容一、以2l为周期的函数的傅里叶级数ltx设f(x)是以2l为周期的函数，作替换，则ltF(t) f -是以2为周期的函数，且f (x)在(l, l)上可积F(t)在(, )上可积.于是mWancosntn 1bn sin nt其中x一得从而其中F (t)cosntdt,F(t)ItbnF (t)sin ntdtf

25、(x)n xsin nt sin,cosntn x cosl ,a0 f(x)：万an cosn xTn x bn sinlanbnn x f (x)cos dx,ln x f (x)sin dx上式就是以2l为周期的函数f(x)的傅里叶系数.在按段光滑的条件下，亦有f(x 0) f(x 0) a0n x n x an cos bn sin 22 n 1ll其只含余弦项，故称为 余弦级数.同理，设f(x)是以2l为周期的奇函数，则 f(x)cosnx 奇， f(x)sin nx 偶_1 ln x ,anf (x)cosd x 0l要展开为余弦级数必须作偶延拓.%x)f(x) x (0,l)偶延

26、拓f( x) x ( l ,0),函数f(x),x (0,l)要展开为正弦级数必须作奇延拓.奇延拓枚x)f(x) x (0,l)f( x) x ( l,0)习题解答1求下列周期函数的傅里叶级数展开式由于f(X)8sx (周期);f(x)按段光滑,解:所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦l因 2 ,所以由系数公式得2 24 24a0 - cosxdx 2 cosxdx 一0_02当n 1时，an一 cosxcos2nxdx _22o2cos(2n 1)x cos(2njcosxcosznxdx1)xd xx (，)为所求.1 1sin(2n 1)x| 2 sin(2n 1

27、)x| 2 (2n 1)|0(2n 1)|0(1)n 2( 1)n 1 2114( )(2n 1)(2n 1)(4n2 1)2bn一 cosxsinnxdx 02f (x) cosx ( 1)n 11cos2 nx故n1 4n2 1,(2) f (x) x x(周期 1);1 1x ,解：函数f(x) X X,2 2延拓后的函数如下图.l因 2,所以由系数公式得-11a0 2 21 x x dx 2 x x dx 2 xdx 12当n 1时,an121 x x2cos2n xdx 2 0 x x cos2n xdx1xcos2n01一 xsin2nn122212x xxdx1x|0sin 2n

28、10xd(cos2 nx cos2 n x nf (x) xxf(x)sin4解:由于x)aoan1|010 xd(sin2n x)1sin2n xdx 00xdx1xsin2n0xd x0 cos2n1-sin 2n1 n);xdx)为所求.函数 f (x) sin4 x延拓后的函数如下图.f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又2 2f(x)是偶函数，故其展开式为余弦,所以由系数公式得2.4.4sin xdx 一202sin4xdx -0221 cos2x . dx1cos2x 21cos4x 8dx -4 .1时,f (x)1 cos2x21 cos4x8cos2nxd x1,nco

29、sx sin nxd x 0_一 4sin x3 1c 1,- -cos2x - cos4x)为所求.(4) f(x) sgn(cosx)(周期 2 ).解：函数f(x) sgn(cosx) , x (,)延拓后的函数如下图.O<?-2匚由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f (x)是偶函数，故其展开式为余弦,所以由系数公式得，、，2aosgn(cosx)d x 一 0 sgn(cosx)d x 01时,0 sgn(cosx)cosnxdx2 2cosnxdx0cosnxd x24sinn2k4sinn1)k4(2 k1)2kf (x)sgn(cosx)sin nxdxsgn

30、(cosx)1)0n cos(2n2n 11)xf(x)求函数3的傅里叶级数并讨论其收敛性.解：函数f (x),f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又由于x (0,3)延拓后的函数如下图.f(x)是偶函数，故其展开式为余弦ao2 3/ 0 f(x)d x 31时，1xdx02dx132(3x)d xan1 2nxcos03x一 dx2cos12n xd x332 (3 x)cos2n3x .dx11 xdn 01 . 2n sin -sin n3c 222n3f(x)4n32n x sin2n cos32n2 cos31 2n xsini 31sin032(3 x)d.2n x sin3

31、3-2-2 cos2n22n32 nf (x)sin nxdx12 nf (x)将函数f (x)3 n1 . 2nsin 1 . 4nsin 2n x亍3-(3 n2n x37222ncos2 n37222n3 . 2n x . sindx1 . 4n一 sin 2n xcos2n2 231 cos n2n2n cosx在0，上展开成余弦级数.4n cos-3)为所求.O3522222xx 0，作偶延拓后的函数如下图.2解：函数y由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数,又2x32f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得dx当n 1时,2cosnxdxx sin nx sin nxd

32、x 0 n 02 cos nx nbn42 n0f(x) 2f (x) 将函数n 2k 1n 2kn I(2n 1)2cos(2n 1)x, x 0,xcos一x解:由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又2在0,上展开成正弦级数.f(x)是奇函数，故其展开式为正弦由系数公式得an0，n 0，1，2，cos n x cos n12x .bncos-sin nxdx21 x dx21一 sin n01x sin n28n(4n2 1)f(x)故在0，上x cos28 n2 sin nxn 14n2 1为所求.在(0，4)上展开成余弦级数.解:由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，

33、又f(x)5把函数f(x)是偶函数，故其展开式为余弦因l 4 ,所以由系数公式得a040f(x)d20(1x)d x42(x3)d x 0所以1时,an2一(1 nf(x)6把函数40 f (x)cosn x , dx420 (1 x)cos42(xn x3)cosd x4x)sin2sin02(x n3)sin 44 n x sind x24n x cos4n 2cosf(x)2 cos4k1)n162 n4kcos1(2n 1)2(2n1) x2为所求.1在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出11.6 12 L2232解:函数f (x),x (。，船延拓为以2为周期的函数如下图.由于f(x

34、)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其展开式为余弦4 ,所以由系数公式得a012 0 f (x)d x12 0(x1)2d x an 21时,10(x1)2 cosnxdx(x 1)2sinn x n10 (x 1)sin n xdx2y(x 1)cosn x n1cosn xdx042 nbn0(x 1)2所以1 令x 0得i2cosnx, x 0,1 i n1411,二 2-2-2二7求下列函数的傅里叶级数展开式f (x) arcsin(sinx).(1) ，解：函数 f(x) arcsin(sinx)是以2为周期的函数如下图.y由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里

35、叶级数，又f(x)是奇函数，故其展开式为正弦3 n 1 n ,即 n 1 n 6由系数公式得an0, n 0,1,2,L2 bn.o arcsin(sinx)sin nxdx2 xsinnxdx0-( x)sin nxdx22xcosnx n0 cosnxd x, n 12 k4n cosnxdxx)cos nx02 cosnxdx4n2kn sin 一2k 1所以(2)解：由于一、 .，. 、4f (x) arcsin(sin x)一(1)n sin(2n 1 (2n 1)21)x x Rnf (x) arcsin(cosx)f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(x)是偶函数，故其

36、展开式为余弦由系数公式得a。2一 0 arcsin(cosx)d x 0当n 1时，22V C"Van - 0 arcsin(cosx)cos nxdx _ 0 - x cosnxd xsin nx0sin nxd x00 n 2kn 2k 10, n 1,2,L41f (x) arcsin(cosx) -2 cos(2n 1)x所以n 1(2n 1), x R .0，"内，使他们的傅里8试问如何把定义在2上的可积函数f(x)延拓到区间叶级数为如下的形式a2n 1cos(2n 1)xb2 n 1sin(2n 1)x(1) n1;(2) n 2bn 一 f (x)sin nx

37、dx 0当n 1时，0' '解：(1)先把f(x)延拓到【°，上，方法如下：f (x)0 x -f (x)2f ( x)- x2再把f(x)延拓到0,2 上,方法如下：?(x) f(x)0 x由于f(x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f(2 x) x 2f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得2a0- 0 f (x)d x 02丁，、,一° f (x)cos nxd x2 22 °f (x)b2nlsin(2n 1)x所以n 1 f (x)cosnxd x f (x)cos nxdx-222 . 02 f (x)cosnx cos(n

38、nx)d x43°2 f (x)cos nxdx n 2k 1n 2kf (x) 所以a2n 1cos(2n 1)x x °,n 12(2)先把f(x)延拓到0,上,方法如下.f(x)f(x)f( x)再把f (x)延拓到1°，2由于f(x)按段光滑,所以可展开为傅里叶级数，又上，方法如下.f(x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得a°22 °f(x)dxbn1时,2°1an 一°2° f (x)cosnxdx °f (x)sin nxdxf (x)sin nxdx2nx)d x2 22 °

39、2 f (x)sin nxd x 一2 02 f (x)sin nx sin(n4 °2 f (x)sin nxd x n2k 12kx °,-2§15. 3收敛定理的证明基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1设f(x)在, 上可积，则2 ao 22anf 2(x)d x其中不,6为f(x)的傅里叶系数.推论1设f(x)在, 上可积，则推论2limn设f(x)在f (x)cos nxdx 0 lim n,上可积，则f (x)sin nxdxlim f (x)sin n n 0 0lim f (x)sin nn-xd x 0 2xdx 02定理2设以2为周期

40、的函数f(x)在，上可积，则Sn(x) 7ak coskx bksin kxf(xsin n t2t)-dt2sin - 2此称为f(x)的傅里叶级数的部分和的 积分表达式.f(x)在,上按段光滑，则二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理)设以2为周期的函数limnf(x 0)2f(x 0)2Sn(x)定理4如果f(x)在,上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则f(x 0) f(x 0)2a02an cosnx bn sin nx定理5如果f(x)在,按段单调，则an cosnx bn sin nxf(x 0) f(x 0) a022习题解答f(x)的傅里叶级数在1 设"x)以2

41、为周期且具有二阶连续的导函数，证明(,)上一致收敛于f(x).证:由题目设知f (x)与f (x)是以2为周期的函数，且光滑,bnf(x)f (x)a。a。(an cosnx1bnsin nx)a。an1时,(an cosnxn 11 f (x)d x _bnsin nx)f( ) f()1 f (x)cos nxdx1 , 一 f (x)cos nx|1一 f (x)sin nxdx1,一 f (x)sin nx|anbn邑巴2 anf (x)sin nxdx nbnf (x)cos nxd xnanbn21 / 2 (an2bn2n由贝塞尔不等式得(an2n 1bn2)收敛,又1n 1 n收敛,邑从而2anbn收敛,a。故2(an cosnx bn sin nx)在()上一致收敛.上可积函数，证明:f的傅里叶级数在