傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质应用

1、1. 前言1.1 背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于 A 函数类的函数转化属于 B 函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变换。 分析信号的一种方法是傅立叶变换， 傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成 分 。 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家Pierre SimonL

2、aplace(拉普拉斯) ( 1749-1827 )在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品概率分析理论之中。即使在19 世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时也是一位电气工程师的 Oliver Heaviside 奥利弗亥维赛( 1850-1925 ) 在电学相关问题之中引入了算子运算， 而且得到了不少方法与结果，对于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉斯变换的相关理论，拉普拉斯变换

3、相关理论的继续发展也是得益于算理理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别与联系。1.2 预备知识定理 1.2.1 (傅里叶积分定理)若在(-OO, +OO)上，函数f (。满足一下条件：(1)在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；(2) f+：|人。|也 <十8,即，Q)在(-OO, +OO)上绝对可积;则的傅里叶积分公式收敛，在它的连续点t处在它的间断点上处1yenX ./(£ + 0) + /(£ - 0)石J/可行2定义1.2.1 (傅里叶变换)设函数

4、，满足定理1.2.1中的条件，则称/二£”«)同为f(t)的傅里叶变换，记作丁0) = 1。定义1.2.2 (傅里叶级数)设函数山周期为T,则它的傅里叶级数为：Qf+ Efr(t) = - + £ (ancns<i)t + bMsinfot)2 R = 1如 Cis =下刖=J22-f + P r/y(t)co£H3td1 (n = 1,2,3,)2 r-氏=亍 + J -sin nd）tdt （n = 123）一 2定义1.2.3 （傅里叶逆变换）145/（t） = I2江-8定义1.2.4 （拉普拉斯变换）若函数八上）满足出积分收敛，那么该积分

5、记作上/=I e V（Odto式中s为复数，c融为积分核，上式称为拉普拉斯变换.定义1.2.5 （拉普拉斯逆变换）f（t）称为F（s）的拉普拉斯逆变换f（t）=£-1|/定义1.2.6 （卷积）假如？ l（t）和？ 2（t）是（-8, +OO）上面有定义的函数，则/J： ?1（ r） ?2（t- T ）d T称为？ 1（t）和?2（t）的卷积，记为？ 1（t）* ?2（t）?1（t）* ?2（t） J： ?1（ r） ?2（t- T ）d T2.傅里叶变换的性质及应用2.1 傅里叶变换的性质性质2.1.1 （线性性质）设口，0 为常数，BO） =丁?）,吃3 = 丁?2（t）则：网&

6、quot;而+觞=同+ 0久（3）.”心3）+既工3）| ="（。+ 02（。性质2.1.2 （位移性质）设下，（。1=下（3）,则fa±to）i=ia>W（o卜一团"丽卜/皿'切性质2.1.3 （微分性质）设下（3）=刃/（£）, f（t）在（E，由）连续或可去问断点仅有有限个，且lim / （t） = 0,则：巾©】二如”3）。用n»i =（讪尸尸®）。证明由傅里叶变换的定义有小,J国+8+8（t） = f（Oe-u>t|+-m-8+ cnI 5飞=如心1）J - tn性质2.1.4 （积分性质）设叩

7、“（3）,若,lini-* + m<(t)dt = 0m则:丁(f«)a =证明因为Jf =3故由微分性质得即丁(f Q)dt =ilu)定理2.1.1 （卷积定理）如果员侬）二力入1,%W）二下历（3,则有:尸/1。）*九（。1 = 3（公）无（3）步UF3A F式=2%力证明=/刊式以=f二厂+ n>oo+ Efi(T)dr8+ r历2F/2(t - r)e dt+ m*f2(t - r)e _rd(t -r) dz-8+ OT03)/(02-山岳 =F13)F式w)一 8性质2.1.6 （Parseval恒等式）如果有F（则有If产d/I c*8|F(tu)|2dd

8、j这个式子又叫做Parseval等式。2.2 B函数及其傅里叶变换定义2.2.1 （6函数）满足:(1) 5(0 ='0,8*0、=0.(2) J t)dt = 11- co的函数是5函数定义2.2.205%）函数）满足: 6(1o) =fO, t t0>8, tr 1 on J S(t-to)dt = lM - co的函数是5。-"）函数。定义2.2.3 （b函数的数学语言表述）贡小 一,0«t «T,ttU时，彷的极限叫做5函数，记作lim 也二7定义2.2.4 （5（t-跖）函数的数学语言表述）8r(t - to) = F0. 其他,TT。时,

9、济（t-fo）的极限叫做3（5电）函数,记作6?曾"-3性质2.2.1 （8函数的筛选性质）对任意连续函数f（t）,有OTr + mI6（E -皿=Ato）性质2.2.23函数的相似性质）设a为实常数，则：16（" ,）二面。© C& 至 0）定义2.2.5 （单位阶跃函数）5函数是单位阶跃函数在t羊。时的导数咐二我（。这里m t» q 心）=。E称为单位阶跃函数。性质2.2.3 3函数的傅里叶变换）因为J卜E-8（ Mt -= 2 -加1=% = C 7.” - <n所以尸F6（。： 1, 5（t - t0）：v 皿F 1 手：*即可上）

10、和1,方Q-o）和"叫分别构成了傅里叶变换对。2.3傅里叶变换的应用2.3.1 求微分积分方程依据傅里叶变换的性质2.1.1,213,对需要求解的微分方程的两边 取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种 解法的步骤，是解这种类型的微分方程的主要方法。例 2.3.1求积分方程的解g(a),其中解该积分方程可改写为TT2+ onno2IT*(t)为的傅里叶正弦逆变换，故有:叫TL彳= I 式ntsinsEdto ZJ o1 fffsin（i）n=-I cos （1 - dj）t - cos （1 + w）

11、tdr =-2 J 0 . J例 2.3.2求积分方程r + sg（t） = h。） + J f（T）g（£ - T）dT,其中f«）, “t）是已知函数,而且f（D，虱0Mt）的傅里叶变换存 在。解 设于优= G（s）, 一= 一（“ 由定义1.2.6 （卷积）可知，方程右端第二项=£）*gQ）。故对方程两边取傅里叶变换，根据卷积定理可得：G（w）=心）+ F（3>所以心）由傅里叶逆变换，求出原方程的解：1 r 1/"HQ9。）= I G®）廿 J w = I-i'd 3""' 2kJ _w i &#

12、39;2nJ _1 -F（w）例 2.3.3求微分积分方程+ 卜二代)+ J = ht的解，其中- 8<t<+8, H. b* C均为常数，h（t）为已知函数解 根据傅里叶变换的性质2.1.1 （线性性质），性质2.1.3 （微分性质），性质2.1.4 （积分性质），且记以=女3）；下皿加=h（3）对原方程两边取傅里叶变换：。.心,缸。）+上注值）+ 前位.三。:而上式的傅里叶逆变换为* SX(w)?wtt/wcn2.3.2解偏微分方程例2.3.4 （一维波动方程的初值问题）用傅里叶变换求定解问题：02 u d2u-=；.-oo < X < + m, t > 0

13、dt2 dx2u|f - 0 = cosx, du五|工=0 =兑吟解 由于未知函数U（%f）中.t的变化范围为（-8，+8） 故对方程和初值条件关于，取傅里叶变换，记尸也0，=t),T - =t)=t),dK hfd2ud2d2，TT =71 n(工，t) = U(iy, t), drdrdriJHXSbr=川狄3 + 1) + 丹(3 - 1)1 ,|fs£nx=可*3 + 1) - d'(JD - l)|e定解问题已经改变为求含参变量3的初值问题:U2U ,7J 3dt2Uh = 0 =+ 1) + 双切-1)*0 =充JW(回 + 1) - 5(o> - l)o

14、U®. t)是一个关于t的二阶常系数齐次微分方程，求得通解为d Ut) = Cisin Mt + c2cos 心”，由初值条件可知:Kc'l = 4- 1) - 1)? Q =兀6(3 + 1) 4- d(w - 1 )因此初值问题的解为:加 1/sin s中3 - 1)U(/ar t) =+ 1) - 6(fi)- l)stn a)t + 1) + 5(w - l)cos Mncos(x)t + /sin 白叱卜(3 + 1) + 卜Coe(i)c -对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质2.2.4 e函数的筛选性质） 原定解问题的解为:-1) e 73t<=cos (t

15、 - x)u(Bt)=LU3)=打ticos u)t + ;s«n 3tjb(3 + 1) + Ineos a)t /sin3tjb(3铲i一次emdco = sint-F cost= sintsinx + costcosx2j23.拉普拉斯变换的性质及应用3.1 拉普拉斯变换的性质性质3.1.1 （存在性）假如在0, + 8）这个区间上广可以满足如下的条件：（1） 在任意的一个有限的区间上面/, （t）分段连续；（2） 3M >0. M是常数，co>。，使得则在半平面Rf（s） A仃上，存在，由这个积分确定的F（s）解析。性质3.1.2 （线性性质）设匕，k2是常数，q

16、f/OXFiGQ qf/okQ*）则:+心外=g+ kF於）.W 囱 Fl"） + 七/= %"（）+ 七卜#）.性质3.1.3 （微分性质）若©/«）= F（s。，且/连续，则:=sF(5)- f(0) (Re S>c)更一般的,?nCZ+,有：|£|/N(t)l = snF(y)-炉 ¥(0) - sn _r YO) (R 八 >c)更一般的,?nCZ+,有：£(r(01 = S"F(S)- %" Tf(0 -) - S'f,-歹(0 一)- T(。一)证明由拉普拉斯变换的定义，分

17、部积分法得:+ 00=/(t)e stl5 + SJ 0 叼=lini /(t)e Kt - /(0) + s F(s) 工T + 6=”-f(0)性质3.1.4 (积分性质)若£|f(t)=F(s,)，则：£/；/«)项=?。证明令h= /-a)见则ha)r(d,ho)= o|,则:£，(£)= s£h(t) - ft(O) = s£Ji(t),r if L0s¥性质3.1.5 (延迟性质)若4汽£)l=F(S), t<0时/0)=。，则？ p>0, p为常数，有:M(t7)=|e-sF 定

18、理3.1.1 (卷积定理)如果Fi=即,巳=£Q(。，那么改伉叮2间=/%或者口 归&1=/逆)*心证明由定义有：* /=f 八)0=Jq Jo/i(r)/2(t-r)dT e-srdt由于二重积分绝对可积，可交换积分次序：, 4 8p rcn1£71(0*f2(0- J 门 JY圮74CdJ 0 LJ T令XL队+ on+ 6f2（f -= I+TJ 0=2 "F <5）故：r + slACt）*A（01= I 3（t“ 八）or i s=F2（s） I AGLPt J o=%&3.2应用3.2.1 解线性微分方程（组）解线性微分方程及微分

19、方程组的基本思路如下微分方程+初始条件代数方程“*原解«£-变换像解 |例3.2.1 （线性微分方程）求v + v=u（t -b）（b> 0）满足初始条件y（。）=火 的特解解对方程两端取拉普拉斯变换，得像方程1 、sY（s） - j0 + Y（s） = -e "于是*=s(s + 1) + S4- 1取逆变换，得|y(t) = 1 - c "叫&(£-»)+儿？'Hyoe Q 0 « t < b 1 +。L*)£一，tNb例3.2.2 (常系数线性微分方程组) 求% + V + z =

20、 1 x + y + 2 = 0 卜y+4z = 0满足双0) = y(0)=乳0) = 0的解解 设疔#(叨=*,而=的,酮。=Z对每个方程两侧取拉普拉斯变换，得像方程组：f1sX(s) + ys) + sZ")="1 x(s)+ w(s)+-6)= o1y(s)+ 44=o解得：4s2 - 111p()=."-TTo对每个像函数取逆变换:=1-cht1=券九£ - U例3.2.3 （变系数线性微分方程组）求tx + (1 -+ # = 0(t>0. n > 0)满足壮0)二=。的解 解 由性质3.1.3 （微分性质）可知d.1=-s2Jf

21、(5)- SJC(0) - X (0)jKAtl a1=-2sX(s) - s2X ($)对原方程两边做拉普拉斯变换得:s2X (s) + (1 +心-lX(s) = 0解这个分离变量方程:i将展开为收敛的幕级数，而后逐项取拉普拉斯变换:4.傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系对于函数f t ,设t 0时，三o,当6足够大时，函数f t e t的傅里叶变换就有可能存在， 即网/厂叫二J，2信+:di- GO0再根据傅立叶逆变换可得1 丁 + 6/(»的二而Jf /。把 小？4co记.¥ = /，+加，1；(、)=叫，注意到ds = id* 于是可得/1 + E1 广2 + 10C/(t)e “dt，/(t) -| F(s)ards o27n J ” i<n当R«5)= 0.I实际上就是f t的傅里叶变换，所以在一些时候把傅里叶变换称为拉普拉斯变换的特殊情形。引入B的缘故是：f t不一定可以符合傅里叶变换的狄利克雷条件，而/'厂出在/；足够大时能够符合傅里叶变换的条件。f t的拉普拉斯变换的本质是ra)e叫的傅 里叶变换，对于f t来说，这种变换改变了傅里叶正变换里的原函数(原函数乘以指数衰减函数项)，同时也改