全国初中数学联合竞赛试题及答案

1、2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、选择题(本题满分 42分，每小题7分)1 .计算 4/3+272 J41 +24了 = (B)(A) 72-1 (B) 1 (C) 22(D) 2m222 .满足等式(2-m)=1的所有实数m的和为(A)(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 63 .已知AB是圆。的直径，C为圆。上一点，/CAB = 15,/ABC的平分线交圆O于点D,若 CD = /，贝U AB= (A)(A) 2 (B)褥(C) 272(D) 324 .不定万程3x +7xy2x5y-17 =0的全部正整数角(x,y)的组数为(B)(A) 1(B) 2 (C) 3

2、 (D) 45矩形ABCD的边长 AD=3, AB=2, E为AB的中点，F在线段BC上，且BF: FC=1: 2,AF分另1J与DE, DB交于点M, N,则MN= (C)(A)班(B)妪(C)期(D)比571428286.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为(B)(A) 33(B) 34(C) 2013(D) 2014二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1 .已知实数 x, y,z满足 x+ y =4, z +1 =xy +2y -9,则 x + 2y +3z =43 ，2 .将一个正万体的表面都染成红色，再切割成n (n

3、 2)个相同的小正万体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 83 .在|_ABC 中，/A=60,/C =75,AB =10 , D, E, F分别在 AB, BC, CA上，则L DEF 的周长最小值为三$.一、一 2, 2, 2,一一4 .如果实数 x, y,z满足 x +y +z -(xy + yz+zx)=8 ,用 A 表小 x- y , y-z , z-x 的最大值，则A的最大值为4.6第二试(A)一、(本题满分 20 分)已知实数 a,b,c,d 满足 2a2+3c2 =2b2+3d2 =(ad bc)2 =6，求 2222(a +b Xc

4、 +d )的值。解：设 m=a2+b2,n=c2+d2,贝U 2m+3n = 2a2+2b2+3c2+3d2 = 12.222因为(2m +3n ) =(2m -3n ) +24mn 之24mn ,即 12 24mn,所以mn ,6又因为 mn =(a2+b2 Xc2+d2 )=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 (2由，可得 mn=6.即(a2 +b2 cc +d2 )=62.3 r , 八一就是一组。3注：符合条件的实数 a,b,c,d存在且不唯一，a = J2, b=1,c =，6,d =3、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆。上，过点B9PB .，点P,连AC,若OP =

5、 AC ,求的值。2AC解：连OC,因为PC, PB为圆。的切线，所以/ POC=Z POB又因为 OA=OC所以/ OCA=/ OAC又因为/ COBW OCA廿 OAC 所以 2/POB=2 OAC 所以/ POBWOAC 所以 OP/ AGAC AB又/ POB=/ OAC 所以 L BAC_ POB ,所以一C =。OB OP一一 9 一 一又OP = AC , AB=2r, OB=r (r为圆O的半径)，代入可求得22 OP=3r,AC= r.3在Rt|_POB中，由勾股定理可求得 PB =JOP2 -OB2 =2仿。PB 2、. 2r 二 所以=3。2 。AC 2 r3、（本题满分

6、25分）已知t是一元二次方程x2+x-1 = 0的一个根，若正整数 a,b,m使得等式（at+m /bt+m ）=31m成立，求ab的值。解：因为t是一元二次方程x2+x-1=0的一个根，显然t是无理数，且t2=1-t。等式(at +m xbt +m )=31m即 abt2 +m(a + b )t + m2 =31m ,即 ab(1 -t )+m(a +b )t +m2 =31m ,即 一m(a +b)abt +(ab + m2 _31m ) = 0.因为a,b,m是正整数,t是无理数，所以m a b - ab = 0,V 于是可得2ab m - 31m = 0,a + b = 31 m,2a

7、b = 31m - m .因此，a,b是关于x的一元二次方程 x2+(m 31)x + 31m m2 = 0的两个整数根，该方程22的判别式：=m-31 一4 31m m)=：i31 m 31-5m _ 0.31又因为a,b是正整数，所以a+b=31m0,从而可得00又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m =8符合要求，把 m = 8 代入得 ab = 17m - m2 =72 o-17,从而可得0 ：二m - 2二、(本题满分25分)在AABC中，ABAC, O、I分 别是AABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OL求证：(1) OI / BC;(2)SOC - SOB =2SOI

8、 。证明（1）作 OM BC于 M IN，BC于 No设 BC=a,AC力，AB=C。易求得 CM=1a , CN=1（a+b-c）,所以 mn=cm-cn=：（cb ）=oi,又MN恰好是两条平行线 OM, IN之间的垂线段，所以 OI也是两条平行线 OM, IN之间的 垂线段，所以 OI/ MN所以OI / BG（2）由（1）知OMNI是矩形，连接 BI, CI,设OM=IN=r （即为AABC的内切圆半径）SAOC -S_AOB =S AOI S_COI - S_ AIC -S AIB -S AOI -S BOI=2sLAOIAIC - SAIB = 2S AOIOI r八 1一1OI

9、r AC r -AB r=2SAOI1 .1r I OIb -c22=2S_ AOI .（本题满分25a,b,c 满2-ac2 a2 -b22bc2ca,22222,2b c -a c a -b2bc2ca2-2a b2ab22a b -c2ab2-c 的值。-3解：由于a,b,c具有轮换对称性，不妨设 0a+b,则 c-ab0,c-ba0,从而得:b：=12a2bc2bc1,222c a -b2ca(c -a 2 -b22ca1,2.22.22a b -a a b -c /二-1 ： -1, 2ab2ab6-2,22 7 ,2,2 2、2 2 2,22 弋ma b +c ac +a -b a +b c 八 f所以 + + 3 ,与已知条件矛盾。I 2bc j i 2ca j 1 2ab y(2)若ca+b,则 0c-ab,0c-ba,从而可得：b2 c2 - a22bc二122c -b -a2bc：【222c a -b2ca2ca：【222a b -c2ab2，a - b - c二1 2ab1,222a b -a.22a b -c2ab2ab所以A 2 ,22 、2b +c -a2,2, 2 2+ c +