例谈过程与反思的教育价值

1、例谈“过程”与“反思”的教育价值-线段和最小问题的联想的学习思考绍兴市柯桥区实验中学 单国炎、缘起2015年4月24日绍兴市柯桥区初三数学中考复习研讨会在安昌中学举行，精彩的课堂与专业的讲座让每位老师获益匪浅，尤其蒋老师线段和最小问题的联想的精彩课堂演绎与浙江省数学教研员许芬英老师的专业点评，深深吸引了与会的每位老师，触发了我对如何展开探究过程，恰当提炼反思的教育思考，以下是笔者的学习思考，与大家分享。二、亮点与点评2.1回归课本，开发教材课题引入：如图，直线l表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发让马去河边饮水，然后返回于B地家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最

2、短？作出这条最短路线.点评1：选题恰当，拓展教材。专题复习课上什么？老师们都在积极探索，蒋老师无疑给大家指出了一个实用的选题方法，这也是近期中考考查学生经验积累与应用能力的一个重要方面。问题情境取自课本题和作业本题，使学生感到“熟悉”，通过解决一个问题，及时归纳，建立数学模型，梳理方法步骤，过程高效，经验积累有效。体现数学复习课应重视基础，重视教材，更应研究教材，开发教材，使复习变得鲜活。旧题重现，积累经验，“授人以渔”。通过数学活动，引导学生建立数学模型，归纳问题解决的知识与方法，充分体现模型思想，引导学生积极转变学习方式。2.2凸现探究，增长学力。问题探究一 (1)如图,BC=6cm，以B

3、C为直径作O，D是半圆BC的一个三等分点，E是半圆BC的一个六等分点，P是直径BC上一动点，连接DP、EP，则DP+EP的最小值是 cm. （2）如图，BC=6cm，以BC为边作ABC，点D、E分别是AB、AC边的中点，且BC边上的高为4，BC边上有一动点P，使得PDE周长最小.学生独立完成后回答，关键点处老师适当作强调，很轻松完成探究的过程，感受模型的作用，强化模型的再现与创造。及时挖掘学习作业中积累的经验，揭示模型在各种图形背景下的应用，以PPT投放，学会举一反三。点评2：探究积累，积极转变学习方式。对一个“二定一动型”最值问题进行两次递进探究，一是两条线段之和最小值，直接应用模型解决;

4、二是三角形周长之和最小值，看似较难，其实线段DE由三角形中位线定理可知是确定的线段，可转化为问题一解决。一个小小的变式，体现的是转化的数学思想。呈现的是对学生“基本思想、基本活动经验”的认识、理解、解释、应用与拓展。问题探究二 如图，一个底面半径为1cm，高度为 cm的无盖圆柱形玻璃容器，A、B两点在容器顶部一条直径的两端，现有一只小甲虫在容器外部A点正下方1cm的M处. （1）若容器外部B点正下方，距离底部1cm的N处有食物，则这只小甲虫要到N处，最短爬行的距离 cm. （2）若N点是在容器的内部，则小甲虫最短爬行的距离是 cm. 蒋老师将平面图形最值问题过渡到对立体图形中最值问题的探究，两

5、步设计到位，问题1体现立体图形问题转化成平面图形问题，再用模型求解；问题2设计巧妙，更进一步，将两个异侧定点变成两个同侧定点，需要找准对称轴，构造Rt，再用勾股定理求解。问题探究四 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B为（6,4 ），点C为（0,4)，点D（6,2），P（2,4).（1）若点N为线段AO上的动点，求线段PN+ND的最小值？（2）点N仍然为线段AO上的动点，又有点M为线段CO上的动点，求线段PM+MN+ND的最小值？（3）若点M、N分别为线段BC和AO上的动点，求线段PN+MN+MD的最小值？ 点评3：重视数学应用与数学思想，培养学习能力。蒋老师

6、重视探究和过程教学，充分体现教学方式的转变。以循序渐进的方式，步步深入，充分应用模型展开探究性学习，帮助学生打开思维的空间，提高学习的能力。关注学法，引导学生合理转变学习方式。数学思想是数学学科的灵魂，展示思维课堂的本色。三、课堂商榷课堂无论多么优秀，总有那么一点遗憾，留给我们思考。对于问题探究三教学过程的处理，蒋老师对难点（化动点为定点）处理不够到位，学生思考的时间，空间不够，没有达到预期的效果。商榷如下：问题探究三 已知：如图1，ABC中，点P、Q分别是BAC的平分线AD,边AB上的两个动点，C=,BC=6.（1）若=45,求PB+PQ的最小值.（2）若=70，求PB+PQ的最小值.（3）

7、 若=90，如图2，点E在边AB上，且AE=2EB,求PE+PQ的最小值.此问题设计，由浅到难，从特殊到一般化，注重数学应用的能力培养，将常见的“二定一动”变异为“二动一定”，思维难度较大。第（1）问，B 是定点，P，Q是动点，不能直接应用模型，如何转化是此处的难点。蒋老师让学生回答，学生解答不了，然后动画演示，让点Q动，作Q关于AD的对称点Q，当点B，P，Q共线时，是否达最小值？学生回答说当BQAC时最小。疑问：审视本题，如果仅仅从假设Q是定点去思考，容易得到问题的解决，但失去了问题的探究价值和教学价值，因为如何探寻到作哪个点的对称点，关于谁对称，问题的核心与难点。我国传统的数学教育过分强调

8、问题的分析与解决，义务教育课程标准.数学将实验稿中课程目标之一的“解决问题”变为“问题解决”，其意义远不是两个词位置的交换，而在于课程理念的变化，试问：如果没有问题的发现与提出，那么又分析什么，解决什么？没有探究到正确的画法，又证明什么？因此，从某种意义上说，探究发现重于演绎推理。因此老师们提出：1.一般是将定点对称，此题为什么不选点B作AD对称点？2.如何确定选哪条直线为对称轴？3.为什么BQAC时最小？（这里涉及到第二个数学模型即点到直线，垂线段最短）。建议：化解本题难点的过程需要给足探究的时间和空间。蒋老师仅让一位学生含糊地说了一下，马上用动画演示直观表达了思考的过程，虽然问题解决了，但

9、方法与能力内化不足。若让学生做一做，画一画，尝试解决，再交流，说理。还可以展开一题多解。充分展示探究与反思过程，引导学生既关注数学结果，也关注探究过程，既注重探究发现，也重视演绎推理，既学会数学直观，又形成理性精神，并通过反思优化数学思维，若能如此，岂不美哉！ 四、教学反思义务教育数学课程标准倡导积极思考、动手实践、自主探索的数学学习方式，强调数学教学过程中要鼓励学生自主探究，引导学生主动地从事观察、实验、猜测、推理等 数学活动，探究式教学活动就成了数学教学中不可或缺的重要形式。课标指出：在教学中要处理好过程与结果、直观与抽象、直接经验与间接经验的关系。探究式教与学要帮助学生积累几何探究的活动

10、经验，引发学生的思考 ，激励学生的创造性思维，发展学生的几何探究能力。在几何探究活动教学中，教师应该注意哪些方面呢？我的思考如下：第一，探究发现需要直观。史宁中先生认为：“对于数学来说，几乎所有的结果是看出来的，而不是证出来的。如“网格问题”为几何直观提供了有效载体，如本课中探究问题一，二，通过“画对称点，构造马饮水模型”，将动点问题直观化，更易思考，用勾股定理求最短距离。第二，眼见未必为实。“几何直观”结合 “基本活动经验”解决一类最短值问题给了我们经验和方法，但未必正确。如探究问题三中，对于将动点Q点关于AD作对称点Q,当B,P,Q三点共线时，BQ不是最短距离 。自然会质疑：点Q还会动吗？

11、何时会更短？当BQAC时最短。这中间就蕴含了逻辑推理。这些都需要质疑的精神，某种意义上说，对数学的方法、结论的质疑与理性思考是数学精神的具体化，数学精神就是理性精神，数学直观为解决本题助了一臂之力，而这种直观却又基于理性精神数学知识与逻辑推理。第三，数学直观基于数学知识和经验。如本课中的几个探究问题涉及到垂直与平行概念，中垂线性质，圆的性质，三角形全等、矩形、正方形的性质，勾股定理、图形面积公式，数形结合思想、转化思想等知识是、经验、思想、方法“如何会看出结果，需要凭借经验、凭借思维方法”这种活动经验和思维方法，就是对数学结果的预测与估计能力、对图形与数值作出迅速判断的能力、根据代数式（方程、

12、不等式、函数）等的结构特征作出相应的决策能力、对空间图形的想象能力、透过数学现象洞察数学本质属性的能力、对相近或类似问题类比联想、归类与融合能力。教者只有将探究发现与演绎推理有机结合，在引导学生的探究过程中潜移默化地培养学生的质疑能力、推理能力，让学生的创新智慧在理性精神中完美升华。第四，思维源于问题反思。数学教育的核心是思维发展，反思是一种能力、一种习惯，更是一种思维品质，培养数学反思能力，可以提炼思想方法，理清思路脉络，优化思维结构，使数学思维得到真正发展，真正实现数学解题在学习中的价值。一是反思使画法优化。当两定点，一动点求最短距离时，往往可以将其中一个定点作关于动点所在直线的对称点，选

13、择哪个点作对称，关系到图形的简洁美观，也关系到直观思考的容易与否。二是反思使思路开阔，探究问题三中，可以作Q关于AD 的对称点Q,也可以作点B 关于AD 的对称点B,相比之下，前者图形更加直观简洁，画法更加易于操作，思路更加流畅明快，推理更加直接清晰，然而思路是在探索和反思基础上的逐步开阔的，因此，引导学生对解题过程与结果进行反思是教学中不可或缺的重要环节。三是反思使思维升华，反思的过程也是思维不断升华的过程，通过反思，不仅优化了画法、开阔了思路，还形成了解决一类问题的策略，强化了数学思想方法。如探究问题四的解决在潜移默化中强化了数形结合的思想、化归的思想、图形变换的思想。第五，结果寓于过程之

14、中。有这样一种现象：课堂上教师讲得酣畅淋漓，学生听得点头称是，可面对新问题还是一筹莫展，重要的原因还是教师的教忽视数学知识的形成过程、问题的探究过程，数学规律、结论是教师按照自己的“精心预设”单向、直线灌输，而不是学生自主探究发现。数学学习必须追求有过程的结果，课程标准强调：课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”“数学在其发展过程中，走过漫长而曲折的道路，它不断修正过自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向”，带着学生经历题意的分析、思路的突破、思维的优化、过程的反思等过程，一起经历“避开弯路”、“绕过死胡同”，完成“再发现”的曲折过程，学生的思路在师生互动交融中从模糊到清晰、从无序到有序、从繁琐到简洁，充分体验到了思维顿悟的愉悦，或许这个过程有些漫长，但学生在这个过程中品尝到了探索的曲折与艰辛，享受到了获得成功的喜悦，感悟到了数学的思想、方法、策略。附件5：柯桥区教育教学论文评比承诺书学 科初中数学题目内容例谈“过程”与“反思”的教育价值-线段和最小问题的联想的学习思考教师姓名单国炎性别男出生年月1973.12职称中学高级单位全称绍兴市柯桥区实验中学单位地址绍兴市柯桥区实验中学邮