概率论习题册问题详解中国地质大学

1、标准文案概率论习题册答案第一章随机事件及其概率§ 1.1 样本空间与随机事件一、 计算下列各题1 .写出下列随机实验样本空间：(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只(取出后不放回) ，直到将3只次品都取 出，记录抽取的次数；(3) 一只口袋中有许多红色、白色、 蓝色乒乓球，在其中抽取 4只，观察它们具有哪种 颜色；(4)有A, B,C三只盒子，a,b,c三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一 只球，观察装球情况；(5)将一尺之棒折成三段，观察各段的长度。解 1 (1) 3,4,5，,18;(2) 3,4,5，,10；(3

2、) R,W,B,RW, RB,WB, RWB;其中R,W,B分别表示红色，白色和蓝色；(4) Aa,Bb,Cc;Aa,Bc,Cb;Ab, Ba,Cc;Ab,Bc,Ca; Ac,Bb,Ca, Ac,Ba,Cb其中Aa表示a求放在盒子A中，可类推；(5)(x, y, z) | x >0, y >0, z >0, x +y +z =1其中 x, y, z 分别表示三段之长。2 .设A,B,C为三事件，用 A,B,C运算关系表示下列事件：(1) A发生，B和C不发生；(3) A,B,C均发生；(5) A,B,C都不发生；(7) A,B,C中不多于二个发生；解(1) ABC ; ( 2

3、) ABC ; ( 3)(2) A与B都发生，而C不发生;(4) A,B,C至少一个不发生；(6) A,B,C最多一个发生；(8) A, B,C中至少二个发生。ABC; (4) A+B+C； (5) ABC ;大全ABC； (8) AB+AC+BC(6) ABC+ABC+ABC+ABC ； (7)3 .下面各式说明什么包含关系？(1) AB=A ; (2) A + B=A; (3) A+B+C=A解(1) AUB；(2) AnB；(3) AnB 纪4 .设 C =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A =2,3,4, B =3,4,5, C =5,6,7具体写出下列各事件： AB, (

4、2) A+B,(3) AB,(4)ABC , (5) A(B +C).解 (1) 5 ； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10; (3) 2,3,4,5;(4) 1,5,6,7,8,9,10;(5) 1,2,5,6,7,8,9,10。5.如下图，令 A表示“第i个开关闭合" ，i=1,2,3,4,5,6,试用A , A2,，人6表示下列事件，(1)系统I为通路，(2)系统H为通路。系统I系统n解(1)A1A2 A3 A4(2)A1A5 * A1A 2 A 3 A 4 + A6 A3 A4 * A 6 A 2 A 5。§ 1.2 事件的频率与概率一.填空题1 .设事件

5、A, B的概率分别为0.5 , 0.6 ,且互不相容，则积事件AB的概率P(AB) = 0;2 .设随机事件 A,B及其和事件A+B的概率分别是0.4、0.3和0.6 ,若后表示B对立事件，那么积事件 AB的概率P(AB) = 0.3;3 .已知 P(A)=0.4, P(B)=0.3,(1)当 A, B互不相容时，P(A+B= 0.7; P(AB= 0(2)当 B+A时，P(A+B= 0.4 ;P(AB= 0.3;4 .若 P(A) =a, P(B) =B, P(AB) =¥, P,+B)=1-g; P(AB) = b - g ;P(A+B) =1 8 +丁 o、选择题1 .若二事件

6、A和B同时出现的概率 P(AB)=0则(C)(A) A和B不相容；(B) AB是不可能事件；(C) AB未必是不可能事件；(D) P( A)=0或P( B)=0.2 .对于任意二事件 A和B有P(A_B) = (C )(A) P(A)_P(B);(B) P(A) _P(B)+P(AB);(C) P(A) -P(AB) ;(D) P(A) +P(B) +P(B) -P(AB).3 .设A , B是任意两个概率不为 0的不相容的事件，则下列事件肯定正确的(D)(A) A与 B 不相容；(B)AWB 相容；(C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A).4 .当事件A B同时

7、发生时，事件 C必发生则(B)(A)P(C) ,P(A) P(B)-1;(B)P(C) , P(A)P(B) -1;(C)P(C) =P(AB);(D)P(C)=P(AB).三、计算下列各题111.已知 P(A) =P(B) =P(C) =, P(AB) =0,P(AC) = P(BC)=，求事件 A,B,C全不发 416生的概率。解 P(ABC)=P(A B C) =1 P(A B C)3 1=1 _P(A) P(B) P(C) -P(AB) -P(AC) -P(BC) P(ABC) =1_4 882某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%卖甲报，16%卖乙报，14%卖丙报，其中8%意

8、读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%意读乙和丙报，又有 2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。解 设A, B, C分别表示读甲，乙，丙 报纸P(A B C) uP(A) P( B) P(C) -P(AB) -P(AC) -P(BC) P(ABC) u0.2 0.16 0.14 -0.08 -0.05 -0.04 0.02 R.353 .某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业.某学生通过口试概率为 80%通过笔试的概率为65%至少通过两者之一的概率为75%问该学生这门课结业的可能性有多大？解 A= "他通过口试”，B= "他通过笔试”，则 P(A)=0.8, P(

9、B)=0.65, P(A+B)=0.75P(AB尸P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为70%4 .向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025 ,其余二个各为0.1.只要炸中一个，另两个也要爆炸.求军火库发生爆炸的概率。解设A、R C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则P(D尸P(A+B+C尸P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、证明题试证 P (aB +Ab)=P (A) +P (B) -2P (AB).证 P (AB +AB) =

10、P (AB)十P(AB) -P(ABAB) =P(A B)+P(B -A)= P(A) _P(AB) +P(B) -P(AB) =P(A) + P(B) -2P(AB)。§ 1.3 古典概型与几何概型一、填空题1. 一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为 ;122 .一批(N个)产品中有M个次品、从这批产品中任取n个，其中恰有个m个次品的概率是 cmcnC/cN ；3 .某地铁车站，每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6;4 .在区间(0, 1)中随机地取两个数，则事件“两数

11、之和小于-”的概率为0.68;55 .将G C、E、E、I、N、S七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率为1/1260;6 .在区间(0,1 )中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1的概率为-。2±二、选择题1.张奖券中含有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是(B)(A)二；(B)CnCk1 -Tck(C)Cn(D)k cr1 CmC k r工Cn2.掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是(B)1113(A) -；(B) -；(C) -；(D)-.3244三、计算下列各题1 .已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取

12、一只，作不放回抽样, 求下列事件的概率。(1)两只都是正品 ；(2)两只都是次品;(3) 一只是正品，一只是次品;(4)至少一只是正品。解(1)p1=± = 28；Cw 45(2) P2210145P3C101645(4)P4 =1 - P2 =11 4445 45都不在星期天的概率是多少?3) 8人生日不都在星期天的概率是多少?2 .把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。解所求概率p=65! =.10!42686 811 8(2)外=尹=,1；某学生宿舍有8名学生，问(1) 8人生日都在星期天的概率是多少？ (2) 8人生日 P3 =1m=1 、7。4 .从0

13、 9中任取4个数构成电话号码(可重复取)求：(1)有2个电话号码相同，另 2个电话号码不同的概率 p;(2)取的至少有3个电话号码相同的概率q。12.2解(1) p = 10 ： 9 =0.432 ；10C110C3A9 +C；0104= 0.0375 .某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05，每100个产品为一批，检查产品质量，则这批产品可以认为是合格的 .,求时，在每一批任取一半来检查，如果发现次品不多于一个一批产品被认为是合格的概率p。=C；5+C5 c949解 可以认为一批100个产品中有5个次品,基本事件总数=c；0。，有利的基本事件数C5C1C49所求才率p = c95C5C

14、9550C1006 .随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求(1)每个班各分一名优秀生的概率p (2) 3名优秀生在同一个班的概率q。15!解基本事件总数有5种5! 5! 5!(1)每个班各分一名优秀生有3!种，对每一分法，12名非优秀生平均分配到三个班中3 12分法总数为二2种，所以共有 曳竺种分法.所以 p =4迫=竺.4! 4! 44! 4! 4!151915! 5 5!(2)3 名优秀生分配到同一个班，分法有3种，对每一分法，12名非优秀生分配到三个班3 12!中分法总数为-2,共有"2L种，所以q =25詈=_6。2! 5! 52! 5! 5!1

15、8915! 5! 5X轴的夹角小于-的概率。41 2一 二 a ,27.随机的向半圆0 <y <U；2ax -x2- 一：a 8.设点(p,q)随机地落在平面区域D: | p| <1, | q| < 1上，试求一元二次方程2x +px+q =0两个根(1)都是实数的概率,(2)都是正数的概率。 ( a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域 的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与解这是几何概型，样本空间占有面积为所以，所求概率所求事件占有面积为 17： a2 -a242解（1）方程两根都是实数 u p2 4q >0,即q <- p2,2p 1)dp 13

16、方程两根都是实数的概424（2）方程两根都是正数u2p -4q _ 0, p ： 0, q . 0,0 p2dp1方程两根都是正数的概率=14148§ 1.4条件概率三、计算下列各题1 .某厂的产品中有 4%勺废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。解令 A = "任取一件是合格品”B = "任取一件是一等品”P(AB) =P(A)P(B | A) =(1 -0.04) M0.75 =0.72。2 .设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8 ,活到25岁的概率为0.4,求年龄为 20岁的这种动物活到 25岁的概率。解 设A

17、= "该动物活到20岁”，B = "该动物活到25岁”P(B|A)=迪二*.5。P(A) 0.83 .在100个次品中有10个次品，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到 正品的概率。解 Ai= "第i次取到正品" i =1 , 2, 3, 4.109890一 一一一 =0.00069P(A1A2 AA4)=P(A)P(A | A)P(A3 |A1A2)P(A4 I AlA2A3)100 99 98 974.比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6若比赛进行了两局，甲以 2： 0领先，求最终甲为胜利者的概率。设B=

18、 “最终甲胜”，A= "第i局甲胜”P(B| A1A2)二P(BAiA2)P(AiA2A3) P(AiA2 A3 A4)P(AiA2 A3A4A5)P(AiA2)P(Ai)P(A2)33320.60.60.4 0.60.40.62= 0.936四、证明题1.若 P(A) >0, P(B) >0,且 P(A| B) >P(A)证明 P(B| A) >P(B)。因为 P(A|B) >P(A),则 P(AB) >P(A)= P(AB)>P(A)P(B)P(B)P(AB) P(A)P(B)P(A)所以 P(B| A)J J =p(b) oP(A) 一

19、，一 P (A)2.证明事件A与B互不相容，且 0<P(B) <1,则P(A| B) = P 'A1 -P (B)P (A | B)=P(AB) P(A)P(B) 1 -P(B)§ 1.5 全概率公式和贝叶斯公式计算下列各题1.三个箱子，第一个箱子里有4个黑球1个白球，第二个箱子里有3个黑球3个白球,第三个箱子里有3个黑球5个白球，求（1） 随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率；（2）已知取出的一个球为白球,此球属于第二个箱子的概率。解 A = "在第i箱取球" i=1, 2, 3,B ="取出一球为白球”3(1) P(

20、B) - P(A)P(B|A)i 111.13.15"zX3 5 3 6 3 853120(2) P(Az|B) =P(A2)P(B|A)3 2 _20P(B)53120532.设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3 ,从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。解设A= 取得的产品为正品Bi ,i =1,2, 3分别为甲、乙、丙三厂的产品P(B1)=0.5 , P(B2) = 0.3, P(B3)=0.2, P(A|B1)=0.9, P(A | B2) = 0.8, P( A

21、 |B3) =0.73所以 P (A) =£ P(B p(A Bi 卜0.83。 i ±3 . 一群人中有37.5 %的为A型血型，20.9 %为8型，7.9 %为AB型，33.7 %为。型,已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血Bi，i =1,2,3, 4分别表示A,B,AB,O型血型者，问输血者能成功的概率是多少？“、 输血者受血者 'A型B型AB型。型A型VXVVB型XVVVAB型XVVV。型VXXV解设人=输血成功贝U P(B1) =0.375 P(B2) = 0.209P(B3) =0.079P(B4) =0.33

22、7P(A|B1) = P(B1) + P(B4) =0.712同理可求出P(A| B2) = 0.288, P(A|&) = 0.663, P(A| B4) = 14则 P(A)=? P(Bi)?P(ABi) 0.717。4 .已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有 0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 B = 从人群中任取一人是男性 , A = 色盲患者因为 P(B)=p6)=0.5P(A|B)=5%, P(A| B) =0.25%P(A)=P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) =0.5 0.05 0.5 0.0

23、025 =0.02625所以P(B| A)=P(B)P(A| B)P(A)0.5 0.05 200.02625215 .某一工厂有A,B,C三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %,每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %,如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是A, B,C车间生产的概率。解 A、B、C分别表示A、B、C三车间生产的螺钉， D= "表示次品螺钉”P (A) =25%P (B) =35% P (C) =45%P (D | A) =5%PAD ”P (D |B) =4%P (D |C) = 2

24、%25 525 5 35 4 40 2=25"69P A P D AP A P D A P B P D B P C P DC同理 p（b|d）=h ； p（c|d）49。6 .某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为 12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学 生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p. （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q.解 设Ai ="抽取的学生是i班的"，i =1,2,3,Bj ="第j次抽到未献血的&

25、quot;，j =1,2,1121贝U P(A) =, i =1,2,3. P(Bi|Ai)=, P(Bi|A2)=, P(BJA3)=, 345531 33 443(1) P=P(Bi)=，P(A)P(Bi |A)=( )=一. i 壬3 45560121-1241 P(Bz|A), P(B21A2)=, P(B2 1A3)= , P(B1B2|A)= 45516 15 5P(B1B2 1A2)=1525101x一 =_24 4P(B1B2 1A3)=20255241111P(B同5P(A)p(B1B21Ai)=3(5+4+6)37180所以,112151760q =P(Bi B)P(B1B

26、2)37P(B2)51§ 1.6 事件的独立性、计算下列各题1 .某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为 0.2 ,求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。解 A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上P (A) =0.2P 三灯泡中最多有一个坏=P 三个全好 +P 只有一个坏O3 O2 =C3 (0.2) +C2(0.2) (1 - 0.2)=0.104。2 . 一射手对同一目标独立进行了四次射击，若至少命中一次的概率为80,求该射手81 的命中率。80. ./1112斛 一=1 -P(叩中 0 次)=1 一(1-p) , (1 - p) =1 p =。8113 J3

27、3 .某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6 ,现若干门炮同时发射一发，问欲以99%勺把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？解 设需要配置n门高射炮A= "高炮击中飞机”，则P (A)=0.6P 飞机被击中 =P n门高射炮中至少有一门击中=1- P n门高射炮全不命中1 -(1 -P | A|)n =1 -0.4n ,99%=0.4n <0.01= n _ lg 0 01 =5 0261g 0 4至少配备6门炮。4 .设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5 ,目标命中一发被击毁的概率为 0.2 ,命中二发被击毁的概率为0.6 ,三发均

28、命中被击毁的概率为0.9 ,求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。解 设A= 目标一次射击中被击毁Bi= 目标被击中的发数 , (i=0, 1, 2, 3,)则 P(B0) =0.8 0.7 0.5=0.28P(B1) =0.2 X 0.7 X 0.5+0.8 X0.3X0.5+0.8 X 0.7 X 0.5=0.47P(B2 )=0.2 X 0.3 X0.5+0.2 X0.7X0.5+0.8 X 0.3 X 0.5=0.22P(B3) =0.2 X0.3 X 0.5=0.03P(A|Bo)=0P(A|Bi)=0.2P(A|B2)=0.6P(A|B3)=0.93所以 P(A)=£ P

29、(Bi p(A Bi 0.47 X 0.2+0.2 X 0.6+0.03 X 0.9=0.253 。 i _06次后停止，求第55.掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第 次也正面朝上的概率A= "正好在第6次后停止"，B= “第5次也正面朝上”P(B|A)=P(AB)11 311-(-) 一一2222P(A)c412=0.4四、证明题设A,B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1,证明，P(B|A)=P(B|A)是事件A与B独 立的充分必要条件。证 因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等于0和1,P(B| A)=P(B| A)=P(AB)P(A)P(AB

30、)P(A)=1 -P(A)P(AB)=P(A)P(B) - P(AB) tt P(AB) = P(A)P(B),即A和B独立.第二章随机变量及其函数的概率分布§ 2.1 随机变量与分布函数§ 2.2 离散型随机变量及其概率分布三、计算下列各题1.袋中有10个球，分别编号为110,从中任取5个球，令X表示取出5个球的 最大号码，试求 X的分布列。C4 ,解 X 的可能取值为 5, 6, 7, 8, 9, 10 且 P(X=k)=T, k =5,6,7,8,9,10C150所以X的分布列为X 5678910P155551 25225284361823 12. 一批元件的正品率为

31、 3 ,次品率为-,现对这批元件进行有放回的测试，设4 4第X次首次测到正品，试求 X的分布列。解 X的取值为1,2, 3,此即为X的分布列。且 P(X =k)=k =1,2,3, .3.袋中有6个球，分别标有数字 1, 2, 2, 2, 3, 3,从中任取一个球，令 X为 取出的球的号码，试求 X的分布列及分布函数。解 X的分布列为P1116230,x <11/,1 x < 2由分布函数的计算公式得X的分布函数为F(x) = « 62/-,2<x<331,x _3 k4.设随机变量X的分布律为p(X=k)=L k=1,2,3,4,5。 15求(1) P(-

32、=：:X =：:-), (2)P(1_x_3), (3)P(X 3).22解(1) P(1 :二 X ：5)=P(X =1) P(X -2) -1 - -2 -1, 2215 15 5_1232(2) P(1 _x _3) =P(X =1) P(X =2) P(X 3) = ' =-,15 15 15 5453(3) P(X 3) =P(X =4) P(X =5)- =3.15 15 5k5 . (1)设随机变量X的分布律为P(X=k)=a k=1,2,；儿:>0为常数, k!试确定a。(2)设随机变量Y只取正整数值 N,且P(Y = N)与N2成反比，求Y的分布律。qQ解(1)

33、因为 Z-P(X =k)k 1(2)令 P(Y =N)=a±N2二，k=1,及 Z J=e'"-1,九>0,所以 心k!=1,2,；类似上题可得1 a =e 1 -1k*。JI所以Y的分布律为 p(y=N )="», N =1,2；"二 NX表示该汽车首次遇到红6 .汽车沿街道行驶，需要通过 3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以 灯前已通过的路口，求 X的概率分布解X =0, 1,2, 3, A = "汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1, 2, 3.

34、111p(x =0)=p(A1)=5 , p(x =1)= p(AA) = p =-11，、11P(X =2) P AiA2A)=f= , P(X=3)=P AiA2A3)=F= 238238X0123P1/21/41/81/8为所求概率分布7.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，试求抛掷次数X的概率分布律11解 设 Ai 士第i次出现6岚", P(A)=，i =1,2,，36,1、 1111所以 X的概率分布为P(X =k) =P(AiA2AkAk) =(1 ),一，k=1,2,3636四、证明题设F1(xDF2(x)都是分布函数，又a A0,b A0,是两个常数，且a+b=

35、1,试证明:F(x) =aF1 (x) +bF2 (x)也是分布函数解(1因为0 "i(x) M1,0 "2(x) £1,0 MaFi(x) < a0 MbF2(x) < b0 - aF1(x) bF2(x) _ a b = 1;士 aFi(x1)_aF 1(x2)(2) Vxi cx2,有/1 2bF2(xi)£bF 2(x2)F F(xi) =aF 1(x1) +bF2(x1) <aF2(x2)+bFi(xz)= F (x2)，所以 F (x)是不减函数(x) = lim, bF 1( x) bF2( x) 1 = a lim F1

36、( x) b lim F2( x) = a b = 1(3) lim Fx 在二lim F (x) = lim bF1( x) bF2(x) 1 = a lim F 1(x)b lim F2( x) = a 0 b 0 = 0x >： ：x >；：x 5二：x(4) F(x 0)=aFi(x 0) bF2(x 0) =aF(x) bF?(x)=F(x) 由于F(x)满足分布函数的四个性 质，所以F(x)是分布函数.§ 2.3连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1.设连续型随机变量X的密度函数为f(x"其, 0,0 :二 x <11 <x E

37、2 ;求X的分布函数。其它x解 F(x) = f(x)dx ,3 1rQx<02 x 万，0<x<1F(x)=<22x2x-1, 1 <x <221 ,x>22 .设随机变量X的分布函数为F(x) = /(1+x)e -，x-0 ;求 O,x <0(1) P(X >1)； (2) X的密度函数。解(1) P(X _1) =F(二)_F(1) =1 (1 _2e,)=2e；. xe,(2)f(x)=F'(x)=0,x .0x :二 03.设连续型随机变量X的密度函数为f (x)=)7 34x0,0 :二 x ：二 1其它(1)求常数

38、a ,使 P(X >a)=P(X <a) ;(2)求常数b ,使 P(X >b)=0.05 。解 (1)因为 P(X >a) =P(X <a),所以 1P(X <a) =P(X <a),故a 341P(X <a) = J0 4x dx =a =, 所以 a_4 1飞2 °(2)因为 P(X Ab) =0.05, 1 -P(X <b) =0.05,419P(X <b) =b4 ：20所以b4194一,即 b =4/0.95 定 0.9872204.在半彳仝为R ,球心为O的球内任取一点 P,X为点O与P的距离，求X的分布函数及

39、概率密度。解 当0 Ex ER时，设OP=x,则点P落到以。为球心，x为半径的球面上时,它到O点的距离均为x ,因此43 一xP(X Mx)等一VOR43OR 二 R30,所以，X的分布函数为F(x) ="二1,x : 0X的密度函数为-23xf(x) =F (x)=玉30,0 < x < Rx ： 0, x . R5.设随机变量X的分布函数为F(x) = A +Barctanx, -°° <x <+°°,试求(1)系数A与B，(2)解frA冗 CCA B =0A(1)卜(-O0) =0+(")=1 =<

40、2jiA+ 一工2B =12-1B =-冗P ( - 1<x<1), (3) X的概率密度函数11111(2) P( 1 :二 x ：二 1) = F (1) _ F (_1) =( arctan 1)-(arctan( 1)=,2 二2 二2-_ .1(3) f (x) = F (x)=,-二；x ；二二(1 x )以Y表示对X进行三次独立观2x. 0 h x416.设随机变量X的概率密度为f (x)=0, 其它察中 X w工出现的次数，求概率R Y=2).2/11)1、K不1. .1、斛 p = P ( X w 尸 1b f ( x) dx =12xdx =,由已知 Y B (

41、3,)2044所以 P (Y =2) =C；(1)29 =44 647.从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间(分钟)服 从N(50,100);另一条路程长，但阻塞少，所需时间(分钟)服从 N(60,16),问(1)要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险?(2)要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？解(1)因为 P(Xi W70) =0(70 -50) =0.9772, P(X2 W70) =G(70 -60 ) = 0.9938.104所以走第二条。(2)类似的走第一条。§ 2.4随机变量函数的分布三、计算下列各题1.设随机变量X的分布律如下，求 Y = X2

42、+1的分布律。X-2-1012Pi1111115651530Y125P1717530302.设随机变量 X在（01）上服从均匀分布，求 （1）Y=eX; （2）Z=2lnX的密度函数。解X的密度函数为f（x）=, °<x<10, x< 0,x_1In x(1) 设 Y =eX ,则有 FY(x) =P(Y Mx) =P(eX Wx) =P(X <ln x) = 1fx (t)dt o1所以 fY(x) =fX (ln x),因此当 x <1 M x>eH,由 f* (x) =0知 fy (x) =0 ; x1当0<x<e时，由fX（x）

43、=1知fY（x）=,所以所求密度函数为 xfY (x)=x0,14 2(2)类似的可得：fZ(x) =<2e0,x<0X3.设 X N(0,1),求(1)Y =e ； (2) W H X | 的密度函数。、,1- 一 一解 (1) X 的密度函数为fX(x)=e 2(-<x<F). 2 二XY 二e的分布函数为Xln yFy(y) = P(Y £ y) = P(eX 三 y) = P(X E In y) = 一 fX (t)dt, y 一 0Fy"。， y ：0所以y =eX的密度函数为fy(y) = .2二0,Jny)2e 2y 0y £

44、0二P( -y 三 X一 V）二. 2二/t2-2dt-2y.，二。edty -0Fw(y)=0，y <0f 5 y2所以 WTX|的密度函数为fW(y)=te-2，y-0I0,y ：二 00 :二 x :二二;求Y=sin X的概率密度。其它q-2x4.设随机变量X的概率密度为f（x） = </,0，解 当 0<y<1 时，FY(y) = P(Y Wy) = P(sinxMy)= P(0 ： X _ arcsin y) P(二-arcsin y _ X _)arcsin y所以fy(y) = 1 -y20,y ：0, y 15.若球的直径D的测量值在解 fD (d)

45、= b -a0,所以fV (V) - f d_arcsin y2x , 2arcsin ydx2冗JIa,b上均匀分布，求球的体积V的概率密度。a _d _b其它<v) =P D遍廿,飞b - a 9 二-0,M3 6v二b3_ v _66其它6.将长度为2 a的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于概率。解长为2a的直线分成 X, 2a - X1尸X,0 MxM 2afX(x)=2a,两部分,X在0,2a上均匀分布面积 Y =X(2a -X)0,其它2P(0 :二丫 二 a-)二P0 ： X(2a -X)2、 a _ _<J=P "0 <X <

46、;a2 J k二 a'a -a ：X22:二 2a"12a.2a - -2J 2 炎 a + a -a =1 -1.设X是取正值的随机变量,四、证明题若In X N（N,仃2）,试证X的密度函数为exp 2(lnx-J)2 , x 0这称为对数正态分布p(x)- c IL 2二0,x ,0Y =lnX N(,；,)，X =eYx = ey, x>0,所以X的密度为p(x)= fY(lnx4 7二二二时止的:x 00，x <00,x<02.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，证明Y=1-ex在区间(0,1)服从均匀 分布。 Oo -xY C证 X服从参数为

47、0.5的指数分布，则概率密度为fX(x)=12e' x>00, x<0YH-ey=2/、0,函数y单调可导，其反函数为-。-丫)11.1,0 ：二 y ：二 1由公式fY(y)=f X(ln (1y) ) | (1n (1 y) = 甘22'0,其它所以 丫 =1 -ex在区间(0,1)服从均匀分布。第三章多维随机变量及其分布§ 3.1 二维随机变量的概率分布三、计算下列各题一 、一一 .、4xy, 0 <x <1,0 < y <11 .已知随机变量 X和Y的联合密度为 f (x, y)=y,求X和丫G其它，的联合分布函数 F(x,

48、 y)。x y解 因为 F(X,Y)=LJaf(x,y)dxdy(1) x<0或 yc0时，由 f(x,y)=0,得 F(x,y)=0(2) 0 MxM1, 0 My ：二1时,x 1, 0Ey三1时，xy2 2F(x, y)= 0 dx 0 4xydy = x y1y2F(x, y) = 0dx 0 4xydy=y-x -1, y 1时,1, y-1时，x 1F(x, y) = 0 dx 0 4xydyF(x, y) =10,x<0< y<02 2x y，0 <x <1,0<y <1所以 F(x，y) = Jy2x >1,0 <y

49、<12x，0 <x <1,y >11,x >1,y>12. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只,以X和丫分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出X和丫的概率分布律。11解. P(X =0,Y =0) =9,C1 C1C12C1145,P(X=1,Y=0) =66_ 1 _ 1C2C10C12C1110,. 66c*P(X =0，Y =1)=丁不C12C1110C2C11, P(X =1，Y=1)=田 66C12C111663.给定非负函数、4=c、g(x)，它满足(g(x)dx =1,又设 f (x，y)=222g(

50、,x y )-2-，0 : x，y：-二 x y0，其它问f （x，y）是否是随机变量 X和丫的联合概率密度？说明理由。解f （x，y）是X和Y的联合概率密度只要满足f （x，y） >0与（ f （x，y）dxdy =1由于0 <x，y <8, & +y2 >0, g（x）非负，所以g（& +y2）之0,故f （x，y）之0，-be -be! J. J(x, y)dxd尸2dxdy 二一 n:=g(r).0 7 rdr所以f （x, y）是随机变量X和Y的联合概率密度。4.设随机变量（X,Y）的联合密度为f（x, y）"6一I y）,0,0 :

51、二 x :二 2,2 二 y ：二 4其它 求：(1)系数 k;(2)P1X<1,Y<3；(3)PX<1.5；(4)pX+Y<4。二 二421解：(1) J f f (x, y)dxdy = d dy f k(6xy)dx=8k=1 3 k= .20(2)(3)(4),31 1PlX ；1,Y ：二3二dy (62083f - y)dx 二 一.841.5127PlX；1.5J- dy (6-x-y)dx=. 20 832P IX Y 三4;二P1X ：1.5j= 2 dy ° '1(6 一 x y)dx =：.5.设随机变量(X,Y)的联合密度为f

52、(x, y)二产(1 _Jx2 +y2),0,22x y ：1其它求 系数a , (2) 概率P (X2 +Y2 <-)。42 -1-a3斛 f(x, y)dxdy = d i a(1 - r)rdr = =1= a =一.©03二221.2 二.I 3(2) P(X Y _-) = f(x, y)dxdy = ° d12(1-r)rdr6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球, 以X, Y, Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，(1) 求 P1X =1 Z =0;(2) 求二维随机变量(X,Y )的概率分布。解：(1)在