山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第25章九点圆定理

1、第25章九点圆定理九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆如图25-1，设三条高，的垂足分别为、，三边、的中点分别为、，又、的中点分别为、，则、九点共圆证法1联结，则，即知为平行四边形，又，知为矩形从而、四点共圆，且圆心为与的交点同理，为矩形，从而、六点共圆，且，均为这个圆的直径由，知，三点也在这个圆上，故、九点共圆证法2如图25-1，由，以及注意到是与的公共弦，知，有，亦即，从而知因此，、四点共圆同理，、四点共圆即知、五点共圆同理，、以及、；、；、分别五点共圆故、九点共圆证法3如图25-1联结、，则注意到，则，即又，而，则，即注意到，则由，有因，则

2、同理，、皆等于即、各点皆在以为直径的圆周上故、九点共圆证法4如图25-1，注意到为平行四边形，则么，即知、四点共圆又（注意，），则知、四点共圆即知、在上同理，、也在上故、九点共圆证法5设的外心为，取的中点并记为，联结，以为圆心，为半径作圆，如图25-1所示由，知在圆上同理，、也在圆上由（可由延长交的外接圆于，得为平行四边形，此时为的中点，则为的中位线即得），知又，知，从而，且、共线，故在圆上同理，、在圆上由、共线知为圆V的一条直径又，知、在圆上故、R九点共圆上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆显然，正三角形的九点圆即力其内切圆由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1九点圆

3、的圆心是其外心与垂心所连接线段的中点，九点圆的半径是的外位圆半径的注意到与是以垂心为外位似中心的位似形，位似比是，因此，可得推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连线段被九点圆截成相等的两部分注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3的外心，重心，九点圆圆心，垂心，这四点（心）共线，且，或和对于和是调和共轭的，即推论4的九点圆与的外接圆又是以的重心为内位似中心，位似比为12的位似形事实上，因为两相似三角形与的相似中心，而的外接圆即的九点圆推论5一垂心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点

4、圆另外，我们还可推知如下结论：结论1三角形的四个切圆（内切圆和三个旁切圆）与其九点圆相切，垂心组有四个三角形，故有16个切圆与此九点圆相切结论2垂心组的两个三角形的外心与已知垂心组各点，关于九点圆圆心对称三角形的垂心组与其外心构成的垂心组有同一九点圆结论3垂心组的九点圆与此重心所成的另一垂心组的九点圆同心下面，运用九点圆定理处理一些问题：例1（2001年全国高中联赛题）如图25-2，中，为外心，三条高，交于点，直线和交于点，和交于点，求证：（1），（2）证明（1）设的外接圆半径为，由相交弦定理，有，从而由，四点共圆，有，即，亦即故同理，（2）由九点圆定理的推论1，知的中点为DEF的外心又由D，

5、E，A，B及D，分别四点共圆，有，由此，即知，对的外接圆与的外接圆的幂相等，从而，在这两个外接圆的根轴上，即有，故例2（第31届预选题）如图25-3，中，为外心，是垂心，作，和的外接圆，依次记它们的圆心为，求证：，且这两个三角形的九点圆重合证明则，知外接圆的半径和外接圆的半径相等，从而，有是关于的对称点设是中点，则知，即又，则联结与的交点为的中心，即与互相平分于同理，也经过且被它平分，从而与关于中心对称，故显然，是九点圆的圆心因此，这个圆关于作中心对称时不变，它也是的九点圆例3（1994年亚太地区数学奥林匹克题）给定非退化的，设外心为，垂心为，外接圆的半径为，求证：证明设是的重心，是九点圆的圆

6、心，和对于和是共线且调和共轭的，考察以点为起点的向量，则因此仅当时等号成立，这是不可能的，故例4（第30届试题）如图25-4，锐角中，的平分线与三角形的外接圆交于另一点，点，与此类似直线与，两角的外角平分线交于，点，与此类似，求证：（1）的面积是六边形面积的2倍（2）的面积至少是的面积的4倍证明（1）令的内心为（），则又是的垂心（内、外角平分线互相垂直）显然，的外接圆是的九点圆，即知，分别为，的中点，于是得，从而同理，故（2）由（1），有故只要证记，则同理，于是例5（第23届试题）如图25-5，是一非等腰三角形，它的边长分别为，其中是的对边，是边的中点的内切圆圆切边于点，是关于平分线的对称点，

7、求证：，三线共点证明由题设，知，下面证由和，和分别关于直线对称，有同理故有即是等腰的顶点，有从而同理，又，于是和的对应边两两平行，故这两个三角形或全等或位似由于内接于的内切圆，而内接于的九点圆，且不为正三角形，故其内切圆与九点圆不重合，所以与位似，这就证明了，共点（于位似中心）例6（2007年台湾数学奥林匹克题）给定及其外接圆证明：的外接上对径的两点对应的西姆松线相互垂直，且它们的交点在的九点圆上证明如图25-6，设、为的外接圆的对径点，这两点的西姆松绒与交于点因为，所以，记、的西姆松线分别为，则于由西姆松线的性质1，知知（为的垂心）的中点，过的中点，即知又外心为的中点，则过的中点，且为九点圆

8、圆心故为九点圆直径因为，所以，点在的九点圆上综上所述，欲证结论获证例7求证：三角形的外心至各顶点联结线的中点所连成的三角形，与原三角形的中点三角形有共同的九点圆（三角形三边中点所连成的三角形为原三角形的中点三角形）证明如图25-7，因，；，；，所以为的垂心，于是、与三边的交点所得的外接圆是的九点圆又，分别是，的中点，所以又是的九点圆，故与有共同的九点圆例8设是的外心，连、分别交、于、，则直径分别为、的圆同切于的九点圆证明如图25-8，设为垂心，则的九点圆圆心在的中点设直径为的圆的圆心为，为在边的射影，则在上，也在上作于，于且交于，连交于，则，从而，即有，即为的中点，亦即与重合此时，即与相切同理

9、，以、为直径的圆亦与相切例9在中，是边上的高，分别是、过点，命在上的射影为，联结与设交于点圆，且圆心与同在的九点圆上证明如图25-9，、，则由、；、分别四点共圆，知，即知点在上（即为九点圆）联结、，则知、均为等腰三角形，分别过、作、的垂线交于点，则，而在上，从而点在上例10四点（没有三点共线）两两连成四个三角形，它们的九点圆共点证明如图25-10，、为没有三点共线的四点，分别是、的九点圆设、的中点分别为、由九点圆定义知，过点、三点，过、三点既然与已有一个交点，它们应当有第二个交点联结、，则但和都是平行四边形，因而且，代入得联结，即知也为平行四边形，于是以此代入，便有这说明点、四点共圆，即通过点同理，也通过点故，相交于一点注：当、中有三点共线时，那么有一个九点圆变态为一直线这时结论仍成立，但四点共线就没有意义了练习题二十五1设是的重心，是这个三角形的外接圆上任一点，联结并延长至，使，则点在的九点圆上2试证：的垂心与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分3设，分别为的内心和外心，为由三个旁心所组成的的外心，则，三点共线4设的边，的中点分别为，从向作垂线和的九点圆相交于点，再作关于的平分线对称的线段，则5设的的平分线为，从作内切圆的切线，其切点为，设的中点为，延长和这个圆的另一交点为，则在的九点圆上6（