2024年人教版九年级上册数学期末复习微专题7模型构建 旋转变换中的常见几何模型

微专题7模型构建旋转变换中的常见几何模型

模型一“手拉手”模型

模型

此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的（旋转过程中有缩放）

特点

解题

在旋转过程中，找相等线段和运用角的和差得到等角，利用SAS证全等

思路

''注:共顶点,等线段，顶角相等，旋转得全等

及结论

⑥针对训练

1.如图，正方形/以力和正方形3汽G的边长分别为a和b,正方形CEFG绕点、。旋转,给出下列结论:①

B打DG;②BELDG\③DB+BG=23+26.

其中正确结论是（D）

A.①B.②C.①②D.©©③

2.如图，点。是等边△/以7内一点，/加ea.将△8%绕点C顺时针旋转60°得连接OD.

⑴试说明△屐必是等边三角形；

【解析】（1）・・•将△斯绕点C顺时针旋转60°得△机;

：・C8CD,NOCA60。,

•••△。勿是等边三角形.

（2）当<7=150°时，0*3,00=4,试求OA的长.

【解析】（2）,・,将△胸绕点C顺时针旋转60°得△欧运

：.ZADC=ZBOC=15Q°，止必=3,

又,••△。勿是等边三角形，

・・・/呼=60。。妗4,

：・/ADO=/ADO~/ODC=9y,

.・.OZAD?+4/2=5.

3己知△/!神和△加W都是等腰直角三角形，庐乙/忙90°.

⑴如图1,连接AM,BN,求证：△4〃侬△应W;

【解析】（1）由题图1,

•・Z6^=NM^90°,

"A0M=/BON,

•:A8BO,OM-0N,

・・・△力屿颇SAS).

⑵若将入△//〃¥绕点。顺时针旋转，当点A,机N恰好在同一条直线上时，如图2所示,线段OH"BN,OH

与4"交点为H,若0的1,。33,求出线段加的长;

【解析】⑵如图,设的交8V于工

△喇

・・・/期3N游45°,

丈：OH"BN、

：.ZHOJ^ZBNO=45°,

VZW=45°,

：・4BN供NMN890。，

:,BN工MN,OHLMN,

YRAO^ABON,

:,好BN,/OAM^/OBN,

V4Am/BJ0,

：・4ANJ=NJO490。，

・・・斯淤3,/加淤90。,OHLMN,

・・・呼3传MH=HN=OIf^t

：.A^=yJOA2-OH2=吩•（苧）2啰

J小脉腑号.

⑶若将△.胆不绕点。顺时针旋转，当点N恰好落在血边上时，如图3所示，而V与/I。交点为八求

证：」庐+〃1=24.

【解析】⑶如图，在如上取一点7；使得彷例连接尸7；附

♦：/M0N=/P0«9G°,

:"MO"/NOT,

YOM-ON,0片OT,

.•.△P6^A7ZW(SAS),

・•・*冽/游/版=45°,

TN02/晰=45°,

:・々帕/0股/0即的，

・・・尸7二例+仃=别+阴.

•••△HZT是等腰直角三角形,

:.PT=20P,

・••却+m=2印.

模型二半角模型

模型当一个角包含着该角的半角，如90。角包含45°角，120°角包含60°角等,可通过旋转来

特点构造一对轴对称的全等三角形，进而得到线段之间的关系

常见

模型

正方形

四边形（力比力〃）

解题

半角信息一旋转一轴对称的全等三角形一找线段之间等量关系

思路

B队ECBE-DFB吩DF

结论

二加=EF=EF

⑥针对训练

4.如图，在中，/力6^90°,AC=Be6a,M,*是肠边上的两点，且满足N加沪45°,若川*3,则姓

的长为5.

5【问题情境】如图1,点£为正方形ABQ）内一点、"斤2,给4,N/山分90°,将直角三角形力跖绕点A

逆时针方向旋转。度（0＜。＜180）,点用£的对应点分别为点B\E\

【问题解决】

⑴如图2,在旋转的过程中，点夕落在了北上,求此时以'的长；

【解析】⑴•・】序2,昭=4,ZA£&=90°,

.・.AB=y/AE2+BE2=y/22+42=2\/5,

♦・•四边形地力是正方形，

:・BC=AB=2层，NABC=90°,

：.AC=y12AB=2V10t

由旋转的性质得:姐'=心2代，

:.W=AC~AB，=2国-2遍;

（2）若。=90,如图3,得到△力〃£'（此时8'与〃重合），延长BE交DE'干点、F,

①试判断四边形力。T的形状,并说明理由；

②连接谓求"的长；

【解析】（2）①四边形丽•'是正方形，理由如下：

由旋转的性质得:丝'=幽N硼=90°，乙超'氏乙的=90°,

VZJ^=180°-90°=90°,

・・・四边形西花'是矩形,又・；AE，=AE,

・・・四边形/疑'是正方形；

②过点，作CGLBE于点G,如图所示：

则/况拦90°=NAEB,

：./CBG^/BCG=/CBG^/ABB=90°,

：・4BCG=4ABE,

在A8CG和AABE中,

（Z.BGC=NAEB

jNBCG=N4BE，；•△阅售砥AAS）,

（BC=AB

:.CG=BE=4,BG=AB=2t

：.EG=BE-BO=4-2=2,

：,CE=y/CG2+EG2=y/42+22=2\/5;

⑶在宜角三角形/I然绕点力逆时针方向旋转过程中，直接写出线段四'长度的取值范围.

图3

【解析】（3）・・,直角三角形被绕点4逆时针方向旋转。度（0W。W180）,点瓦£的对应点分别为点

B\E\

・・・当a=0时,/与£