高等数学第六版(同济版)第十章复习资料

1、 第十章 重积分 引入：在上册书中，我们学习了一元函数积分学，我们知道：一元函数的积分定积分是某种确定形式的和的极限，这种和式极限的概念可以推广到定义在区域、曲线及曲面上的多元函数的情形，这样就得到了多元函数的重积分、曲线积分、曲面积分 尽管多元函数的积分有多种，但定义这些积分的方法及步骤与定义定积分的方法及步骤是相同的，都是按照大化小、常代变、近似和、取极限四步骤来定义的.而且对每种多元函数积分所讨论的问题与定积分的也基本相同.我们先来学习重积分：二重积分和三重积分 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 (1).曲顶柱体：称以面上的有界闭区域为底面，侧面为以的

2、边界曲线为准线、母线平行z轴的柱面，顶面为正值连续函数所表示的连续曲面的立体称为曲顶柱体. (2).区域的直径：称区域内任意两点间距离最大者为的直径，记作 (3).曲顶柱体体积的求法 大化小(分割)：用一组曲线网把D任意分割成个小闭区域，也记 为第个小闭区域的面积，得到个小曲顶柱体，也用表示其体积. 常代变(近似代替)：在上任取一点，有. 近似和(求和)： 取极限：记为个小闭区域直径中最大者， 2. 平面薄片的质量：设有一非均匀薄片占有面上的闭区域D，在点 且在D上连续，求薄片的质量 大化小(分割)：用一组曲线网把薄片任意分割成块，也记为第 个小闭区域的面积，得到个小薄片，也用表示其质量 常代

3、变(近似代替)：在上任取一点，有 近似和(求和)： 取极限：记为个小块直径中最大者， 这两个实例尽管实际意义不同，但所求量都可以归结为某种和式的极限，抽去它们的实际意义，就得到数学上的二重积分 3. 二重积分的定义：设是有界闭区域D上的有界函数，将D任意分割成个小闭区域，也记为第个小闭区域的面积.在上任取一点，作乘积，有和式，若个小闭区域的最大直径 总存在，则称此极限值为在区域D上的二重积分，记作 ， 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，叫做积分变量，D叫做积分区域，叫做积分和 注：1°. 二重积分存在，也称函数在有界闭区域D上可积 2°. 在空间直角坐标系下，

4、用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，有 . 4.二元函数可积的条件 定理1.若在D上可积，则在D上有界. 定理2.若在D上连续，则在D上可积 定理3.若在上除去有限多个点或有限多条光滑曲线外连续，且在D 在D上可积 5.二重积分的几何意义：曲顶柱体的“体积”. 注：若，则区域D的面积为： 二、二重积分的性质：以下出现的二重积分均存在 1.线性性质: 2.积分区域的可加性：若，则 3.不等式性质：若在D上，则 4. 绝对值不等式性质： 5.估值性：设、分别为在D上的最大值和最小值，为的面积，则有 6.中值性:(二重积分的中值定理) 若在D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点，使得 第二节 二

5、重积分的计算法 引入：我们学习了二重积分的定义，知道利用定义可以按照大化小、常代变、近似和、取极限四步骤来计算二重积分，这对少数被积函数和积分区域都特别简单的二重积分来说是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来说却不是切实可行的，这节课给大家介绍一种计算二重积分行之有效的方法化二重积分为两次定积分. 一、利用直角坐标计算二重积分 设，二重积分在几何上表示一个曲顶 柱体的体积，我们借助这个几何直观来寻求计算二重积分的方法 设曲顶柱体的底面区域D由直线、以及曲线、 ， 曲顶方程为，下面我们利用定积分应用中计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来计算这个曲顶柱体的体积 先计算截面面积：，作平行于

6、平面的平面去截曲顶柱体，所得截面是一个曲边梯形，其面积为 一般地，过区间上任一点且平行于 于是用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法得到曲顶柱体体积为 ， . 从而 这就是把二重积分化为先对后对的两次定积分的计算公式 注：1°. 第一次积分时，把看成常数，对计算从到 把算得的结果对计算从到的定积分 2°. 称区域为型区域，有 3°. 称区域为型区域，有 4°. 若区域D既可以看成型区域又可以看成型区域，则在D上既可以先对后对积分，也可以先对后对积分，称为积分换序,即 5°. 用两种不同积分次序计算二重积分难易程度一般是不同的，有时用某一种积分

7、次序会出现积不出来的可能，因此在计算时要根据积分区域和被积函数的特点，确定恰当的积分次序 例1. 计算，其中D是由直线，以及所围成的闭区域 解法(1)：积分区域D可表成，属型区域， 先对后对积分，有 . 解法(2)：积分区域D可表成，属型区域， 先对后对积分，有 . 例2. 计算，其中D由直线，以及所围成 解法(1)：积分区域D可表成，属型区域， 先对后对积分，有 解法(2)：积分区域可表成，属型区域， 先对后对积分，有 ，其中 较复杂 例3.计算，其中D是以，为顶点的三角形区域 解法(1)：积分区域D可表成，属型区域，先对后对积分 有，其中“积”不出来 解法(2)：积分区域D可表成，属型区域

8、，先对后对积分 有 . 注：形如 ， “积”不出来 例4.计算，其中D由抛物线以及直线所围成 解法(1)：积分区域D可表成， 属型区域，先对后对积分，有 . 解法(2)：积分区域D可表成，其中 ； 均属型区域，先对后对积分，有 有 . 例5.求两个底面半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积 解：设这两个圆柱面的方程为及，由该立体关于坐标面的对称性，只要求出它在第一卦限部分的体积，然后再乘以8即可，该立体在等于卦限部分可看出是一个以区域为底，顶是柱面的曲顶柱体，区域D属型区域，先对后对积分，有 ， . 二、利用极坐标计算二重积分 从而 1.极坐标系下的二重积分 首先研究二重积分中和式极限的极坐

9、标形式 设通过极点的射线与区域D的边界曲线相交不多于两个交点，用一族同心圆常数和一族过极点的射线常数将分成个小闭区域，设小闭区域不包含边界点，则有 ， 其中表示相邻两圆半径的平均值，在内的圆周上任取一点，其直角坐标为，则有，于是 ， 即 注：1°. 二重积分的两种坐标形式的转换公式： 2°. 若区域的面积为，则 2.极坐标系下二重积分的计算 (1).极点不在区域D内的情形： 设区域D介于两条射线，之间，射线和区域的 边界曲线的交点把区域D的边界分为两部分：，其中、 上连续，于是，积分区域可表成： ， 从而 (2).极点在区域的边界上的情形： 设区域过极点，且夹在两条射线，之

10、间，其边界曲线的方程：，且在上连续，于是，积分区域可表成：，从而 (3).极点在区域D内的情形： 设区域D包含极点，其边界曲线的方程：，且在 上连续，于是，积分区域可表成：，从而 注：1°. 若区域的面积为，则在极坐标系下 . 2°. 当积分区域D为圆域或圆域的一部分以及D的边界曲线由极坐标给出且较为简单时，用极坐标计算二重积分比较简单. 3°. 当被积函数中含有、等表达式时，用极坐标计算二重积分比较简单 例6.计算 ，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域. 解：设，则在极坐标系下圆域，又极点在区域D内，则D可以表示为，于是 . 注：1o.若用直角坐标计

11、算，会出现“积”不出来的情形 2.一种概率积分的求法：计算反常积分解法(1)：换元，应用函数 设，则，则 . 解法(2)：应用二重积分 设， ，. 显然.由于 ，从而在以上那些闭区域上的二重积分之间有不等式 因为 由于 ， ， 于是有 .令，则有 例7. 求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积 解：由对称性，所求立体的体积等于其在第一卦限内的 部分的体积等于其在第一卦限内的部分的体积的4倍，即 ， 其中区域D为以为圆心，以为半径的 半圆域，即与轴所围成的区域， 设，则在极坐标系下D的边界曲线方程为 D的边界曲线上，则D可以表示为，于是 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 1.

12、 空间有界物体的质量：设物体占有空间有界闭区域，上点 ，且在上连续，物体的质量可按照“大化小, 常代变, 近似和, 极限”四步骤得到： 抽去这个确定和式极限的具体意义，就得到数学上的三重积分 2. 三重积分的定义：设函数是空间有界闭区域上的有界函数，将区域任意分成个小闭区域，也记vi为第个小闭区域vi的体积，记 中为第个小闭区域的直径.在小区域上任取一点，作乘 ，有和式，若时，极限 称此极限值为在闭区域上的三重积分，记作，即 . 注：1°. 三重积分存在，也称函数可积 2°. 在空间直角坐标系下，用平行于坐标面的平面网划分，有 是三重积分记作 3.三重积分的物理意义：空间有

13、界物体的质量，即 注：若，且有界闭区域的体积为，则 4.三重积分的性质： 中值定理：设函数在有界闭域上连续,为的体积，则存在，使得 二、三重积分的计算：化三重积分为二重积分和定积分 1利用空间直角坐标计算三重积分 设在空间有界闭区域上连续，的边界曲面与平行z轴的直线相交不多于两个交点，在面上的投影为，以D的边界曲线为准线、作母线平行于z 该柱面与曲面的交线把从中分成上、下两部分：与，两曲面 方程分别为：， 其中与在D上都连续，且 (1). 先把、暂时看成常数，将在区间上对z积分，结果是关于 的函数，即 . (线质量 (2). 再求在区域D上的二重积分 .( 质量 (3). 最后将二重积分化为两

14、次定积分，其中 分计算公式： . 注：1°. 由“先一后二”型计算三重积分的方法称为“穿针法” 2°. 若平行平面的平面z截空间有界闭区域得平面闭区域， ，有“先二后一”型计算三重积分的公式 ，称为“切片法” 例1.计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域 解：闭区域是由及所围成，将投影到平面上，得有界闭区域 ，于是 ，从而 . 例2. 计算三重积分，其中是由椭球面所围成的闭区域 解：空间有界闭区域可表示成：.于是 . 2.利用柱面坐标计算三重积分 (1).柱面坐标：设为空间一点，点在面上的投影的极坐标为，称 为点的极坐标，其中. 注：柱面坐标系的三组坐标面：常数

15、表示以z轴为轴的柱面； 常数表示过轴的半平面； 常数表示与平行的平面 (2).直角坐标与柱面坐标的转化： (3).利用柱面坐标计算三重积分：用三组坐标面常数、常数、 常数把分成个小闭区域，除了包含边界点 的小闭区域外，记第个小柱体的体积为，则，都是小柱体，于是 . 注：1°. 当有界闭区域为圆柱体区域或 时，用柱面坐标计算三重积分比较方便 2°. 当被积函数含有或时，用柱面坐标计算三重积分比较方便. 例3. 利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面 成的闭区域 解：作柱面坐标变换，则，于是 . 3.利用球面坐标计算三重积分 (1). 设为空间一点，点在面上的投影为，点到

16、原点的距离为，有向线段与轴正向所夹的角为，从轴正向看，轴按逆时针方向到有向线段的角为，称为点的球面坐标，其中. 注：球面坐标系的三组坐标面： 常数表示以原点为心的球面； 常数表示以原点为顶点，以z轴为轴，以为半顶角的圆锥面； 常数表示过轴的半平面 (2). 直角坐标与球面坐标的转化： (3). 利用球面坐标计算三重积分：用三组坐标面常数、 常数、常数把分成个小闭区域， 考虑、各取微小增量、所成的小六面 体的体积，不计高阶无穷小，可把该小六面体可看做小方体，其经线方向的长为，纬线方向的宽为，向径方向的高为，该长方体的体积为，从而 . 注：当有界闭区域是以原点为心的球体区域或被积函数含有或时，利用球面坐标计算三重积分比较方便 例4. 求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积. 解：设所求立体的体积为，则 作球面坐标变换，则球面方程由 变为，锥面方程为， 于是可表成：，从而 第四节 重积分的应用 一、重积分在几何上的应用 曲面的面积：设光滑曲面在面上的投影区域为D，若函数在上具有连续偏导数和，则曲面的面积为 推导：在闭区域上任取一个直径很小的小闭区域，也记为这个小闭区域的面积，再在上取一点，对应的可在曲面上找到在面上的投影点为 ，设曲面在点处的切平面为 以小闭区域的边界为