第五章功率谱估计第4节

1、第四节自回归（AR）模型方法一、AR模型的估计功率谱方法n1、AR模型的Yule-Walker方法n2、最大熵谱估计法n3、最大似然谱估计法二、AR模型的Yule-Walker方法1( )-( - )( )pkkpARx na x n kw n阶模型的差分方程为：-111( )( )1pkkkH zA za z系统函数为：2222-1212( )()1,wwxxjwpjwkkkpwPwA ea ea aa模型输出的功率谱为：若已经参数及，就可得到信号的功率谱估计。三、AR谱估计与线性预测谱估计等效(-1),(- 2),(-)()px nx nx npx n线 性 预 测 器 是 在 过 去个

2、样 本的基 础 上 预 测 当 前 值。AR模型法线性预测AR模型法估计功率密度的方法方法kARa求模型的各参数pka求最小均方误差准则下的线性预测器系数方法1( )( )H zA z( )x n( )w n图a AR(p)模型-1( )( )HzA z( )x n( )w n图b 预测误差模型例子4( )2, 4,1,3 ,AR(1)x n已 知 信 号 的个 取 样 值用 自 相 关 法 估 计模 型 参 数 。-120-1011-( ): ( )( )( - )NpnNppinPe nNe nx nax n i解：（ ）自相关法。在自相关法中，预测误差功率其中四、最大熵谱估计及其与AR谱

3、估计的等效性n最大熵谱估计则是基于一段已知的自相关序列进行外推外推，以得到未知的自相关值。n这样，对自相关序列加窗而使谱估计特性变坏的弊端就被去掉了。1、熵定义ShannonxH当取值时，按对熵的定义，为离散熵型定义为： -lniiliHpppi其中：为出现状态 的概率。(0)(1)()(+1)xxxxxxxxNN已知， ，求2、最大熵0(1)xxHN在最大熵条件下，求取下式所列方程的解。(2)ARAR模型法是根据已知的观测数据建立信号所服从的模型，其模式图为：从 而 在 观 测 不 到 的 区 间 上 ，信 号 的 取 值 也 可 以 估 计 出 来 ，相 当 于 信 号 在 所 有 点 上

4、 的 取 值 都 可 以 获 取 ，因 此 也 解 决 了 谱 分 辩 率 低 下 的 缺 点 。H(z)( )w n( )x n3、最大熵外推自相关函数的结果与AR模型是等价的ARARpN在模型中，将 写成 代入模型中，可得：111(1)(0)(-1)0(2)(1)(-2)0(1) ()(-1)(0)0 xxxxNxxxxxxNxxxxxxNxxaaNaaNNaNa1(1)()(1)02xxxxNxxNaNa及（ ）AR模型得到的结果(+1)xxN最大熵外推得到的结果( )ARx n证明了当为高斯分布时的最大熵谱估计与模型法是等价的。( )0-1xxPwN由于对应的的自相关序列值N已知的 个

5、自相关序列值-1ln( )( )520, 1, (-1)jwnPw edwmxxxxmN（ ）其中：Burg(5)(4)提出的最大熵法是在约束条件下，使定义的熵最大。五、Levinson-Durbin 递推算法Yule-Walkerpp直接以方程求解参数比较麻烦，需作 阶矩阵求逆运算，当 较大时，运算量很大。当模型增加一阶、矩阵增大一维时，得全部重新计算。212ARYule-WalkerAR,pwaaa模 型 法 可 归 结 为 利 用方 程求 解系 数和。有必要寻找更简便的计算方法。例子( ),0,1, 2,3Yule-W alkerLevisonAR(3)kxxkk设 自 相 关 函 数。

6、试 分 解 用方 程 直 接 求 解及递 推 法 求 解模 型 参 量 。31-132-233-323123223331AR(3)-Yule-W alker11-1nnnnnxaxaxaxwaaa解 ： （ ） 直 接 求 解 。设模 型 为代 入方 程六、AR模型阶数选择原则用AR模型来拟合一个随机信号模型的阶数需要适当选择。AR模型的阶数预先是不知道AR谱估计方法与线性预测误差滤波器等效1、AR谱估计方法( )AR p则模型一定是稳定的。Levison递推公式解：220kk由于为误差功率，221 1kkkka2、线性预测误差滤波器法等效于线性预测误差滤波器的传递函数的所有极点都在单位园内

7、pARkp如 果 信 号 的 正 确 模 型 是 阶模 型 ，则 当时 ， 均 方 误 差 已 满 足 实 际要 求 ， 停 止 迭 代 。( )AR p若模型稳定的若阶选得太低，低于要拟合信号的实际阶数时，形成的功率谱受到的平滑太厉害。真实谱0.00( )AR p 估计谱谱密度/dB-30.00sff0.100.200.300.400.500.600.70-10.0010.0030.0050.00若阶选得太高，虽可以提高谱估计的分辨率，但却会产生假峰。虚假谱峰80.00谱密度/dB0.00sff0.100.200.300.400.500.600.7060.0040.0020.00虚假谱峰N1

8、00SNR0dBP=323、一种简单而直观的确定AR模型的阶的方法2k但较难确定降到什么程度才算合适？不断增加模型阶数同时观察预测误差功率当该功率下降到足够小时对应的阶便可界定为模型的阶。随着模型阶数的增加模型参数的数目亦增多谱估计的方差会变大（表现在虚假谱峰的出现）。提出几种不同误差准则作为确定模型阶数的依据。4、几种不同的误差准则作为确定模型阶数的依据n(1)最终预测误差准则（FPE，Final Prediction Error)n(2) Akaike信息量准则(AIC Akaike Information Criterion)n(3)判别自回归传输函数准则(CAT Criterion A

9、utoregressive Transfer Function)(1)最终预测误差准则（FPE，Final Prediction Error)( )AR k 过程的最终预测误差：FPE准则是H.Akaike提出的准则的基本思想是：选择一个阶使得一步预测的平均误差最小。21( )-1kNkFPE kN k(2) Akaike信息量准则(AIC Akaike Information Criterion)AIC准则是从最大似然法推导出来的经推导，AIC定义为：2( )log2kAIC kNkAIC最小值对应的阶就是要选择的阶。FPEAICN 可以证明：当时，与等效。(3)判别自回归传输函数准则(CA

10、T Criterion Autoregressive Transfer Function)均方误差的差值最小所对应的阶作为最佳阶。CAT准则把实际预测误差滤波器（可能是无限长的）与相应的估计滤波器若不知道真正的误差滤波器时也可以计算这种差。Parzen证明：( )CAT kk式中最小时的 值即为所需的阶。221111( )-kiikCAT kN定义为：结论n用FPE、AIC和CAT估计AR模型的阶，所得的谱估计结果常常并无多大区别，有时会混合使用这三种准则来判阶，以取得比较满意的结果。n已知的信号序列的长度较短时，这三种准则都不太理想。n对于特别主要的数据，阶数最好选在数据长度的1/31/2之

11、间，一般可以获得较为令人满意的结果。七、Burg递推算法Levinson可用递推算法简化计算。Yule-WalkerAR求解方程中的系数()(0,1,xxmmp p但 需 知 自 相 关 序 列为 阶 数 ）( )x n自相关序列实际上只能从随机序列的有限个观测数据估计得到。(1)预测误差格型滤波器LMS先前介绍过格型自适应滤波器按线性预测理论：( )( )( )x nx nx n的估计值可用的过去值进行预测1( )=-( - )ppkkx nax n k即：比较前向预测误差与后向预测误差方程：结论：1pka（ ）它们有相同的系数2pka（ ）当为复数时，它们的系数不是相同而是互为共轭。003

12、0( )( )( )pe nb nx n（ ）当有：( )x n-1z-1z0,( )nen( )pbn0,( )nbn1,( )nen*1k1k2,( )nen*2k2k1,( )nbn*pkpk-1z( )pen-1,( )pnen-1,( )pnbn格型预测误差滤波器（2）Burg法Burg递推算法的优点：不需要估计自相关函数。( )px nK它直接从已知序列求得反射系数LevinsonAR然后利用递推算法由反射系数来求得参数。Burg法步骤：先 估 计 反 射 系 数用前向和后向预测均方误差之和最小的准则22( )( )=0pppE enbnK即：例子1012344451,2,3,4,5AR3,LevinsonAR.Nxxxxxpxx设 的数据记录为：模型的阶数试用递推法求模型参量 的预测值解：-1-1222222200-1-110-1-220-1-330:111(0)=1 +2 +3 +4 +5=115511(1)=1 2+2 3+3 4+4 5 =8511(2)=1 3+2 4+3 5 =5.2511(3)=1 4+2 5 =2.85NNxxkkkkNxxkkkNxxkkkNxxkkkxxNx xNx xNx xN由给定