高中三角函数知识点与常见习题类型解法

1、三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数：（1）弧长公式：1 = aiR R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，丨为弧长。（2）扇形的面积公式：1S =IRR 为圆弧的半径，丨为弧长。2（3）同角三角函数关系式： 倒数关系：tan a cot a = 1商数关系：tan a = 丄旦, cot a =cos asin a平方关系：sin a - cos a 二 1（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）二k :.所谓奇偶指的是整数 k的奇偶性;2x函数sin xcos xtan xcot x-a-sin acos a一 tan a-cot a2兀±a土sin acos a

2、土 tan a± cot aji±a2cos asin a+ cot a+ tan a2、两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos（、卫 二 I-'） = cos a cos - sin a sin :sin( a - I-')二 sin a cos L；二 cos a sin :tan a (a 二 I-)=tan a 二 tan !：:;-1 " tan a tan I 1#tan 2a2 tan a21 - ta n a从二倍角的余弦公式里面可得出：降幕公式:2cos a1 cos 2a21 - cos 2asin a 2【注：公式

3、的逆用或者变形】（2）二倍角公式：sin 2a =2 sin a cos a2 2 2cos 2a二 cos a - sin a 二 1 - 2sin a 二 2 cos#（3）半角公式（可由降幕公式推导出）#a 1 - cos a sin2 . 2a 1 cos a cos -2#a 丄 H -cos a tan； = _-1 cosasin a _ 1cos acos a sin a#3、三角函数的图像和性质：（其中k. z ）三角函数y =sin xy =cos xy = ta n x图像y0L厂警 2吾y0L手3j J7 T定义域(-OO,+ oo)(-CO,+ co)x 式 kjr

4、+ 二2值域-1,1-1,1(-co,+o)最小正周期T =2兀T = 2 nT = H奇偶性奇偶奇单调性25冲,25垮单调递增25心,25+单调递减2 2（2k 1）兀,2k算单调递增（2k兀，（2k +1）贰单调递减（5,匕心）单调递增2 2对称性对称轴：x = k兀+生2对称中心：（5,0）对称轴：x = k兀对称中心：（k兀十巴,0）2对称中心：（竺，0）2零值点x = knJIx = k 兀 H2x = kn最值点TtX =2k 兀 +, ymax =12TtX =25 -，ymax = j2X=2k7r,ymax 1X =(2k +1)兀，ymax =一1无4、函数y = Asin

5、（ ，x ? 1）的图像与性质:（本节知识考察一般能化成形如y = A sin（ ，x ）图像及性质）（1）函数讨二A sin（ x ：:）和y = Acos（ x讦冷）的周期都是T（2）函数 y = A tan（ ，x ）和 y = A cot（ ，x ： W）的周期都是 T 二Pl2 （3）五点法作讨二A sin（ ，x ）的简图，设t =x亠“，取0、一、二、2二来求相应x的值以1 2及对应的y值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。【函数的平移变换】 y =

6、f (x)_. y = f (x _a)(a .0)将y = f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减) y = f (x)y二f (x) _b(b .0)将y = f (x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位(上加下减)【函数的伸缩变换】：1 y = f (x)y = f (wx )(w . 0)将y = f (x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍(w .1缩w短，0 ：w ：:1 伸长) y = f (x)y二Af (x)( A . 0)将y = f (x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A . 1伸长，0 :：: A ：:1缩短)【函数的对称变换】： y = f (x)

7、y = f (_x)将y = f (x)图像绕y轴翻折180°(整体翻折)；(对三角函数来说：图像关于x轴对称) y = f(x)_； y =-f (x)将y = f (x)图像绕x轴翻折180°(整体翻折)；(对三角函数来说：图像关于y轴对称) y = f(x)r y = f(x)将y = f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧(偶函 数局部翻折)； y = f(x)T y = f (x)保留y=f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动) 5、方法技巧一一 三角函数恒等变形的基本策略。(1 )常值代换：特别是用“ 1 ”的代换;=si

8、n=tan 45 等。2 2a cos a = tan x cot x(2 )项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin 2 a + 2 cos ? a = (sin 2 a + cos ? a) + cos ? a = 1 + cos ? a ；c + B a _ B 配凑角：=(用=J等。2 2(3) 降次与升次；切化弦法。(4) 引入辅助角。y =asi nr bcos v - a? b? sin( v:) = a 亠 b? cos( v -:)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan =-确定。a【典型例题】：1、已知 tan x = 2，求 sin x, cos x 的值.

9、4sin x解：因为tan x2，又sincos x2-cos a = 1 ,sinx = 2 cos xsincos=1sinsin2.5解这个方程组得coscos5, 5x 二5辛)cos(210 )sin(480 )的值。Q002、求聖tan( -690 ') sin( -150 ') cos( 330 ')解：原式tan( _120180 ) cos( 18030 ) sin( _360 -120 )otan( -72030 )sin(150 ) cos( 360- 30 )tan 60 (cos 30 )(sin120 )二亠 = 3 寸 3.tan 30 (

10、 _sin 150 ) cos 303、若sinsin-cos x2,，求 sin x cos x 的值.亠 cos x3105解：法一：因为 sin x - cos x 小2,sin x - cos x3106310#所以 sin x - cos x = 2 (sin x - cos x)310#310#得至卩 sin x = -3 cos x，又 sina - cos，联立方程组，解得sin xcos x3= 1010.10-10sin xcos x3 101010310#310#所以sin2 x cos x =-10因为sin x cos x2,sin x 亠 cos x所以 sin x

11、 -cos x =2(sin x - cos x),310#310#所以（sin2x - cos x) = 4(sinx ' cos x) 2，所以 12 sin x cos = 4 8sin x cos x ,310#310#所以有 sin x cos x310#4、求证:2 2 2 2tan x sin x 二 tan x _ sin x 。44#44#证明：法右边=2tan2x -sinx = tan2 2 2-(tanx cos x)二 tan2 2x(1 - cos x ) = ta n2xsin x ;44#44#2 2 2 2左边=tanx sin x 二 tanx (1

12、 - cos x)2 2x sin x2 2 2二 tan x tan x cos x2 2=tan x(1 - cos x ) = tan44#44#5、X n求函数y =2si n( + )在区间0 2兀上的值域。2 6 '44#44#解:x因为0乞x乞2二，所以0乞一乞二，2-_ -由正弦函数的图象，得到6 2 6 644#44#所以 y 2 sin(-)2 6x n _1y = 2 sin(),12 6 2 ,2(1) y = sinx - cos x 亠 2 ；6、求下列函数的值域.(2) y = 2 sin x cos x - (sin x 亠 cos x)解：(1) y

13、= sin 2 x cos x 亠 22 2=1 一 cos x - cos x 2 二-(cos x - cos x) - 3212131213令 t = cos x，贝y t 1,1, y = (t t) 3 = (t )(t ),3 2413 利用二次函数的图象得到y1,.(2) y = 2sin xcos x - (sin x 亠 cos x)2=(sin x cos x) -(sin x - cos x)n令 t = sin x cos x = . 2 sin( x ：)，贝U t w _ 2, ： 2 44 _则y =t2 _t_1,利用二次函数的图象得到y _ ,1 2.47、若

14、函数y=Asin( 3 x+Q )( 3 >0, $ >0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。1解：由最高点为(2, .2)，得到A = .2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是一4Tn个周期，这样求得4 , T=16，所以用-3 8又由：2-.2 sin(上 2 亠-)，得到可以取.y =、2 sin( x ).84848、已知函数 f(x)=cos"x 2sin xcosx sin 4x.(I )求f (x)的最小正周期；(n )若x：=0,“,求f (x)的最大值、最小值.数

15、y的值域.23 cos x兀厂兀='-2 sin( 2x) -2 sin( 2x )解: ( I)因为 f (x)=cos 4x 2sin xcosx sin4 x = (cos 2x sin 2x)(cos 2x+ sin 2x) sin2 x2 2= (cos x 一sin x) 一sin 2x =cos2xsin 2x所以最小正周期为4410（n ）若X可0,上，则（2x _n）曰n,-3n,所以当x=o时，f（X）取最大值为_J2 Sin（ _上）=1;当x =±时,244448f（x）取最小值为一 .,2.sin9、已知 tan ,2，求（1）' ; （2）

16、 sin 2 6 - sin 日.cos 日 + 2 cos 2二的值.cos 日 _sin 0解：（1）cos ' sincos0 +sin 0sin日1 -cos v1 - ta n22（2） sin - sin vcos v 2 cos n2 2sin sin vcos v 2 cos vsin 2 t1 cos2 t1sinls22-42 2sin 12 .cos，进行弦、切互化，就会使解题过说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） 程简化。10、求函数 y =1 sin x cos x （sin x cos x/ 的值域。解：设 t = sin x cos

17、 x = 、2 sin（ x 上） _、2, . 2，则原函数可化为 4y =t2 +t +1 =（t +1）2 +3，因为 t _72,V2，所以24当 t = '、2 时，ymax =3、2，当 t 时，ymin24所以，函数的值域为 y ?,3,2。11、已知函数f (x) = 4 sin 2 x亠2 sin 2x - 2, x三R ; (1 )求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合；(2)证明：函数f (x)的图像关于直线x = _上对称。8解: f ( x) = 4 sin 2 x 2 sin 2x -2 = 2 sin x - 2(1 - 2 sin 2

18、 x)=2 sin 2x - 2cos 2x=22 sin(2 x )4(1)所以f (x)的最小正周期所以，当 2x_ = 2k n 42,即x = k n 时，f (x)最大值为2 2 ;8证明：欲证明函数f (x)n的图像关于直线X - 一上8对称，只要证明对任意x. R，有12nf ( x)二 f8#因为nf (x)8=22 sin2(nn-x) = 2、2 sin(2 x)842-2.2 cos 2 x ,#2 x) = -22 cos 2 x , 2f (一一 x) =2.2 sin2(8nnnx) = 22 sin( -8#所以f ( x) = f (x)成立,8 8从而函数nf

19、 (x)的图像关于直线x对称。812、已知函数 y= cos 2x+ 3 sinx2 2(1) 当函数y取得最大值时，求自变量(2) 该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?-cosx+1(X R),x的集合;#解：(1) y=1 cos2x .1 sinx cosx+1= 1 (2cos 2x 1)+ 1 + _3 (2sinx cosx) +1 2251= (cos2x sin +sin2x426-COS )+ -6413=cos2x+ sin 2x+441 -5=sin( 2x+ )+2 64所以 y 取最大值时，只需 2x+3 = ZL+2k n ,

20、( k Z), 即卩 x= 2L+k n , (k Z)。5 2 6所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= +kn ,k Z6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i )把函数y=sinx的图像向左平移一，得到函数y=sin(x+ )的图像;6(ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的(iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+2丄倍2(横坐标不变)-)的图像;61，得到函数 y= sin(2x+2A、 1B、2CD、213图像;(iv )把得到的图像向上平移-个单位长度，得到函数4寸3x+sin xcosx+121综上得

21、至U y= cos2的图像。1y= sin( 2x+25-)+ -的图像。64A、 1B、2CD、2#A、 1B、2CD、2#历年高考综合题、选择题:A、 1B、2CD、2#A、 1B、2CD、2#1、(08 全国一一 6) y=(sin x - cosx)-1是(A、最小正周期为2 n的偶函数B、最小正周期为2 n的奇函数C、最小正周期为n的偶函数D最小正周期为 n的奇函数A、 1B、2CD、2#A、 1B、2CD、2#2、(08全国一 9)为得到函数 y = cosx -的图象，只需将函数y二sin x的图像(3A、 1B、2CD、2#A、 1B、2CD、2#nA向左平移上个长度单位65

22、nC向左平移一个长度单位6B、向右平移D向右平移n-个长度单位65 n一个长度单位63、(08 全国二 1)若 sin :0 且 tan、£0是，则是A、第一象限角B、第二象限角C 第三象限角第四象限角4、(08全国二10).函数f (x) = sin x cosx的最大值为(A、 1B、2CD、2145、(08安徽卷8)TT函数y =sin(2 x )图像的对称轴方程可能是(3jinB、x =12JIx =6兀x 二126、( 08福建卷7)函数y=cosx(x R)的图象向左平移二个单位后,2得到函数y=g(x)的图象,g(x)的解析式为()A -sin x、sin x-cos

23、x、cosx7、( 08广东卷5)已知函数f(x)=(1 亠 cos 2 x) sin x, x 三 R，则f (x)是(A、最小正周期为二的奇函数、最小正周期为-的奇函数2C最小正周期为二的偶函数、最小正周期为-的偶函数28、( 08海南卷11)函数 f (x) = cos 2x2 sin x的最小值和最大值分别为(A、B、一 2, 2C- 3,-2D 2,9、(08湖北卷7)将函数y -sin( x - v)的图象F向右平移二个单位长度得到图象3F'，若F'的一条对称轴是直线x =-1,则二的一个可能取值是(A、7：125一 一Jl1211Tt1211一一ji1210、(

24、08江西卷6)函数f (x)sin x是x sin x 2 sin 211、12、A、以4二为周期的偶函数C、以2二为周期的偶函数若动直线x=a与函数f (x)=sin x 禾口 g (x) = cos、以2二为周期的奇函数、以4 -为周期的奇函数x的图像分别交于 M , N两点,则MN的最大值为(08山东卷13、08 陕西卷 1) sin 330A、14、( 08 四川卷 4) tan xC .3D、2( cos 1-上 p sin :-=4 V3，贝V sinCL +7 n的值是65I62 73C 、-44B -D、-555等于( )、1C1、D込222:cotx COS 2 X =()B

25、10)已知16A、 tan xB> sin xC、 cos xD、 cot x17#JT15、（ 08天津卷6）把函数y二sin x（x R ）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得31图象上所有点的横坐标缩短到原来的一倍2（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（(八y=sin j2x_, x 三 RI3丿=siny =sin 2x 二,x RI 3丿=sin16、（ 08天津卷9）5 二设 a =sin =cos2 H戸“ /c = ta n ，则(7A、a : b ： cB、a : c : bC、b ： c : aD b ： a:c17、（ 08浙江卷2）函数y=（sin

26、 x cos x）2 - 1的最小正周期是（18、（ 08浙江卷在同一平面直角坐标系中，函数x=cos(23 :)(2xE0,2TC）的图象和直线#的交点个数是（A、0二、填空题19、（08北京卷9）若角的终边经过点P（1, 一 2）tan 2 ：的值为20、（08江苏卷1）f x 二 cos -x -的最小正周期为6一，其中八0，则，=5-21、（08辽宁卷16)设x 0,则函数.222 sin x 1 ,冃，一， y的最小值为sin 2x22、（08浙江卷12)3若 sin( t1) ，则2523、（08上海卷6)函数 f(x) = , 3sin x +sin( ' +x)的最大值

27、是三、解答题24、( 08四川卷17)求函数y = 7 4 sin x cos x 4 cos 2 x4 cos 4 x的最大值与最小值。18期是25、( 08 北京卷 15)已知函数 f (x) = sin ；ix ”3sin ；.-： xsin i . x (u ,0I 2丿)求.的值；(n)求函数f (x)在区间o,，2上 上的取值范围.13的最小正周期为 n ；26、( 08 天津卷 17)已知函数 f ( x) = 2 co s :x " 2 sinx cosx T ( x 三 R,，；(i)求 的值；(n)求函数f (x)的最大值，并且求使 f (x)取得最大值的2.0

28、)的最小值正周x的集合.713127、( 08 安徽卷 17)已知函数 f(x) =cos(2 x ) 2 sin( x ) sin( x ),344求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(n)求函数f (x)在区间-兀Ji,上的值域12220x xL 2 x L28、(08 陕西卷 17)已知函数 f(x) =2sin cos 2 3 sin3 .444(I)求函数f (x)的最小正周期及最值；(n)令g(x)二f x n ，判断函数g(x)的奇偶性，并 I 3丿说明理由.21参考答案:22#选择题:1 10: D、C C B B、A9、A、A;11 20: 11 、C 13、B、

29、 14、D 15、16 、 D 17 、B 18、C；#二、填空题:4 203三、解答题：19、102122232524、解：y=7-4 sin=7-2 sin2x4 cos=7-2sin2x4 cos2=7-2 sin2x亠si n2=1-si n2x6x cos x 亠 4 cos2x2 2x 1 - cos x2 . 2x sin x2x -4 cos#2由于函数z = u -1 i亠6在丨-1,1 I中的最大值为:最小值为：2Zmin = 1 -1飞=6故当sin 2x = 1时y取得最大值10，当sin 2x =1时y取得最小值6【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；25、解：(I)f (x)1 cos 2 x【突破】：禾U用倍角公式降幕，禾U用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键;V3112 x sin 2 x - cos 2；：. x 亠222=sin因为函数f (x)的最小正周期为 n且c >0 ,2 n所以n i解得 - 1 .2 -(H)由(I)得 f (x) = sin 2x -上'.I 6丿2因为 0 < x