哈工大版理论力学复习

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章静力学的基本概念与公理一、重点及难点1.力的概念力是物体间的相互机械作用，其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应。力对物体的作用效果，取决于三个要素：力的大小：力的方向；力的作用点。力是定位矢量。2刚体的概念所谓刚体，是指在力的作用下形状和大小都始终保持不变的物体；或者说，刚体内任意两点间的距离保持不变。刚体是实际物体抽象化的一种力学模型。3平衡的概念在静力学中，平衡是指物体相对惯性坐标系（地球）处于静止或作匀速直线运动的状态。它是机械运动的特殊情况。4静力学公理静力学公理概括了力的基本性

2、质，是静力学的理论基础。公理一（二力平衡原理）：作用在刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等。方向相反，作用在同一直线上。公理二（加减平衡力系原理）：可以在作用于刚体的任何一个力系上加上或去掉几个互成平衡的力，而不改变原力系对刚体的作用效果。推论（力在刚体广的可传性）：作用在刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变它对该刚体的作用效果。公理三（力的平行四边形法则）：作用于物体上任一点的两个力可合成为作用于同一点的一个力，即合力。合力的矢由原两力的矢为邻边而作出的力平行四边形的对角矢来表示。即合力为原两力的矢量和。推论（三力平衡汇交定理）：作用于刚体上3个相互平

3、衡的力，若其中两个力的作用线汇交于点，则此3个力必在同一平面内，且第3个力的作用线通过汇交点。公理四（作用和反作用定律）任何两个物体相互作用的力，总是大小相等，方向相反，沿同一直线，并分别作用在这两个物体上。公理五（刚化原理）：变形体在某一力系作用下处于平衡时，如将此变形体刚化为刚体，则平衡状态保持不变。应当注意这些公理中有些是对刚体，而有些是对物体而言。5约束与约束反力限制物体运动的条件称为约束。构成约束的物体称为约束体，也称为约束。约束反力是约束作用在被约束物体上的力，其方向与约束类型有关。约束反力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或其运动趋势的方向相反。工程上几种常见的约束类型及其约束反

4、力酌表示法：(1)柔性体约束（绳索、链条、胶带等）：约束反力沿柔性体中心线而背离被约束体，如图11所示。图 1.1(2)光滑面约束：约束反力沿接触面的公法线方向，接触点为力酌作用点并指向物体，如图1.2所示。图 1.2(3)光得圆柱固定唆使支座：光滑圆柱固定铰链文座的约束反力作用线必通过因拄销中心面与其轴线垂直，但方向待定，可用作用于铰心的任意两个相互垂直的分力表示。图1.3(a)为光滑圆柱固定铰链支座、图1.3(b)为光滑圆拄形铰链。图 1.3(4)光滑圆柱活动铰链支座：这种约束只能限制物体与支承平面垂直方向的运动、故其约束反力必垂直于支承而且过铰链的中心，如图1.4所小。图 1.4 (5)

5、轴承类约束：在工程上，把连接轴并限制其某种运动的构件称为轴承。只限制垂直轴线方向移动的称为向心轴承(或径向轴承)；既限制垂直轴线的方向移动又限制沿轴线方向移动的称为向心止推轴承（或径向止推轴承）。它们的简图及约束反力分别如图1.5(a)，(b)所示。图 1.5 (6)固定端约束：这种约束既能限制物体移动、又能限制物体转动，其约束反力用两个相互垂直的分力和一个反力偶表示，固定端约束的简图可表示为图1.6(a)，约束反力可表示为图1.6(b)。图 1.6(7)球铰链约束反力可分解为通过球心的3个正交分量，如图1.7所示。图 1.7(8)二力构件：只在两个力作用下平衡的构件，称为二力构件。它所受的两

6、个力必定沿两力作用点连线，且等值、反向。6受力分析和受力图分析物体或物体系统受有哪些力作用，称为受力分析。将所要研究的物体或物体系从周围物体中隔离出来，称为分离体或研究对象。在研究对象上画出它所受到的所有作用力（主动力、约束反力）。这样的图形称为分离体的受力图。二、解题步骤及要点正确地画出物体的受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图的步骤和应注意之处如下： (1)明确研究对象：根据求解需要。可以取单个物体为研究对象，也可取由几个物体组成的系统为研究对象。(2)在分离体上先画出全部己知的主动力。(3)正确画出约束反力：一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确

7、定其约束反力的方向，不能凭主观臆造。 (4)当分析两物体间相互的作用力时，应遵循作用、反作用定律。当研究系统的平衡时，在受力图上只画外约束体对研究对象的作用力(外力)，不画成对出现的内力。第二章平面力系一、重点及难点1力对点的矩(2.1)式中点O为矩心，h为力臂。力对点的矩为代数量。式(2.1)中正负号规定为：力F使物体绕矩心逆时针方向转动为正；反之为负。合力矩定理：合力(FRFi)对某点O之矩等于所有分力Fi对该点之矩的代数和。即mO(FR)mO(Fi) (2.2)2平面共点力系（汇交力系）平面共点力系（汇交力系）可以合成为一个合力。合力的大小和方向用几何法或解析法求得，合力的作用线通过共点

8、力系的中心（力系的汇交点）。 (1)几何法由力多边形法则，合力矢由力多边形的封闭边决定，其指向从力多边形的始点到终点。(2)解析法将式(2.3)投影到正交坐标轴x、y上，得：FRx=F1x+F2x+ +Fnx=FixFRy=F1y+F2y+ +Fny=Fiy合力大小为：合力的方向由两个方向余弦确定，即3平面力偶系(1)力偶(F，F')和力偶矩：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。力偶对刚体仅产生转动效应，并用力偶矩来度量。力偶矩MO为：MO(F，F')=±Fd式中F为组成力偶的力的大小，d为力偶臂。其正负号表示转向，习惯上常按右手法则将逆时针

9、转向取正，反之取负。力偶中二力对其作用平面上任一点之矩的代数和与矩心无关。 (2)平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和，即M=SMi。4平面任意力系向平面内一点的简化平面任意力系向作用面内任一点O（简化中心）简化，可得一个力和一个力偶：该力作用于简化中心，其力矢等于原力系中各力的矢量和，并称为原力系的主矢；该力偶的矩等于原力系各力对简化中心之矩的代数和，并称为原力系的主矩。5平面任意力系的平衡平面任意力系平衡的充分和必要条件是：力系向任一点简化的主矢和主矩都等于零。即平面任意力系平衡方程的基本形式。平衡方程的其它两种形式是：两矩式：x 轴不得垂直于

10、A ，B两点的连线。三矩式：A、B、C三点不在同一直线上。平面任意力系有3个独立的平衡方程，可求解3个未知量。二、解题步骤及要点 (1)根据题意，选取研究对象。在研究对象中一般要反映出待求量、已知条件，尽量使不需求的未知力少反映在分离体中。 (2)画受力图。经过受力分析，在研究对象上画出所受的全部主动力和约束力。受力图上只画外力，不画分离体内各部分之间相互作用的内力。 (3)列平衡方程。根据力系的类型和需要求解的未知量的数目。列出相应的独立平衡方程。为使解题简捷尽可能使每个方程中只包含一个未知量。为此、可选未知力作用线的交点为矩心，投影轴与较多的未知力相垂直。要熟练计算力在轴上的投影和力对点的

11、矩。 (4)在分析物体系的静定问题时，如果未知量的数目超过已写出独立平衡方程的数目，还须继续选与前者有联系的物体为分离体，画受力图，写平衡方程等，直到写出的独立平衡方程的数目足以求出全部待求量为止。 (5)解平衡方程，求出所需答案。有时还要讨论所得结果。第三章空间力系一、重点及难点1力在轴上的投影、力对点的矩和力对轴的矩(1)力在轴上的投影：如果力矢F与坐标轴x、y、z正向夹角分别是、，则力F在各坐标轴上的投影可表示为：(2)力对点的矩和力对轴的矩：在空间情况下，力F对点O的矩用矢量表示为：力对轴之矩是度量力使刚体绕该轴转动效应的物理量。可用力在垂直轴的平面上的投影对轴与平面之交点之矩表示。它

12、是代数量，正负号由右手法则确定。力F 在三个坐标轴上的投影分别为Fx、Fy、Fz，力作用点A的坐标为x、y、z，则力对轴的矩的关系为：2空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系合成一合力，合力矢为或：合力FR的大小为:合力FR的方向余弦为:空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力的矢量和等于零，即其平衡方程为：空间汇交力系有3个独立方程，可求解3个未知量。3空间力偶系的合成与平衡在空间问题中，力偶矩用矢量表示，称为力偶矩矢，记作MO。力偶矩矢是自由矢量。空间力偶系合成为一合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即或 合力偶矩矢的大小和方向余弦：式中表示各分力偶矩矢在x、y、z轴投影的代数

13、和。空间力偶系平衡的必要和充分条件是；各力偶矩的矢量和等于零，即或空间力偶系有3个独立方程，可求解3个未知量。4空间任意力系的简化与平衡 (1)空间任意力系向已知点简化：空间任意力系向简化中心O简化后，一般可得一个作用于点O的力和一个力偶。这个力的力矢称为该力系的主矢。它等于力系中各力的矢量和，即主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。这个力偶的矩矢称为力系对简化中心O的主矩。它等于力系中各力对简化中心O的矩的矢量和，即主矢与简化中心的位置无关，主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。 (2)空间任意力系的合成结果：空间任意力系的最后合成结果，可能是一个合力，或一个力偶，或一个力螺旋，或力系平

14、衡。这些结果与力系主矢、主矩的关系如表4.1所示。 (3)空间任意力系平衡方程：空间任意力系平衡的充要条件是，力系的主矢以及对任一点O的主矩都等于零，即FR=0，MO=0由上述方程可得空间任意力系的6个独立平衡方程，即二、解题步骤及要点空间力系平衡问题的解题步骤和方法与平面力系基本相同，即取研究对象，画受力图和列写平衡方程求解等。另外，还需注意以下几点： (1)首先要对研究对象，受力情况与所选坐标轴之间的关系有清晰的空间概念，并能正确地表示出空间的约束力。 (2)熟练地计算力在空间坐标轴上的投影和力对轴的矩。 (3)当力与坐标轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。在建立力矩方程时，应使力矩轴与尽

15、可能多的未知力平行或相交，以减少方程中的未知量，简化计算。(4)空间力系的独立投影平衡方程总数不能超过3个，而独立的力矩平衡方程可以超过3个（甚至多达6个）。有时用力矩平衡方程代替投影平衡方程较方便，但应注意力矩平衡方程的独立性。第五章 点的运动学点的运动学是研究点相对于某一参考系的几何位置随时间变动的规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度及其相互关系。1研究点的运动常用的三种方法，如表5.1所示。三种常用方法间的相互关系如表5.2所示。表5.1 研究点的运动的三种常用方法表5.2 三种常用方法的相互关系 2三种常用方法的特点： (1)矢量法中可用一个式子同时表示运动参数的大小和方向表

16、达简炼，因而常用于证明和推导公式。(2)自然法中的各运动参数的物理意义明确运算也较简便，在研究已知点的运动轨迹时，常选用这种方法。(3)直角坐标法是较为一般的方法，用于不知道点的运动轨迹的情况。用直角坐标法时，先建立其运动方程然后求得其速度和加速度。第六章 刚体的简单运动 1刚体的平动：刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终平行于它的初始位置，则称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。因平动刚体上各点的轨迹形状完全相同，且每瞬时各点的速度，加速度都相等，所以研究刚体的平动只需研究其上任一点的运动即可，故刚体的平动可归结为点的运动来研究。 2刚体的定轴运动：刚体运动时，如果其上有一条直线始终保持静

17、止，则称这种运动为刚体的定轴转动，简称转动。(1)定轴转动刚体的运动描述，如表5.3所示。表中k为沿转轴z正向的单位矢量。当与同号时，刚体作加速转动；反之，作减速转动。表5.3 刚体定轴转动的描述(2)定轴转动刚体上各点的运动方程，速度和加速度，如表5.4所示。表5.4 定轴转动刚体上点的运动描述(3)点的运动与刚体定轴转动的比较，如表5.5所示。表5.5 点的运动与刚体定轴转动的比较二、解题步骤及要点求解运动学问题时，首先要进行运动分析，即要明确题目中各点及各物体的运动性质。对于涉及积分运算的问题，应根据题中所给的初始条件确定积分常数。对于涉及导数运算的问题，一般较易处理，但难点是运动方程的

18、建立。下面给出建立动点的运动方程的一般步骤。这些步骤原则上对研究刚体的运动也适用。(1)根据题意及动点的运动特点确定相应的研究方法。若点的运动轨迹简单并易于写出动点沿轨迹的运动方程时，宜用自然法，否则采用直角坐标法。(2)根据动点的运动性质选取相应的坐标系。在自然法中，注意弧坐标的选取，明确其正、负向及原点。(3)把动点放在一般位置上（注意，绝不能放在特定位置上）。根据给定的运动条件和几何关系，把该点的坐标表示为与时间有关的参数的函数，整理后即可得到动点的运动方程。第六章点的合成运动一、重点和难点1基本概念在研究点的合成运动时，首先应明确研究对象（即动点），选取两个坐标系（定坐标系和动坐标系）

19、，分析三种运动（绝对、相对和牵连运动）。通常把与地球相固连的参考系称为定系，而把对定系有相对运动的参考系称为动系。动点相对定系的运动称为绝对运动，它相对定系的速度和加速度分别称为绝对速度va和绝对加速度aa。动点相对动系的运动称为相对运动，它相对动系的速度和加速度分别称为相对速度vr和相对加速度ar。动系相对定系的运动称为牵连运动，某瞬时动系上与动点相重合的点（简称为瞬时牵连点）相对定系的速度和加速度分别称为该瞬时动点的牵连速度ve和牵连加速度ae。可见，绝对运动和相对运动都是点的运动，应该用点的运动学来描述和计算；而牵连运动是动系或与动系固连的那个刚体的运动，应该用刚体的运动学来描述和计算。

20、总结以上的概念，可归结为图6.1的关系。2速度合成定理动点在任一瞬时的绝对速度等于该瞬时它的牵连速度和相对速度的矢量和，即va=vevr它适用于任何形式的牵连运动。3加速度合成定理动点在任一瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度三者的矢量和，即aa=aearac式中 ac=2×vr称为科氏加速度，它等于牵连运动的角速度与相对速度vr的矢积的两倍。当牵连运动是平动时，0，因而科氏加速度ac=0。科氏加速度反映了牵连运动与相对运动的相互影响，其大小为ac=2vrsin(，vr)；它的方向由矢积的右手法则确定（图6.2）。当vr时，则科氏加速度ac的大小为ac=2

21、vr。ac的方向垂直于与vr所确定的平面，由右手规则确定。在一些特殊情况下科氏加速度aC等于零：=0的瞬时；vr=0的瞬时； vr的瞬时。二、解题步骤及要点1解题步骤 (1)根据题意，恰当地选取动点和动系，一般认为定系均与地球相固连。分析三种运动（绝对运动、相对运动和牵连运动）。在选择动点和动系时要特别注意： 1)动点、动系和定系必须分别选在三个不同的物体或点上。例如，动点不能选在动系上，否则就没有相对运动，因而没有复合运动应有的因素。 2)应尽量使动点的三种运动（特别是相对运动）较简明。 3)在机构运动传递问题中，有时可在具有复合运动因素的接触点处选择动点和动系。如果取物体上总是接触的点作为

22、动点，动系固连于相接触的而接触点在不断变化的另一物体上，往往可使动点的相对轨迹较清楚：在后一物体上接触点的轨迹就是相对轨迹。 (2)进行速度分析和计算 1)应用速度合成定理：va=vevr(6.4)，分析和计算各量的大小和方向。在式(64)中包括大小和方向共6个量，只要知道其中的4个量，就可通过速度合成的平行四边形或两个投影表达式求得其余两个未知量。要特别注意牵连速度ve的概念和计算。2)画速度合成的平行四边形时，必须由ve和vr构成平行四边形的两个边，而va沿平行四边形的对角线。(3)进行加速度分析和计算：1)应用加速度合成定理aa=aearac (6.5)求动点的有关加速度。在计算牵连加速

23、度ae时不必考虑相对运动；在计算相对加速度ar时，不必考虑牵连运动，科氏加速度ac正反映了上述两种运动的相互影响。可见式(6.5)中每项的分析和计算都不复杂，这正体现了加速度合成定理的优点。2)如果动点M的绝对运动和相对运动都是曲线运动，牵连运动又是绕定轴的转动，则相应的加速度一般都有切向和法向分量，这时式(6.5)改写成：aataan =aetaenartarnac (6.6)式中的各法向分量和ac都与速度或角速度有关。大小为：aan =va2/a，aen=OM·2，arn = vr2/r式中的a和r是动点的绝对和相对轨迹在该瞬时的曲率半径，而OM是动点M到定轴的距离。科氏加速度a

24、c=2×vr。可见，即使进行加速度的分析和计算，也不可避免地要进行速度分析和计算，求出有关的速度和角速度。如果已知绝对、相对和牵连运动，则式(6.6)中各项法向加速度的方向由动点分别指向相应的曲率中心，它的指向不能任意假设。由此可见：通过速度分析后，可求出aan = va2/a，aen=OM·2，arn = vr2/r和ac 3)对于平面问题，式(6.6)有两个独立的投影方程，可求得两个未知量，这时，在式(6.6)剩下的3项切向加速度aat、aet和art的6个量(包括大小和方向)中，若能已知其中任意4个量，就可求得其余的两个未知量。例如，若知道绝对、相对和牵连运动时，3项

25、切向加速度的方向分别与相应的速度方向共线，其指向可事先假定，只要能已知其中任一项切向加速度的大小，则可求得其余两项切向加速度的大小。对于空间问题，式(5.6)有3个独立的投影方程，可求得3个未知量。 4)要求科氏加速度ac=2×vr，必须酋先确定牵连角速度和相对速度vr的大小和方向，然后按矢积规则确定ac的大小和方向。2解题要点 (1)式aa=aearac (6.5)和式aataan =aetaenartarnac (6.6)是加速度矢量的合成关系式，不能认为是加速度矢量的“平衡”关系式。用几何法作加速度矢量多边形时，不能误认为是“自行封闭”。当矢量较多时，一般采用投影法，它的投影式

26、是根据合矢量投影定理（合矢量在某轴上的投影等于所有分矢量在该轴上的投影代数和）而写出的，不能误写为是加速度的投影“平衡”方程。 (2)求某一加速度时，一般宜向不须求的未知量的垂线方向投影，这样可避免解联立方程。 (3)若题目要求角速度和角加速度时，不仅要计算其大小，且要指明其转向。 (4)如果求得的切向加速度或相应的角加速度为负值，说明该量的真实指向或转向与原假设的方向或转向相反。第八章刚体的平面运动一、重点和难点1刚体平面运动的运动方程和平面图形运动的分解刚体作平面运动时，其上任一点与某一因定平面间的距离始终保持不变；或者，刚体内任一点都在平行于该固定平面的某一平面内运动。因为刚体的平面运动

27、可以简化为一个平面图形在其自身平面内的运动，即平面图形S在参考平面xOy上的运动（图7.1）。图7.1图形在平面上的位置可由其上任一线段OM来确定。平面图形的运动方程为：它们都是时间t的单值连续函数。点O称为基点。图形的角速度和角加速度分别为d/dt，d/dt它们与基点O在平面图形上的位置无关。引入以基点为原点的平动坐标系xOy后，平面图形的运动可以分解成随着这平动坐标系的平动（牵连运动）和图形绕这平动坐标系原点（基点）的转动（相对运动）。2平面图形上各点的速度(1)基点法（合成法）：平面图形上任一点M的速度，等于基点O的速度与该点随图形绕基点O转动的速度的矢量和（图7.2），即的方向垂直于M

28、O，并与的转向一致。基点O和动点M是同平面图形上的两个点。一般选该图形上速度是已知的或较容易求出的点作为基点。是平面图形对于平动坐标系的相相对角速度，因为平动坐标系的角速度恒等于零，所以也等于平面图形对于定系的绝对角速度。 (2)速度投影法：它是根据速度投影定理求速度的方法。平面图形上任意两点的速度在此两点的连线上的投影相等，这就是速度投影定理，即此定理对于任何形式的刚体运动都是成立的。(3)速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，则此图形必定存在速度为零的点，并称此点为平面图形的瞬时速度中心C（简称速度瞬心）。如果取速度瞬心C为基点，则平面图形上任一点M的速度等于该点在随图形绕速度瞬心C转动

29、的速度，即其方向垂直于转功半径CM，并与图形的转动方向致。对见，只要知道某瞬时速度瞬心的位置和图形的角速度，就可以求出该瞬时图形上各点的速度（图7.3）。平面图形内各点的速度分布就像图形绕速度瞬心作“定抽”转动时一样。共大小与它到速度瞬心的距离成正比。显然，平面图形绕速度瞬心的角速度就是图形的绝对角速度。如果已知速度瞬心C的位置和图形上某点A的速度va，则图形的角速度大小为：=va/CAva转向可由速度va绕速度瞬心C转动的方向来确定。在不同情况下，速度瞬心C的位置的确定可参阅表7.1。表7.1沿固定面只滚不滑己知va和va已知va和vb的方位。但不平行已知va和vb平行同向，但大小不等，并AB已知va和vb平行反向，并AB已知vavb，但不已知va和vb，则C在无穷远处，刚体作瞬时平动3平面图形上各点的加速度加速度的分析主要用基点法，即平面图形内任一点B的加速度aB等于基点A的加速度aA与该点随图形绕基点A转动的相对切向加速度aBAt和相对法