董凯-备战2012年高考函数导数与定积分专题

1、备战2012年高考：函数、导数与定积分专题大同一中 董凯一、2011年全国各省高考函数题横向分析(一) 命题特点1.题量分布大在调查的35份试题来看，几乎每一套题的每一种题型中，都包含有函数题目.平均而言，每套试卷中，选择、填空共有23道函数题目，解答约1道函数题目.2. 文理科差异明显尽管从题量上看，文理大致相同，但从内容看，文理相同题相对很少(仅有江苏完全相同)，甚至相似题也不多，而大多数题目都是相异题.而相同相似题较多的考卷中，也是大纲考区居多，可见，新课标地区，文理题目差异的增大已经成为一种趋势.3. 题型的分值分布差异小在选择填空题目中，函数题目的分数由528分不等，平均约12.8分

2、左右，在解答题中，函数题目的分值030分不等，平均在14.6分上下.从文理差异来看，选择、填空、解答三种题型在分值上差异不大，理科比文科略大，除广东卷文理有一道大题的差异外，其他试卷差异都没有超过试卷总分的6%，而文理科总体差异也仅有0.15%而已.4. 考查知识点的分值分布差异大 函数专题包含着丰富的内容，在这里，从考查知识点的差异，分19个方面进行整理，分别是(1)求函数的解析、计算函数值；(2)求函数定义域；(3)求函数的值域、极值或最值；(4)函数单调性；(5)函数奇偶性；(6)函数周期性；(7)零点所在区间；(8)函数的图像与图像变换；(9)定积分；(10)分段函数；(11)复合函数

3、；(12)对数的运算性质；(13)导数、变化率与切线；(14)解不等式问题；(15)求参变量的取值范围；(16)反函数；(17)函数极限；(18)新题型；(19)函数与非函数知识的综合题.考查知识点全国课标全国大纲安徽北京重庆福建广东湖北湖南江苏江西辽宁山东陕西上海四川天津浙江总计比例求解析式、函数值10156716204787.91%计算定义域5106212.13%值域、极值、最值691212131751232281561244459.5205.520.84%函数单调性56177.55736211044184143134.513.64%函数奇偶性7.557.510105552.55466.5

4、6.74%函数周期性2.552.52.5416.51.67%零点存在问题55510.510540.54.11%函数图象51052.52.5101052.552.55.32%定积分5552.517.51.77%分段函数2.5105102.555404.06%复合函数2.5522.5121.22%对数的运算性质55101.01%导数、切线问题12111771157.51251043104.510.60%解不等式2.52.57.51325.52.59%参量取值范围637771610516777.81%反函数1085232.33%函数极限550.51%新题型102.5285532.53.30%综合题6

5、585242.43%合计544950515057397164804549716352513852986100%(注：表格中数据单位大都为：分，仅有“比例”一栏中，单位为：1)(注：为保证各套试题权重相当，江苏卷等重复题目每一道计两次分)(注：有些题目涉及到两个或多个知识点，此时将此题目的分值等分给这两个知识点，或多个知识点中最重点考查的两个知识点)从以上表格和条形图中不难看出，函数专题包含知识点很多，分布也比较分散，但其中有几个项目相对比较突出，它们分别是：值域、极值与最值(20.84%),函数单调性(13.64%)，导数、切线问题(10.60%)，求解析式、函数值(7.91%),求参量取值范

6、围(7.81%).其中“求函数的值域、极值与最值”是唯一一个在所有地区中均出现的知识点.5.以中难题目为主难度的计算本应该由考生的得分率制定，但由于地域限制，难以实现，故只得简单化，这里列出的难易度都是笔者自己的观点，仅供参考.难易度合计(文+理)压轴题合计(文+理)简单中档较难选择填空解答1765212891261317.85%52.84%29.31%33.33%16.67%36.11%(注：江苏卷按两套相同卷处理，即“江苏卷文=江苏卷理”)由表格可知，函数题目覆盖易中难各个难度层次，而且中难题目偏多，易中难比例约为2:5:3.从分值上看文理科大致相同，考查知识点也比较相近，但从内容上看，理

7、科比文科要难一些，从相似题的差异可以看得十分明显，例如全国课标卷，同样要证明函数大于某某，理科中待证明的“某某”就比文科要略大一些，并带有参变量.相对于其他专题，函数题中难题的比例较大，这其中很重要的一个原因就是函数题在选择、填空、解答题中压轴题的比例都比较大，在11年的高考选择、解答压轴中，函数题约占三分之一.(二) 新题扫描1.新型运算或定义，考查学生获得新知运用新知的能力此类题目给人的第一印象是情境新颖，但考察的依然学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想.学生通过转化将新颖的问题转化为熟悉的问题，达到解决问题的目的.因此这类题型不但考查了学生阅读获取信息的能力，运

8、用新知识解决问题的能力，更考察了学生化归求解的思想方法.例1： (广东文数10)设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ，（f g）（x）=；（f·g）（x）=.则下列恒等式成立的是A（f g）·h）（x）=（f·h）（g·h）（x）B（f·g）h）（x）=（f h）·（gh）（x）C（f g）h）（x）=（f h）（gh）（x）D（f·g）·h）（x）=（f·h）·（g·h）（x）答案:B解法一：选项A中，左边等于，而右边等于，两者不恒相等；

9、选项B中，左边等于，右边等于，两者恒相等；选项C中，左边等于，右边等于，两者不恒相等；选项D中，左边等于，而右边等于，两者不恒相等.解法二(特值法)：令，将四个选项依次检验，分别有如下结论：A.，B.，C.，D.，显然仅有B选项正确.点评：本题通过“定义新运算”(实质上就是普通乘法和函数间的复合运算)考查了学生的运算能力和阅读理解能力，文理兼备，较为新颖，不过运算量偏大，学生理解起来需要费些功夫，难度偏难.例2：(四川理数16)函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：函数是单函数；若为单函数，且，；若为单函数，则对于任意，它至少有一个原象；函数在某区间上

10、具有单调性，则一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）答案：解析：当时，不妨设，有，此时，故不正确；由总有知，当时，故正确；若，有两个原象时，不妨设为，可知但，与题中条件矛盾，故正确；函数在某区间具有单调性时，在整个定义域不一定单调，因而不一定是单函数，故不正确.故正确答案为. 点评：本题目实质上给出了单射映射的定义，考查了学生接受新定义的能力(这一能力的培养对学生即将开始的大学学习具有重要的意义)，一旦学生接受了“单函数”这一定义，本题目很快就迎刃而解了，的反例很容易想到，只要把握“某区间”与题干中的“定义域”二者的区别，也不难排除.2.注重细节，考查学生敏锐的观察能力、严谨

11、的思维能力解决数学问题时，元认知监控能力起着重要的作用.学生选择了一种求解方法，在求解过程中，如果能有意识的与题干、选项比对，观察分析，几时调整求解方向，那么就可以顺利地求解题目.例3：(福建理数09)对于函数(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2答案：D解析：因为，且是整数，所以是偶数，在选项中，只有D选项两个数的和为奇数，不可能是D点评：本题新颖之处在于考查学生捕捉细节条件的能力和对数字的敏锐感觉，如果发现这个题目当中与众不同的细节(与的取值范围不同)，应不难解决.例4：（浙江理数10）设a，b，c

12、为实数，.记集合S=,.若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是A=1且=0 BC=2且=2 D =2且=3答案：D解析：取，则，。因此A可能成立。取，则，。因此B可能成立。取，则，。因此C可能成立。答案选D.点评：本题通过集合与函数的语言，重点考查了三次方程的根的情况，表达方式较新颖，学生在解答时，需要较强的“翻译”语言能力，及思维缜密的良好品质，否则很容易错选成其他选项.3.选用适当载体，考查应用能力和阅读能力联系实际是新课程倡导的，与实际生活联系得比较紧密，在考查学生阅读、理解、运算能力的同时，也使学生增长了见闻，开拓了视野.例5：(湖北理数10)放射性元素由于不断有原子

13、放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克年），则M（60）=A.5太贝克 B.75In2太贝克C.150In2太贝克 D.150太贝克答案：D解析：因为，所以，所以，所以，所以(太贝克)。点评：本体题选择的实际背景接近理科生知识背景，学生容易接受，虽然阅读量比较大，但是学生并不会因此产生畏惧感，并且在实际情境中巧妙地考查了变化率问题与待定系数法.4.构造新函数，考查学生思维的灵活性和

14、综合应用能力将基本知识综合，构造新的问题，可考查学生综合运用基本知识和技能的能力.例6：（天津理数08）对实数和，定义运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A BC D图1答案：B.解析：由已知得，如图1，要使与轴恰有两个公共点，则或，应选B点评：本题目综合性较强，将定义新运算、分类讨论、分段函数、函数图像、解二次不等式等多方面内容融合在一起，考验学生综合运用知识的能力，同时出现了不连续函数，同时考验了学生的胆魄和自信，实在一举多得，能将此题顺利拿下的学生一定具有相当的数学功底.5.突出导函数与原函数图像关系，考查数形结合分析问题的能力新课程中特别强调函数及其导函

15、数图象之间的关系，利用两者的图象数形结合地解决问题是新课标教材中的一大亮点，高考试题中也体现了这一特点.例7：（全国课标卷理数21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。解法一：略。点评：本题第2问，将问题转化为当x>0，且x1时，>0，求k的取值范围。又可知当x(0，1)时，>0；当x(1，+)时，<0。令h(x)= ，欲使g(x)>0，需要当x(0，1)时，h(x)>0，当x(1，+)时，h(x)<0。又h(1)=0。于是可以画出函数h(x)的草图，即x(0，1)时，h(x)的图象位于x轴的上方，当x(1，

16、+)时，h(x) 的图象位于x轴的下方，并与x轴交于点（1,0），所以猜想其单调性应该是单调递减，所以其导函数图象位于x轴下方，即h¢(x)<0。这是求解的关键，而突破口就是函数与其导函数图象之间的关系，可见充分应用数形结合的好处。进一步，又可得h¢(x)=，所以原问题转化为当x>0，且x1时，<0。分类讨论可得：当k=时，不满足条件。当k时，只能是解得k0。解法二：（）略（）由（）知，所以考虑函数，则(考察分子二次函数的开口方向分类)（）设（开口向上）.此时,而，故当时，可得,与题设矛盾。（）设（开口向下） 当（即）时，。而，故当时，可得；当x（1，+）

17、时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.当（即），又，所以 x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。【或所以 x（，1）时，（k-1）（x2 +1）+2x >0,故,而h（1）=0，故当x（，1）时，h（x）<0，可得h（x）<0,与题设矛盾】。【或又，所以 x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故,而h（1）=0，取，可得,与题设矛盾】。综合得，k的取值范围为（

18、-，0解法三：(1)略(2) 即证对任意恒成立，整理，分离变量得对任意恒成立，令，则即求在的下确界，而前面因子正负已确定，故令，求导可得：，时，显然有，即在递增，而，所以时，时，于是在递减，在递增，所以，所以在递增，又，所以时，时，因此对于，当时，时，即当时递减，时递增，因此的下确界在处取得由罗必达法则可计算得，因此.(三) 题型归类及标准解法1.求函数解析式、计算函数值此题型主要考查学生运算能力，通常是给出解析式和自变量，求函数值，学生只需代入计算即可，对于分段函数，则需要判断一下自变量所属的范围，对于已知奇偶性的函数，则可借助自变量相反数的函数值；还有一类题目，解析式中带有待定系数，此时只

19、要代入题目中事先给出的数据，则可通过解方程(组)解出待定系数.此类题目通常难度偏低.例8：(湖南文数12)已知为奇函数，则_答案：6解析：依题意，得，解得.2.计算定义域 此类题型也属于基础题型，解法相对固定，难度不会太大.对于给出具体解析式的函数，求定义域只需注意以下六点即可：分式的分母非零；偶次开方的被开方数非负；对数式中的真数为正；零次幂的底数非零；指对数的底为正切非一；正切函数对应的角终边不落在轴.在具体题目中，根据以上6点要求列出不等式(组)，解之即可.例9：（江西理数03）若，则的定义域为 ( ) A. (,0) B. (,0 C. (,) D. (0,)答案： A 解析：，所以，

20、所以3.函数的值域、极值、最值 此类题目是高考函数的热点问题，11年高考中每套试卷中都有这类题目的影子，而此类题目难度覆盖层面较大，有易有难，主要取决于解析式的复杂程度.求值域的先决条件是已知定义域与解析式，这两项准备工作通常不难完成，甚至多数题目中条件会直接给出，关键是求值域的方法灵活多变，常见的方法有：单调性法，数形结合法(适合选择、填空题)、导数法(求出最值，值域的端点通常就是最值)，变形过程中还可能利用到分离常数、配方、换元等变形技巧.其中借助导数方法的较多(因为导数也是高考数学的一大热点)，这就要求学生对导数的应用非常熟练：导数的正负可以判断单调性；单调区间的交界处即极值点；极值点与

21、端点合作可以找到最值点.例10：(湖南理数08)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）图2A1 B C D答案：D解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出.当时，可知在此区间内单调递减；当时，可知在此区间单调递增.故当时，有最小值.选D.例11：(福建理数18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（I）求a的值（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解析：

22、（）因为时，,所以,.（）由（）可知,该商品的每日销售量.所以商场每日销售该商品多获得的利润,.从而,.于是，当变化时，的变化情况如下表：（3,4）4（4,6）+0-单调递增极大值42单调递减由上表可得，是函数在区间（3，6）内的极大值点,也是最大值点.所以,当时,函数取得最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.图3例12：（湖南理数20）如图3，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与

23、5;S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时.（）写出的表达式（）设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.图4例13：(山东文数21理数21) 某企业拟建造如图4所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的4.函数

24、单调性 此类题目通常考查函数单调性的判定或应用，且常与导数相结合，难度通常不会太大.对于单调性的判定问题，常见的解决方法有：利用定义(较繁琐，很少见)、利用导数(较常见，因为导数也是考点)、利用图象(适合选择、填空题)、利用复合函数单调性判断法则(常用于含有指对数或三角函数的复合函数)、利用关于单调性运算的结论(如增+增=增，增-减=增，增*增=增(要求函数均恒正)，-增=减，等等).至于单调性的应用，则主要有两个方面：求最值和比大小.单调性求值域的问题前面已经提到，而比大小指，在函数中，如果某一个区间上的单调性已知，则在此区间内，可由与中其中一组大小关系，推断另外一组大小关系.其中常用的是将

25、的大小关系转化为的大小关系，因为这样可以省去代入函数中的运算.例14：(辽宁文数11理数11)函数的定义域为，对任意，则的解集为A（，1） B（，+）C（，）D（，+）答案：B图5解法一：设，所以，在上为增函数.因为，所以的解集为，即的解集为.故选B.解法二：显然函数与都经过点，但的变化率始终保持，的瞬时变化率始终大于，据此可以画出的大致图像，由图5可知，选B. 例15：(福建文数22) 已知a，b为常数，且a0，函数（e=2.71828是自然对数的底数）.（I） 求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个tm，M

26、，直线y=t与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由. 解析：() 由,得.() 由()可得.从而.因为,故:(1)当时,由得,由得;(2)当时,由得,由得.综上,当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. () 当时,.由()可得,当在区间内变化时,的变化情况如下表:10+单调递减极小值1单调递减2又,所以函数的值域为.据此可得,若,则对每一个,直线与曲线都没有公共点.综上,当时,存在最小的实数,最大的实数,使得对每一个,直线与直线都有公共点.5.函数奇偶性此类题目通常考查函数奇偶性的判定与应用，难度不会太大.

27、对于奇偶性的判定，则主要通过定义，先检查定义域是否关于原点对称，然后考茶与的关系，此外还可以利用关于奇偶函数运算的结论(如奇+奇=奇，奇*偶=奇，|奇|=偶，奇=偶，等等).关于奇偶性的应用，则主要有两点：第一是微观上的，即考查互为相反数的两个自变量的函数值之间的关系，第二是宏观上的，即通过原点某侧的图象推断原点另一侧的图象.例16：(广东理数04)设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是是偶函数是奇函数是偶函数是奇函数答案：A解析：由是偶函数，可得，由是奇函数可得，故为偶函数，所以为偶函数.6.函数周期性函数的周期性主要在三角函数中出现，对于一般函数，更多见的是“类周期函数”，

28、即类似于周期函数的函数，这些函数在相邻两个“周期”内，表达式略有不同，例如满足的函数.本文例题39就是这样的一个例子.周期函数与类周期函数主要考查函数自变量从某周期到另一周期的跳跃，而这个动作的基础则是从某周期到相邻周期的过度和变换，因此这类题目的关键就是根据题目条件，做好过度工作.另外，周期函数与函数的对称性密切相关，两个对称性(轴对称或中心对称)常常可以确保函数具有周期性(如果函数图像有两个对称轴，则周期为轴间距的2倍；如果有两个对称中心，且这两个中心纵坐标相同，则周期为两个中心横坐标差的2倍；如果有一个对称轴和一个对称中心，则周期为对称中心到对称轴距离的4倍)，利用函数周期性画函数图像也

29、比较常见.例17：（上海理数13）设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。答案：解析：设，.因为是定义在上的以1为周期的函数，所以当时，;；当时，.同理，当时，.综上分析知，当时，函数的值域为.7.零点存在问题此类题型题目多在新课标地区出现，考查零点的存在定理，上的连续函数在内有零点的充分不必要条件是，若为连续单调函数，则为充要条件，为此，此类题目只需判断端点函数值是否异号即可，通常难度不大.对于的图像容易作出的情况，数形结合也不失为一种好的方法.例18：(全国新课标文数10)在下列区间中，函数的零点所在的区间为A B C D答案：C解析：因为，所以.所以在其定义

30、域上是严格单调递增函数.因为，所以.例19：（陕西理数06）函数f(x)=在0，+）内 （ ）图6（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点答案：B.解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数和的图像，如图6，由于时，所以两图像只有一个交点，即方程在内只有一个根，所以在内只有一个零点.8.函数图象此类题目大多可分为三种题型：作图，识图，图像变换，难度多属中档题.作图题需要学生熟悉基本初等函数的作法，了解常函数、简单的指对函数、幂函数及一次函数与二次函数的图像画法，能够较精确地作出函数图象，并通过图像得出相应的结论.识图题则是在条件给出图形的情况下，学生根据图

31、像，抽取出图像中的隐含信息，如定义域、单调区间、奇偶性、周期性、最值、极值、对称轴、对称中心、定点以及渐近线等，从而解决相关问题.函数图像变换，则考查了学生对于平移变换、对称变换(关于坐标轴或坐标原点对称)、伸缩变换和翻折变换的掌握程度.例20：（新课标理数12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8答案：D图8图7解析：令，则，由，知，又.在同一坐标系下，作出和的图像，由图7可知两函数图像在上有8个交点，且这八个交点两两关于原点对称，因此这8个交点的横坐标的和为0，即，也就是，也就是.例21：（安徽理数10）函数在区间0,1上的图像如图8所示

32、，则m,n的值可能是A. m=1,n=1B. m=1,n=2C. m=2,n=1D. m=3,n=1答案：B解析：观察图像易知，在上先增后减，但在上有增有减且不对称，对于选项A，时，是二次函数，图像应关于对称，不符合题意，对于选项B，时，令，得或，所以在单调递增，符合题意，选B，对于选项C，时，令，得所以在上单调递增，不符合题意，对于选项D，时，令，得所以在上单调递增，不符合题意9.定积分此部分内容为新课标新增内容，重点考查定积分的几何意义与计算，通常难度不大.定积分的几何意义即曲边梯形的面积，考生只需找出待求图形的边界对应的函数解析式，并找准积分区间，即可列出算式；至于定积分的计算，多采用牛

33、顿-莱布尼茨公式，只需逆用求导公式，找出被积函数的一个原函数，然后代入积分上下限，作差即可.例22：（新课标理数09）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A） （B）4 （C） （D）6答案：C.解析：由得，其交点坐标为，因此与及轴所围成的图形的面积为.例25：（陕西理数11）设若，则= .答案：1解析：由题意知，所以，所以10.分段函数分段函数，即函数在定义域的不同子集合内，采用不同的对应法则，此概念对应题目多为简单或中档题.解决此类题目只要判断清楚待求自变量究竟在定义域的哪一个子集就好了，如果不确定，则需进行讨论.至于分段函数与单调性、最值等问题的综合，只需在每一“段”内分别考察单调性、

34、最值，然后综合考虑即可.例24：(江苏文数11理数11)已知实数，函数，若，则a的值为_答案：解析：首先讨论，与1的关系.当时，所以；.因为，所以，所以.当时，所以；.因为，所以，所以（舍去）.综上，.例25：（辽宁理数09）设函数，则满足的x的取值范围是A，2 B0，2 C1，+ D0，+答案：D.解析：当时，由，知，即.当时，由，知，即，所以满足的的取值范围是.11.复合函数此概念比较容易理解，就是将内层函数的函数值代入外层函数，得到新的函数值，关键是分清谁是内层，谁是外层，若函数解析式已给出，则题目通常难度不大，若函数为抽象函数，则往往偏难(见例1).例26：（山东理数15）设函数（），

35、观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， 答案：解析：依题意先求函数分母中项的系数所组成数列的通项公式，由可推知该数列的通项公式为，又函数分母中常数项依次为故其通项公式为，所以当时，.12.对数的运算性质此类问题重点考查对数的三条运算性质，即，及.属于最基本的运算公式，学生在高一入学不久就学习过，高考时，这些公式应该已经运用得十分熟练了.例27：(安徽文数05)若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)答案:D解析：由点在的图像上知，对于点，当时，所以不在图像上，对于，点，当时，所以不在图像上，

36、对于，点，当时，所以不在图像上，对于，点，当时，所以在图像上.例28： (湖北文数15)里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的_倍。答案：6；10000解析：由知，所以此次地震的震级为6级，设9级地震的最大振幅为，5级地震的最大振幅为，则，所以，即为所求.13.导数、切线问题此部分内容主要包括两种题型：一是求导函数及导数值，二是利用导数求切线，两类题目主要考察学生运算能力，难度适中.求导函数只需牢记8

37、个基本求导公式，掌握四则运算的导数运算法则和复合函数的运算法则即可(用定义求导数的题目非常少见)；对于求导数值的题目，通常就是先求出导函数，然后代入自变量；求切线的问题，关键在于是否已知切点横坐标，若已知，则将其代入函数可得切点纵坐标，代入导函数可得切线斜率，然后利用点斜式可求出切线方程；若切点横坐标未知，则通常设其为，然后用点斜式算出切线方程(含)，然后再借助其他条件求出，则此时切线方程随之确定. 例29：（全国大纲理数08）曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1答案： A.解析：切线方程是：,在直角坐标系中作出示意图，即得

38、。14.解不等式这部分内容重点考察学生的运算能力与解不等式的思维习惯，难度通常不会太低.高中阶段常见到的解不等式题型，包括含绝对值的不等式、二次不等式、高次不等式、分式不等式、无理不等式、三角不等式以及指对数不等式，每一种类型的不等式都有自己的独特的常规解决办法，而且多有相应的注意事项.绝对值不等式只要记住两个基本公式即可；解二次不等式可记结论；高次函数通常用标根法；分式不等式中切忌直接去分母，要考虑分母的正负；无理不等式首先要确保偶次被开方数的非负性，其次要考虑两边平方的条件，只有不等式两边同正的前提下，方可同时平方且不改变不等号方向，对于有负数的情况则可直接利用正数大于负数，或两边同时乘以

39、“”化正；三角不等式多借助函数图象或单位圆；指对数不等式主要利用函数单调性或采用换元法，特别指出，对数不等式要时刻注意定义域，即保证真数为正.总之解不等式一要保证变形前后的等价性，二要时刻关注使得不等式有意义的条件.例30：(湖南文数08)已知函数若有则的取值范围为A B C D答案：B解析：函数为增函数，其值域为，故，若有，则需满足，化简整理得，解得15.参量取值范围此类型题目属于传统题目，由来已久，常常出现，且难度通常不低.这种题目通常有三个明显特征：第一、题目中直接或间接给出一个包含两个字母的等式或不等式(两个字母：一个是自变量，另一个是参变量)；第二、题目中常有“有解”、“无解”“恒成

40、立”等标志；第三、两个字母中一个范围已知(这个字母就是自变量)，另一个的范围待求(这个字母即参变量).这类题目有两种较为通用的解决思路，分离变量法与选主元法，而它们最终都要借助求函数值域来解决问题.对于分离变量法，顾名思义，要把两个变量分开到等式或不等式的两边，得到，或的形式，然后由于一个字母的范围已知，不妨设范围已知，则可知的范围(即值域)，然后结合题目中的要求就可以求出相应的的范围了.对于选主元法，则是将自变量(已知范围的那个字母，不妨设为)看做变数，参变量(待求范围的字母，设为)看做常数，则可整理出或，然后求出函数的值域(含有字母)，与确定大小关系(解关于的不等式)即可.然而对于一些高难

41、度题目(例如压轴题)，可能会有一些另类的解法，这样的题目解法人人都能看懂，但如果不提供解法，几乎人人都做不出来，因此对这类题目不宜花费太多精力去研究，况且这类题目的解法往往也不具备通用性.例31：(辽宁文数16)已知函数有零点，则的取值范围是_答案：解析：函数有零点，即方程有实根，也即有实根，为此，令，只需让落在的值域中即可.由于，易知函数在上递增，在上递减，可求得值域为，于是.例32：(北京理数18)已知函数。（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围.解析：（） 令，得.当k>0时，的情况如下X(,k)k+00+0所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时

42、，的情况如下X()(,k)k0+00所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是（）当k>0时，因为，所以不会有当k<0时，由（）知在（0，+）上的最大值是所以等价于解得.故当时，k的取值范围是16.反函数17.函数极限18.综合题此处的综合题指函数与非函数知识的综合题，各题目考查的知识点与题目难度因题而异.例32：（重庆理数10）设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13图10答案：D解析：方程在区间上有两个不同的根可转化为二次函数在区间上有两个不同的零点，因为，故需满足将看做函数值，看做自变量，画出可行域

43、如图10阴影部分所示，因为均为整数，结合可行域可知，时最小，最小值为13.点评：这是一道二次方程根的分布与规划问题的综合题.二次方程的根的分布问题主要通过三个方面来确定根的所属区间，即对称轴位置、根的判别式以及端点函数值的正负.此类问题种类偏多，学生不易记忆，且运算量相对较大，常与解不等式结合，难度较大.而本题目又和非线性规划紧密联系，对于学生的作图精确度要求颇高，题目难度较大.例33：（全国大纲理数22）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：解析： (I)所以在上单增，当时

44、，。（II）由(I)，当x<0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：另解：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：点评：题目第一问考查用导数求函数最值，题型较常规，属于中档难度题.在第二问中，与概率、不等式联系起来，构成一道难度较大的综合题目，一二问之间的联系很隐蔽，对学生观察能力要求很高，解法二虽然没有借助第一问，但用到了多元的平均值不等式与凸函数的定义，超出了绝大多数学生的认知领域.二、20072011新课标全国卷(宁夏海南卷)高考函数题纵向分析(一) 命题特点理科文科选择填空解答总分选择填空解答总分20071112211122200811171117200911171112220

45、1031273127201131273127文科理科选择填空解答选择填空解答2007Y2008YY2009YYYY2010YYY2011YYYY合计304205(二) 考点分布理 科文 科合计比例2007200820092010201120072008200920102011求解析式、计算函数值4444167.11%计算定义域00.00%函数的极值、最值910.52.566.52.53716.44%函数单调性3442.56410.53415.11%函数对称性(含奇偶性)542.5552.52.526.511.78%函数周期性2.52.51.11%零点存在问题552.22%函数图象2.52.52

46、.52.5104.44%定积分55104.44%分段函数00.00%复合函数00.00%指对数的运算性质2.52.552.22%导数、切线问题545513554218.67%解不等式2.52.552.22%参量取值范围88883214.22%反函数00.00%函数极限00.00%综合题00.00%新题型00.00%合计22171727272217222727225100.00%(三) 历年考题(理)0710曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ).0714设函数为奇函数，则0721设函数(1) 若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；(2) 若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之

47、和大于0810由直线，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）ABCD0821设函数，曲线在点处的切线方程为(1) 求的解析式：(2) 证明：函数的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3) 证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值0912.用表示三数中的最小值，设,则的最大值为A.4 B.5 C.6 D.70921.已知函数(1) 如，求的单调区间；(2) 若在单调增加，在单调减少，证明6. 1003. 曲线在点（-1，-1）处的切线方程为A. B. C. D.1008. 设偶函数满足，则A.B. C.D. 1011. 已知函数若互不相等，且则的取值范围是A.B.C. D. 1021.设函数。(1) 若，求的单调区间；(2) 若当时，求的取值范围1102. 下列函数中，既是偶函数又在是单调递增的函数是( ).A.B.C.D.1109. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( ).A.B.C.D.1112. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于( ).A.B.C.D.1121. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1) 求的值；(2) 如果当时，求的取值范围.年份答 案200