三大分布练习（课堂PPT）

1、前一页前一页后一页后一页返返 回回1、定义、定义 222212nXXX nXXX,21设设 相互独立且均服从标准正态分布相互独立且均服从标准正态分布,则随机变量则随机变量)(2n 的分布称为自由度为的分布称为自由度为n的的 分布分布. .记为记为 。 2 )(2n xyO（一）（一） 分布分布 2 三大分布三大分布 若若 ，则，则 )(2nX .2,nDXnEX 2、 分布的性质分布的性质 2 若若 ,且且X与与Y独立独立,则则)(),(22mYnX )(2mnYX 可加性可加性前一页前一页后一页后一页返返 回回例例1 1 设总体设总体 621,),1 , 0(XXXNX为取自总体为取自总体X

2、的样本的样本,26542321)()(XXXXXXY 令令求常数求常数C，使，使 2 CY前一页前一页后一页后一页返返 回回例例1 1 设总体设总体 621,),1 , 0(XXXNX为取自总体为取自总体X的样本的样本,26542321)()(XXXXXXY 令令求常数求常数C，使，使 2 CY解解: 由已知有由已知有 321XXX )3 , 0( N3321XXX ),1 , 0( N同理有同理有 3654XXX ).1 , 0( N且且 3321XXX 与与 3654XXX 相互独立相互独立. 于是，由于是，由 分布的定义有分布的定义有 2 26542321)3()3(XXXXXX ),2

3、(2 .31 C前一页前一页后一页后一页返返 回回4321,XXXX)2 , 0(N243221)43()2(XXbXXaX a b2 X例例2 2 设设为来自正态总体为来自正态总体的简单随机样本，的简单随机样本，则当，则当 ， 时，时，其自由度为，其自由度为 。记记前一页前一页后一页后一页返返 回回4321,XXXX)2 , 0(N243221)43()2(XXbXXaX a b2 X例例2 2 设设为来自正态总体为来自正态总体的简单随机样本，的简单随机样本，则当，则当 ， 时，时，其自由度为，其自由度为 。记记解：解： ),20, 0(221NXX ).100, 0(4343NXX ),1

4、 , 0(20221NXX ).1 , 0(1004343NXX 221)202(XX )2()10043(2243 XX ,201 a.1001 b由已知有由已知有 标准化得标准化得 易知易知 20221XX 1004343XX 与与 相互独立，相互独立， 于是，由于是，由 分布的定义有分布的定义有 2 前一页前一页后一页后一页返返 回回1、定义、定义 设设 且且X,Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量)(),1 , 0(2nYNX nYXT 所服从的分布称为自由度为所服从的分布称为自由度为n的的t 分布分布(或称学生氏分布或称学生氏分布),记为记为)(ntT)(ntxyO（二）（二）

5、 t 分布分布 前一页前一页后一页后一页返返 回回2、t 分布的性质分布的性质 （1 1）)(21);(lim22xenxfxn （3） 0)( TE2)( nnTD)2( n（2） 为偶函数。为偶函数。)(xfxyO前一页前一页后一页后一页返返 回回521,XXX c n, d n,例例3 3 设设相互独立，且都服从标准正态分布，相互独立，且都服从标准正态分布，)(2221XXc )(2n 服从服从，则，则（1）若）若25242321XXXXXd )(nt服从服从分布，则分布，则（2）若）若。 。 前一页前一页后一页后一页返返 回回521,XXX c n, d n,例例3 3 设设相互独立，

6、且都服从标准正态分布，相互独立，且都服从标准正态分布，)(2221XXc )(2n 服从服从，则，则（1）若）若25242321XXXXXd )(nt服从服从分布，则分布，则（2）若）若。 。 解：解： （1） 由卡方分布的定义，易得由卡方分布的定义，易得 . 2, 1 nc（2） 由已知有由已知有 ),2 , 0(21NXX 标准化得标准化得 )1 , 0(221NXX 由卡方分布的定义有由卡方分布的定义有 ),3(2252423 XXX 且且 221XX 与与 252423XXX 相互独立。相互独立。 于是于是,由由T分布的定义得分布的定义得 )3(3/ )(2/ )(25242321tX

7、XXXX 得得 ,23 d. 3 n前一页前一页后一页后一页返返 回回1、定义、定义 mYnXF/ ),(mnFF所服从的分布称为所服从的分布称为F分布。记为分布。记为设设 ，且，且X与与Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量),(2nX )(2mY 2、密度函数、密度函数 第一自由度第一自由度第二自由度第二自由度),(mnFxyO（三（三 ） F 分布分布 前一页前一页后一页后一页返返 回回（三（三 ） F 分布分布 2、F 分布的性质分布的性质 ),(1nmFX（1）若）若 ，则，则),(mnFX), 1(2nFT（2 2）若）若 ，则，则 )(ntT设设 且且X,Y相互独立，则相互独

8、立，则)(),1 , 0(2nYNX nYXT )(nt1、定义、定义 mYnXF/ ),(mnFF所服从的分布称为所服从的分布称为F分布。记为分布。记为设设 ，且，且X与与Y相互独立，则随机变量相互独立，则随机变量),(2nX )(2mY 第一自由度第一自由度第二自由度第二自由度),(mnF前一页前一页后一页后一页返返 回回1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF ), 4(bF a b,例例4 4 设随机变量设随机变量是取自总体是取自总体X的简单的简单服从分布服从分布，则，则随机样本，已知统计量随机样本，已知统计量。 ), 0( NX前一页前一页后

9、一页后一页返返 回回1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF ), 4(bF a b,例例4 4 设随机变量设随机变量是取自总体是取自总体X的简单的简单服从分布服从分布，则，则随机样本，已知统计量随机样本，已知统计量。 解解: 由已知由已知 ), 0(2 NX有有 ).1 , 0( NX 从而从而 1021,XXX均服从均服从 分布，且相互独立。分布，且相互独立。 )1 , 0(N由卡方分布的定义有由卡方分布的定义有 )4()()()(2242221 XXXU )6()()()(22102625 XXXV 且且U与与V相互独立，相互独立，于是，由于是，

10、由F分布的定义得分布的定义得 )6 , 4(6/4/FVU), 0( NX前一页前一页后一页后一页返返 回回), 0( NX1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXXXaF ), 4(bF a b,例例4 4 设随机变量设随机变量是取自总体是取自总体X的简单的简单服从分布服从分布，则，则随机样本，已知统计量随机样本，已知统计量。 )4()()()(2242221 XXXU )6()()()(22102625 XXXV 且且U与与V相互独立，相互独立，于是，由于是，由F分布的定义得分布的定义得 )6 , 4(6/4/FVU即即)6 , 4(6/ )(4/ )(210292827262524232221FXXXXXXXXXX 前一页前一页后一页后一页返返 回回1021,XXX210292827262524232221XXXXXXXXX