适用于高考数学(理科)第25期函数与导数专题第一版备考指导

1、适用于高考数学（理科）第25期 函数与导数专题 第一版 备考指导函数与导数备考策略650212 云南省昆明光华学校高中部 廖道忠一、考点透视函数是高中数学的重要内容，是学习高等数学的基础，函数的观点和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题及其他问题。导数作为新课标新增内容，近几年已由解决问题中的辅助地位，上升为分析和解决问题中必不可少的工具。纵观近几年的高考试题，函数与导数知识占有极其重要的地位，不仅形式多样,而且知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，突出考查学生方程与函数、联系与转化、分类讨论、数形结合等重要的数学思想、能力，是高考考查数学思想、数学方法、基础素质与综合能

2、力的主阵地。统览2007年全国各地高考数学的19套试卷，对函数与导数部分的考查多数为“三小一大”或“四小一大”。形式上遍布选择、填空、解答，难度上分层次考查，基础题考查学生对基本知识与基本方法的掌握，中档题考查的抽象思维能力与逻辑推理能力，难度题考查学生的综合应用能力。多套试卷以函数与导数的综合应用作为“压轴题”，来体现区分与选拔功能。整体来看，各卷考查的热点集中在三个方面。热点之一是考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数及函数图象；热点之二是利用函数、方程、不等式的相互关系，对具体问题具体分析，最终解决问题。热点之三是利用导数研究函数的性质，及函数与导数的综合应用。预测2008年高考

3、数学中对“函数与导数”的考查将会“稳中求进”，呈以下特点：（1）以指数函数、对数函数为主要载体，考查定义域、值域、单调性、最值、反函数、图象与简单性质等；（2）以抽象函数、分段函数为主要载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性与图象应用等问题；（3）以分式型函数、三次函数、“杂合型”函数为主要载体，考查函数的极限、导数的概念与几何意义、导数的应用；（4）解答题的考查重点是利用导数研究非初等函数的单调性、极值与最值、解决与方程及不等式相关的综合问题，压轴题中可能设计此部分与数列、三角、解析几何等知识的综合题来拔高难度；（5）三个“二次”的问题渗透在各类问题中进行综合、灵活考查。二、考点聚焦

4、 考点一 基本函数的图象与性质 21xyO21xyO21xyO例1 已知函数，则其反函数的图象大致为（ ）21xyO A B C D解:利用平移知识,画出原函数的图象,再作出其关于直线的对称图,选B。或解：求出反函数,结合平移知识作图. 例2 已知函数的对称中心是,则函数的单调减区间是 。 解:,此函数的对称中心为.,.函数的定义域为,又函数在上递减,在上递增,由复合函数的单调性知的单调减区间为.考点二 分段函数与复合函数例3 若函数在处连续，则 。解:由题意,其中,.例4 已知函数是定义域内的增函数,那么实数的取值范围为( ) A. B. C. D.解:先使函数中的每段递增,有;再使两段“接

5、头”处也递增，有。故，选C。考点三 抽象函数与函数性质例5 若函数是定义域为的奇函数，则函数必过点（ ） A（，1） B（1，1） C（2，1） D （，1）解：由题意，过原点（0，0）过点（1，0）过点过点。例6 已知定义在上的函数满足下列条件：（1）对任意的，都有；（2）对于任意，都有成立；（3）是偶函数。则由小到大依次为 。解：由（1）得，是以4为周期的周期函数；由（2）得为上的减函数；由（3）得的图象关于直线对称，有，故为偶函数。综合（1）（3）有，。再由（2）知，即。（注：此题可结合图象直观求解）考点四 函数图象及其应用例7 已知满足，且当时，与的图象的交点的个数为（ ）A1 B2

6、C3 D43x5y16241O1y=f(x)y=log5x解：由知是周期为2的周期函数.在同一坐标内画出函数及的图象（如右图）.由图知，两图象有4个交点.选D.yx2Ox204f(x)111例8 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如右图所示，则不等式的解集为 。241yxO1解:由导函数的图象知:在上,递减;在上,递增,结合图表可画出的草图(如右),结合图象有,不等式的解集为.考点五 导数的概念与意义例9 已知函数为可导函数，且满足，则过曲线上的点的切线的倾斜角的大小为 。解：切线的斜率，故倾斜角。例10若直线与曲线相切于异于原点的一点,则此切线与轴、直线围成的三角形

7、的面积为 .解:设切点为，则有，解得，结合图形易得所求三角形的面积为2。考点六 利用导数研究函数性质例11 设，函数，其中是自然对数的底数。（I）讨论函数在上的单调性；（II）若对任意恒成立,证明:当时,恒有.(III)若方程有三个相异的实数根，求的取值范围.解：（I） ，以下讨论的取值情况。当时，总成立，在上是减函数；当时，；或，故函数在区间上为增函数，在和上为减函数；当时，；或,此时函数在区间上为增函数,在和上为减函数。（II）由可得，递增;时,递减.故在时取得极大值,结合(I)得.此时,故当时,得证.(III) 由题意,的图象与轴有三个不同的交点.由(1)知并结合函数图象可得: 当时,不

8、满足; 当时,有;当时,有.综上所述,的取值范围为.考点七 函数与导数的综合应用例12 已知函数在上是增函数,在上是减函数. (I)求的值; (II)设函数是区间上的增函数,且对于内的任意两个变量,都有恒成立,求的取值范围.; (3)设,求证:解:（I），由题意，对恒成立，。，由题意，对恒成立，。故 （II）,当时，为减函数，其最小值为。又，由题意，对恒成立，。又当时，递增,。依题意，即，故的取值范围为。（III）。当时，不等式成立；当时， 。由已知，故，综上所述，所证不等式成立。三、备考指导1抓住两条主线，构建函数知识体系一是“基本函数的图象及其性质”，要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函

9、数、指数函数、对数函数等一些常见函数的图象性质，归纳提炼函数性质的应用规律。二是函数的概念与基本性质，熟练掌握函数的定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、反函数等基本求法与解题步骤，并会灵活应用。2依托基础知识，强化思想方法训练函数是考查“数形结合”思想的重要载体，要熟练掌握基本函数的图象和性质，分析掌握基本函数图象间的关系。在此基础上，理解掌握常见的平移、对称变换方法，强化“由式到图”和“由图到式”的转化训练。原函数与反函数，原函数与导函数图象之间的关系常被设计成考点，要注意重点掌握。函数与方程思想是本章复习的另一个重点，要善于转化命题，引进变量建立函数，运用变量的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力。此外，分类讨论思想、特殊化思想、转化与化归思想等都应在复习中多加体悟与应用。3加强纵横联系，强化综合应用意识在知识的交汇处命题是近几年高考的最大特点，函数的应用几乎可涵盖高中数学的各个章节, 因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列、解析几何等各章节知识的联系，养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力