my第二章电磁场的基本规律

1、 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律2.4 媒质的电磁特性媒质的电磁特性2.5 电磁感应定律电磁感应定律2.6 位移电流位移电流2.7 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.8 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 本章讨论内容本章讨论内容2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 讨论内容讨论内容：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律：电荷模型、电流模型、电荷守恒定律 电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。电荷电荷电流电流电场电场磁场磁场（运动）

2、（运动） 源量为电荷源量为电荷q ( r ，t )和和电流电流 I ( r ，t )，分别用来描述产生电分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。 电荷是物质基本属性之一。电荷是物质基本属性之一。 1897年英国科学家汤姆逊年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了在实验中发现了电子。电子。 19071913年间，美国科学家密立根年间，美国科学家密立根(R.A.Miliken)通过通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 3310

3、-19 (单位：单位：C)确认了电荷量的量子化概念。换句话说，确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。的整数倍。 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的组合，故的组合，故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。可任意连续取值。2.1.1 电荷与电荷密度电荷与电荷密度1. 电荷体密度电荷体密度VrqVrqrVd)(d)(lim)(0 VVrqd)(单位：单位：C/m3 (库仑库仑/ /米米3 3 ) 根据电荷

4、密度的定义，如果已知根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域某空间区域V中的电荷体密度，则区中的电荷体密度，则区域域V中的总电量中的总电量q为为 电荷连续分布于体积电荷连续分布于体积V内，用电荷体密度来描述其分布内，用电荷体密度来描述其分布 理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布点电荷、体分布电荷、电荷、面分布电荷、线分布电荷面分布电荷、线分布电荷qVyxzorV 若电荷分布在薄层上的情况若电荷分布在薄层上的情况，当仅考虑薄层外，距薄层的当仅考虑薄层外，距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层距离要比薄层

5、的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示分布的电荷可用电荷面密度表示。 2. 电荷面密度电荷面密度单位单位: C/m2 (库仑库仑/米米2) 如果已知某空间曲面如果已知某空间曲面S S上的电荷上的电荷面密度，则该曲面上的总电量面密度，则该曲面上的总电量q 为为SsSrqd)(SrqSrqrSSd)(d)(lim)(0yxzorqSS 在电荷分布在细线上的情况，在电荷分布在细线上的情况，当仅考虑细线外，距细线的当仅考虑细线外，距细线的距离要比细线的直径大得多处

6、的电场，而不分析和计算线内的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。 3. 电荷线密度电荷线密度lrqlrqrlld)(d)()(lim0 如果已知某空间曲线上的电荷线如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量密度，则该曲线上的总电量q 为为 Cllrqd)(单位单位: C/m (库仑库仑/米米)yxzorql 对于总电量为对于总电量为 q 的电荷集中在很小区域的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算析和计算该电荷所

7、在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中的电荷可看作位于该区域中心、电量为中心、电量为 q 的点电荷。的点电荷。 点电荷的电荷密度表示点电荷的电荷密度表示)rr(q)r( 4. 点电荷点电荷yxzorq 的的点点积积分分区区域域包包含含的的点点积积分分区区域域不不包包含含且且量量纲纲rr,1rr,0dV)rr(m1/rr,rr,0)rr(V32.1.2 电流与电流密度电流与电流密度说明说明：电流通常是时

8、间的函数，不随时间变化的电流称为电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定恒定 电流电流，用，用I I 表示。表示。形成电流的条件形成电流的条件： 存在可以自由移动的电荷存在可以自由移动的电荷 存在电场存在电场单位单位: A （安培）（安培）电流方向电流方向: : 正电荷的流动方向正电荷的流动方向0lim ()ddtiqtqt 电流电流 电荷的定向运动而形成，用电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即的电荷量，即0dlimdnnSiiJeeSS 电荷在某一体积内定向运动所形电荷在某一体积内定向运动

9、所形成的电流称为体电流，用体成的电流称为体电流，用体电流密度电流密度矢量矢量 来描述。来描述。J单位单位：A/m2 。 一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用同的。在电磁理论中，常用体电流体电流、面电流面电流和和线电流线电流来描述电流来描述电流的分布状态。的分布状态。 1. 体电流体电流 SSJId流过任意曲面流过任意曲面S 的电流为的电流为体电流密度矢量体电流密度矢量JneS正电荷运动的方向正电荷运动的方向2. 面电流面电流 电荷在一个厚度可以忽略的电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称薄

10、层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量为面电流，用面电流密度矢量 来描述其分布来描述其分布SJ面电流密度矢量面电流密度矢量d 0tenelSJ0h0dlimdSttliiJeell 单位：单位：A/m。正电荷运动的方向正电荷运动的方向3. 线电流线电流 : Idl通过薄导体层上任意有向曲线通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为的电流为l)l de.(Jinls ddddddSVqJSVtt 2.1.3. 电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分

11、转移到另一部分，或者从一个物体转移的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。到另一个物体。电流连续性方程电流连续性方程积分形式积分形式微分形式微分形式流出闭曲面流出闭曲面S的电流的电流等于体积等于体积V内单位时内单位时间所减少的电荷量间所减少的电荷量恒定电流的连续性方程恒定电流的连续性方程0t恒定电流是无散场，电恒定电流是无散场，电流线是连续的闭合曲线，流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点既无起点也无终点电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。. tJ0dSSJ0J .、2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律1. 库仑库仑

12、（Coulomb）定律定律(1785年年) 121212122301201244Rq qq q RFeRR2.2.1. 2.2.1. 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度静电场静电场：由静止电荷产生的电场由静止电荷产生的电场重要特征重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用对位于电场中的电荷有电场力作用真空中静止点电荷真空中静止点电荷 q1 对对 q2 的作用力的作用力:yxzo1r1q2r12R12F2q ，满足牛顿第三定律。，满足牛顿第三定律。2112FF 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比； 方向沿方向沿q1 和和q2

13、连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引； 电场力服从叠加原理电场力服从叠加原理31104iNNiqq qiiiiqqFFRR()iiRrr 真空中的真空中的N个点电荷个点电荷 （分别位于（分别位于 ）对点电荷对点电荷 （位于（位于 ）的作用力为）的作用力为12Nqqq、 、 、q12Nrrr、 、 、rqq1q2q3q4q5q6q72. 电场强度电场强度 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即试验电荷）受到的作用力，即00)(lim)(0qrFrEq30R4Rq)

14、r(E 如果电荷是连续分布呢？如果电荷是连续分布呢？ 根据上述定义，真空中静止点根据上述定义，真空中静止点电荷电荷q 激发的电场为：激发的电场为：()Rrr 描述电场分布的基本物理量描述电场分布的基本物理量 电场强度矢量电场强度矢量E0q试验正电荷试验正电荷 yxzorqrREM体密度为体密度为 的体分布电荷产生的电场强度的体分布电荷产生的电场强度)(r31030( )( )41()d4iiiiiVrV RE rRr RVR30( )1( )d4SSr RE rSR30()1( )d4lCr RE rlR)(rl线密度为线密度为 的线分布的线分布电荷的电场强度电荷的电场强度)(rS面密度为面密

15、度为 的面分布的面分布电荷的电场强度电荷的电场强度小体积元中的电荷产生的电场小体积元中的电荷产生的电场( )rVyxzoriVrM3. 几种典型电荷分布的电场强度几种典型电荷分布的电场强度120210(coscos)4(sinsin)4llzEErrr- 02lE 22 3 20(0,0, )2()lza zEzaz+ 均匀带电直线段的电场强度均匀带电直线段的电场强度： 均匀带电圆环轴线上的电场强度：均匀带电圆环轴线上的电场强度：（无限长）（无限长）（有限长）（有限长）lyxzoMa均匀带电圆环均匀带电圆环l1zM2均匀带电直线段均匀带电直线段 相距很小距离 的一对等值异号的电荷，称为电偶极子

16、 例例2.2.1 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。电偶极矩电偶极矩dqp 解：两个点电荷在解：两个点电荷在P点处产生的电场强度为点处产生的电场强度为)rrrr(4qE3223110 +q电偶极子电偶极子zodq2rr),(rP1r2derrz1 2derrz2 rd，将，将r1、 r2用二项式定理展开，略去高阶项，得用二项式定理展开，略去高阶项，得 )rde . r231(r)rde . r1(r)4dde . rr()2der).(2der(2derr2z3232z3232z223zz3z31 )rde . r231(r)rde . r1(r)4dde . rr()2der)

17、(2der(2derr2z3232z3232z223zz3z32 )dr(4rdr222 较较小小项项提提出出来来，并并略略去去将将)1a.(a!2)1n(nna1)a1(2n 等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图 电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度 )prrp . r3(r41)derrde . r3(r4qE230z2z30 )sincos2(r4pEr30ee 球坐标系中电偶极子的电场强度球坐标系中电偶极子的电场强度 qdep,rersinecoseezrrz 例例 2.2.2 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强

18、度。解解：在环形薄圆盘上取面积元在环形薄圆盘上取面积元d d d Sredd d d SSqS zre zP(0,0,z)brRyzx均匀带电的环形薄圆盘均匀带电的环形薄圆盘dSadE源点位置矢量源点位置矢量场点位置矢量场点位置矢量电量电量2223/200( )d d 4( )bzSae zeE rz 2200dcossin)d0 xye(ee22 3/222 1/222 1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree故故由于由于u 在在P点处产生的电场强度为点处产生的电场强度为30R4Rq)r(E ()Rrr2.2.2 静电场的散度与旋度静电场的散度与旋度 VS

19、VrSrE)d(1d)(0高斯定理表明高斯定理表明：静电场是有散场，电场线起始于正电荷，终止静电场是有散场，电场线起始于正电荷，终止 于负电荷。于负电荷。静电场的散度静电场的散度（微分形式）（微分形式）1. 静电场散度与高斯定理静电场散度与高斯定理静电场的高斯定理静电场的高斯定理（积分形式）（积分形式）( )0E r ( ) d0CE rl环路定理表明环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。无关。静电场的旋度静电场的旋度（微分形式）（微分形式）2. 静电场旋度与环路定理静电场旋度与环路定理静电场的环路定理静电场的环路定理（积分形

20、式）（积分形式）0E. 当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 3. 利用高斯定理计算电场强度利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体均匀带电球体带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。：如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电

21、的直线，圆柱面，圆柱壳等。：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。( (a a) )( (b b) ) 例例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强0300341daqSES（2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强VSEVoSd1d0ar0rrEa20303raE30o2r341Er4 orE30（r a时，因时，因223/23()zaz，故，故2200d( cossin)d0 xyeee由于由于 ，所以，所以 在圆环的中心点上，在圆环的中心点

22、上，z = 0，磁感应强度最大，即，磁感应强度最大，即2200223/2223/20( )d 4()2()zIaIae aB zzaza3/22220z)a2(zIae 2.3.2 恒定磁场的散度和旋度恒定磁场的散度和旋度 )()(0rJrBISrJlrBSC00d)(d)(1.1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理恒定磁场的散度与磁通连续性原理( ) d0SB rS磁通连续性原理磁通连续性原理表明表明：恒定磁场是无散场，磁场线是无起点和恒定磁场是无散场，磁场线是无起点和 终点的闭合曲线。终点的闭合曲线。恒定场的散度恒定场的散度（微分形式）（微分形式）磁通连续性原理磁通连续性原理（积分形式）（积

23、分形式）安培环路定理表明安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的漩涡源。场的漩涡源。恒定磁场的旋度恒定磁场的旋度（微分形式）（微分形式）2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理恒定磁场的旋度与安培环路定理安培环路定理安培环路定理（积分形式）（积分形式）0)r (B. 解解：分析场的分布，取安培环路如图：分析场的分布，取安培环路如图 1200dSCBlBlBlJ l根据对称性，有根据对称性，有 ，故，故 12BBB00000202SySyJexBJex 当磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路当磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利

24、用安培环路定理计算磁感应强度。定理计算磁感应强度。 3. 利用安培环路定理计算磁感应强度利用安培环路定理计算磁感应强度C 例例2.3.2 求电流面密度为求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁的无限大电流薄板产生的磁感应强度。感应强度。0SzSJe J 解解 选用圆柱坐标系，则选用圆柱坐标系，则()Be B应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得21022IBa 例例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。(1) 0a22122IIIaa取安培环路取安培环路 ，交链的电流为，交链的电流为1()Rabc0122IBea (3) bc应用安培环路定律

25、，得应用安培环路定律，得220322()2I cBcb(4) c(2) ab202BI222232222bcIIIIcbcb40I 2203222I cBecb022IBe40B 2.4 2.4 媒质的电磁特性媒质的电磁特性 1. 电介质的极化现象电介质的极化现象电介质的分子：电介质的分子： 无极分子和有极分子无极分子和有极分子电介质的极化：电介质的极化： 位移极化位移极化无极分子的束缚电荷无极分子的束缚电荷发生位移发生位移 取向极化取向极化有极分子的固有电偶有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向极矩的取向趋于电场方向2.4.1 电介质的极化电介质的极化 电位移矢量电位移矢量无极分子无极分子

26、有极分子有极分子无外加电场无外加电场 媒质对电磁场的响应可分为三种情况：媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化极化、磁化磁化和和传导传导。 描述媒质电磁特性的参数为：描述媒质电磁特性的参数为： 介电常数介电常数、磁导率磁导率和和电导率电导率。无极分子无极分子有极分子有极分子有外加电场有外加电场E2. 极化强度矢量极化强度矢量)mC(2P0limiVpPnpV 极化强度矢量极化强度矢量 是描述介质极化程是描述介质极化程 度的物理量，定义为度的物理量，定义为Ppql 分子的平均电偶极矩分子的平均电偶极矩 P 的物理意义：单位体积内分子电偶的物理意义：单位体积内分子电偶 极矩的矢量和。极矩的矢量和。

27、 极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、 各向同性的电介质中，各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即与电场强度成正比，即P0ePE (0)e 电介质的电极化率电介质的电极化率 EpnPipp 由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。3. 极化电荷极化电荷( 1 ) 极化电荷体密度极化电荷体密度 在电介质内任意作一闭合面在电介质内任意作一闭合面S，只只有

28、电偶极矩穿过有电偶极矩穿过S 的分子对的分子对 S 内的极化内的极化电荷有贡献。由于电荷有贡献。由于负电荷负电荷位于斜柱体内位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元的电偶极矩才穿过小面元 dS ，因此，因此dS对极化电荷的贡献为对极化电荷的贡献为dd cosd cosdPqqnl SP SPS S所围的体积内的极化电荷所围的体积内的极化电荷 为为PqVSPVPSPqddPPE SPSdV( 2 ) 极化电荷面密度极化电荷面密度 紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元 的的极化电荷为极化电荷为dSdd cosd cosdPqqnl SP SPS故得

29、到电介质表面的极化电荷面密度为故得到电介质表面的极化电荷面密度为nedSSPnspe .P 4. 电位移矢量电位移矢量 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 介质的极化过程包括两个方面：介质的极化过程包括两个方面：q 外加电场的作用使介质极化外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；，产生极化电荷；q 极化电荷反过来激发电场极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。从同样的库仑定律和高斯定理。VpSVSE)d(1d0pE0自由电荷

30、和极化电荷共同激发的结果自由电荷和极化电荷共同激发的结果 介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：加，应用高斯定理得到：PED0任意闭合曲面电位移矢任意闭合曲面电位移矢量量 的通量等于该曲面内的通量等于该曲面内包含自由电荷的代数和包含自由电荷的代数和 小结小结：静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为：静电场是有散无旋场，电介质中的基本方程为 引入电位移矢量（单位为引入电位移矢量（单位为C/m2 ) )pP 将极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ，有，有0PED则有则有 VSVSDdd其积分形式

31、为其积分形式为 dd( ) d0SVCDSVE rl（积分形式）（积分形式） 0DE （微分形式），（微分形式）， P.E.0 EPe0EEEDre00)1 (在这种情况下在这种情况下00)1 (reer1其中其中 称为介质的介电常数，称为介质的介电常数， 称为介称为介质的相对介电常数（无量纲）。质的相对介电常数（无量纲）。* * 介质有多种不同的分类方法，如：介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质时变和时不变介质线性和非线性介质线性和非线性介质确定性和随机介质确定性和随机介质5. 电介质的本构关系电介质的本构

32、关系E 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，对于线性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系PEP例例2.4.1 半径为半径为a的球形区域内充满分布不均匀的体密度电荷，的球形区域内充满分布不均匀的体密度电荷， 若已知电场分布如下，式中的若已知电场分布如下，式中的A A为常数，试求电荷体密度。为常数，试求电荷体密度。 ar)Aaa(ear)Arr(eE45r23r解：由高斯定理的微分形式得解：由高斯定理的微分形式得ED)r(0 ar0ar)Ar4r5()Er(drdr1)r(20r220例例2.4.2

33、 半径为半径为a、介电常数为、介电常数为 的球形介质内的极化强度为的球形介质内的极化强度为rkePr ，式中，式中k k为常数。为常数。(1)计算极化电荷体密度和面密度；计算极化电荷体密度和面密度；(2)计算电解质球内自由电荷体密度。计算电解质球内自由电荷体密度。解：解：(1) 极化电荷体密度为：极化电荷体密度为：PP222r22Prk)rkr(drdr1)Pr(drdr1 在在r=a的球面上的极化电荷面密度为：的球面上的极化电荷面密度为：ake .rkee .Parrrnsp P.D.)PE.(D.00 (2)计算电解质球内自由电荷体密度：计算电解质球内自由电荷体密度：200rkP.D P.

34、D.)1(0 2.4.2 磁介质的磁化磁介质的磁化 磁场强度磁场强度1. 磁介质的磁化磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形介质中分子或原子内的电子运动形成分子电流，形成分子磁矩成分子电流，形成分子磁矩无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B 在外磁场作用下，分子磁矩定向在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的称为磁介质的磁化磁化。mpi S 无外磁场作用时，分子磁矩不规无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。则排列，宏观上不显磁性。mpi S 0limmmVpMnpVB2. 磁化强度矢量磁化强度矢量M 磁化强度磁

35、化强度 是描述磁介质磁化是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即的分子磁矩的矢量和，即 MmMnp单位为单位为A/m。均匀磁化：均匀磁化：磁介质的某区域内各点的磁介质的某区域内各点的M相同。相同。3. 磁化电流磁化电流 磁介质被磁化后，在其内部磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。布，称为磁化电流。BCdldlmpS（1 1） 磁化电流体密度磁化电流体密度MJMJM（2 2） 磁化电流面密度磁化电流面密度SMJSMnJMe磁介质表面的磁介质表面的法向单位矢量法向单位矢量SMJn

36、eMld4. 磁场强度磁场强度 介质中安培环路定理介质中安培环路定理 )(0MJJBSMCSJJlBd)(d0MJJ、分别是分别是传导电流传导电流密度和密度和磁化电流磁化电流密度。密度。 将极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ， 有有MJM)(0MJJBJMB)(0)(0MHB, 即即 外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁场，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度样也激发磁场，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度B 应是所有电流源激励的结果：应是所有电流源激励的结果： MBH0定义磁场强度定义

37、磁场强度 为：为：H)()(rJrHSCSrJlrHd)(d)(0)(rB0d)(SSrB则得到介质中的安培环路定理为：则得到介质中的安培环路定理为：磁通连续性定理为磁通连续性定理为小结小结：恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为：恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为 （积分形式）（积分形式） （微分形式）（微分形式）0)()()(rBrJrH0d)(d)(d)(SSCSrBSrJlrHHMmHHBm)1 (0m其中，其中， 称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。称为介质的磁化率（也称为磁化系数）。这种情况下这种情况下00)1 (rmmr1其中其中 称为介质的磁导率，称为介质的磁导率，

38、 称为介质称为介质的相对磁导率（无量纲）。的相对磁导率（无量纲）。顺磁质顺磁质抗磁质抗磁质铁磁质铁磁质磁介质的分类磁介质的分类11rr1r5. 磁介质的本构关系磁介质的本构关系 磁化强度磁化强度 和磁场强度和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决之间的关系由磁介质的物理性质决定，对于线性各向同性介质，定，对于线性各向同性介质， 与与 之间存在简单的线性关系：之间存在简单的线性关系：MHHM例例2.4.3 半径为半径为a的球形磁介质的磁化强度的球形磁介质的磁化强度 为为 ，式中的式中的A A、B B 为常数，试求磁化电流密度。为常数，试求磁化电流密度。)BAz(eM2z 解：解：0)BAz(e

39、)zeyexe(MJ2zzyxM sin)BcosAa(ee)BcosAa)(sinecose(e)BAz(eeMJ22r22rr2zarnsM OMreeZ 例例 2.4.4 内外半径为内外半径为a,b的无限长圆筒形磁介质中，沿轴向有电的无限长圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为流密度为 ，设磁介质的磁导率为，设磁介质的磁导率为 ，求磁化电流分布。，求磁化电流分布。0zJeJ abJZ 解：圆筒形磁介质为无限长，故解：圆筒形磁介质为无限长，故场分布是轴对称的，只有场分布是轴对称的，只有 分量。分量。e(1) 0a0B,0H0H2111 应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得2)a(JeHB,

40、2)a(JeHeH)a(JH222022220222202 （2 2）ba 2)ab(JeHB,2)ab(JeHeH)ab(JH22200303220332203 （3 3）b )a(J2eHBM22000202 （4 4） 区域的磁化强度区域的磁化强度ba 000zMJeMJ （5 5）磁化电流分布）磁化电流分布)ba( 0)aa(Ja2e)e(MeMJ22000zanSM )ab(Jb2eeMeMJ22000zbnSM IHlHC2d磁场强度磁场强度02IeH磁化强度磁化强度aaIeHBM02000磁感应强度磁感应强度aIeaIeB2020HMB 例题例题 有一磁导率为有一磁导率为 ，半径

41、为，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 ），试求圆柱内外），试求圆柱内外的的 、 和和 的分布。的分布。 解解 磁场为平行平面场磁场为平行平面场, ,且具有轴对称性，应用安培环路定律，且具有轴对称性，应用安培环路定律，得得2.4.3 媒质的传导特性媒质的传导特性 对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量量 J 和电场强度和电场强度 E 成正比，表示为成正比，表示为EJ这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数这就是欧姆定律的微分形式。

42、式中的比例系数 称为媒质的电称为媒质的电导率，单位是导率，单位是S/m（西门子（西门子/米）。米）。晶格晶格带电粒子带电粒子 存在可以自由移动带电粒子的介质称为存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质导电媒质。在外场作。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。用下，导电媒质中将形成定向移动电流。 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流2.5.1 电磁感应定律电磁感应定律 自从自从1820年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相年奥斯特发现电流的磁效应之后，人们开始研究相反的问题，即磁场能否产生电流反的问题，即磁场能否产生电流。 1831年年法拉弟发现，当穿过导体回路的磁

43、通量发生变化时，法拉弟发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变化有密切关系，由此总结出了著名的法拉电磁感应定律。化有密切关系，由此总结出了著名的法拉电磁感应定律。 电磁感应定律电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场揭示时变磁场产生电场 位移电流位移电流 揭示时变电场产生磁场揭示时变电场产生磁场 重要结论重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。的电磁场。负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。负号表示感应电流产生的

44、磁场总是阻止磁通量的变化。tindd1. 法拉弟电磁感应定律法拉弟电磁感应定律 SSBd n B C S dl 设任意导体回路设任意导体回路C围成的曲面为围成的曲面为S，其，其单位法向矢量为单位法向矢量为 ，则穿过回路的磁通为，则穿过回路的磁通为 neSinSBtddd 当通过导体回路所围面积的磁通量当通过导体回路所围面积的磁通量 发发生变化时，回路中产生的感应电动势生变化时，回路中产生的感应电动势inin的大的大小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是小等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即要阻止回路中磁通量的改变，即 对感应电场的讨论对感应电场的讨论： 导体回路中有

45、感应电流，表明回路中存在感应电场导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，回路，回路中的感应电动势可表示为中的感应电动势可表示为inEld .ECinin 因而有因而有 SCinSd .Bdtdld .E 感应电场是由变化的磁场所激发的电场；感应电场是由变化的磁场所激发的电场； 感应电场是有旋场；感应电场是有旋场； 感应电场感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外的 空间；空间； 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有，都有 SCinSd .Bdtdld .E相应的微分形式为相应的微分形

46、式为(1) 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化推广的法拉第电磁感应定律推广的法拉第电磁感应定律2. 引起回路中磁通变化的几种情况：引起回路中磁通变化的几种情况：磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有BEt SCSd .Bdtdl d .E 若空间同时存在自由电荷产生的电场若空间同时存在自由电荷产生的电场 , ,则总电场则总电场 应为应为 与与 之和，即之和，即 。由于。由于 ，故有，故有 EinEcEincEEEcE0l d .ECc ddddSSBBSStt SCSd .tBld .E称为动生电动势，这就是发电机工作原理。称为动生电动势

47、，这就是发电机工作原理。( 2 ) 导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动d() dinCCElvBl( 3 ) 回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动d() ddinCCSBElvBlSt （1） ，矩形回路静止；，矩形回路静止；)cos(0tBeBzxbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环LvB （3） ，且矩形回路上的可滑动导体，且矩形回路上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。vevx)cos(0tBeBz 例例 2.5.1 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动

48、势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。B （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大；运动而随时间增大；0BeBzxve v00dcos()dsin()inzzSSBSe BteSabBttt 解解：(1) 均匀磁场均匀磁场 随时间作简谐变化，而回路静止，随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故因而回路内的感应电动势是由磁场变化产生的，故B00() d()dinxzyCCvBle v e BelvB b ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上

49、的可滑动导体以匀速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体L在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得B或或00ddd()ddinSBSbB vtbB vtt ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L 在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得0000d() d(cos)d(cos)dsincosinSCzzxzySCBSvBlte BteSe ve BteltvtbBtvbBt dSe .z或或00ddd()ddinSBSbB vtb

50、B vtt )bvte . tcosBe(dtdz0z 解解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故ab 例例 2.5.2 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，如角，如图所示。试求：图所示。试求： （1 1）线圈静止时的感应电动势；）线圈静止时的感应电动势； （2 2）线圈以角）线圈以角速度速度 绕绕 x x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感应电动势。 0sinyBe BtneyexyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁

51、场中的矩形线圈necostcosabBdScostcosB)dScostsinB(t)dSe . tsinBe(tSd .tBl d .E0s00sn0yssCin （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用感应电动势可以用两种方法两种方法计算。计算。ne 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故故0t 0net 方法一：方法一：利用式利用式 计算计算 SCSd .Bdtdl d .E0000dddddsind(sincos)ddd1(sin 2)cos 2d2inSynSB

52、Ste Bt eSabBttttB abtB abtt Sd .BdSe .n0022000coscossinsincossincos2inab BtB abtB abtBabtB abt 上式右端第上式右端第二二项与项与( 1 )相同，第相同，第一一项项xyzabB时变磁场中的矩形线圈时变磁场中的矩形线圈ne12 234 方法二：利用式方法二：利用式计算。计算。d() ddinCCSBElvBlSt1023040() d()sind2()sind2sinsinnyxcnyxbvBlee Bt exbee Bt exB abtl d .dxe .xdxe .x 在时变情况下，安培环路定理是否要

53、发生变化？有什么变在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变 化？即化？即问题问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场是 否会产生磁场？否会产生磁场？2.5.2 位移电流位移电流 静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即0EtBE 这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即重要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场时变磁场可以激发电场 。JH（恒定磁场）（恒定磁场）?H（时变场）（时变

54、场）1. 全电流定律全电流定律而由而由JH时变电磁场的电时变电磁场的电流连续性方程：流连续性方程： )(DtJ发生矛盾发生矛盾在时变的情况下不适用在时变的情况下不适用 解决办法：解决办法： 对安培环路定理进行修正对安培环路定理进行修正由由 D0)(HJ0)(tDJ0tJ将将 修正为：修正为： JHtDJH矛盾解决矛盾解决时变电场会激发磁场时变电场会激发磁场全电流定律：全电流定律：tDJH 微分形式微分形式StDJlHCsd)(d 积分形式积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一

55、个对偶以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。关系。tDJd2. 位移电流密度（位移电流密度（安培安培/平方米平方米）q 电位移矢量随时间的变化率，能像电电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流；在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流； 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流；在理想导体中，无位移电流，但有传导电流； 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q 位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同

56、，它不产生热效应。导电流不同，它不产生热效应。q 位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。dJ 例例 2.5.3 海水的电导率为海水的电导率为4S/m，相对介电常数为，相对介电常数为81，求频率，求频率为为1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为则位移电流密度为其振幅值为其振幅值为传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为故

57、故tEeEmxcostEetDJmrxdsin0mmrdmEEJ30105 . 4mmcmEEJ4310125. 1cmdmJJf2 cos()A/mxmHe Htkz2()cos()sin()A/mdxyzxxxyymymDJHeeee HtxyzHeeHtkzzze kHtkz 000011dsin()dcos()V/mymymDDEte kHtkzttkeHtkz 式中的式中的 k 为常数。试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。 例例 2.5.4 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由

58、式 , 得得DHt 例例 2.5.5 铜的电导率铜的电导率 、相对介电常数、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为设铜中的传导电流密度为 。试证明：在无线。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。75.8 10 S/m1r2cosA/mxmJe Jt000(cos)sindrrxmxrmDEJe EteEtttt 0dmrmJE 而传导电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为mmJE通常所说的通常所说的无线电频率无线电频率是指是指 f = 300MHz以下的频率范围，即使扩以下的频率范围，即使扩展到极高频段

59、（展到极高频段（f = 30GHz300GHz），从上面的关系式看出比），从上面的关系式看出比值值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。 解解：铜中存在时变电磁场时，：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度位移电流密度为为位移电流密度的振幅值为位移电流密度的振幅值为12130721 8.854 109.58 105.8 10dmrmmmmmJEfEfJEE 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 VSVddtdSdJ 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场 的基本方程的基本方程 2.6.

60、1 2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式d() dddd0ddCSCSSSVDHlJStBElStBSDSV s(DBtBEtDJH02.6.2 2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线无源场，磁力线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场表明电荷产生电场2.6.3