两个重要极限（课堂PPT）

1、第五讲第五讲 函数极限的计算函数极限的计算 两个重要极限两个重要极限 内容提要内容提要1. 两个重要极限；两个重要极限；2. 两个极限存在准则。两个极限存在准则。 教学要求教学要求 熟练掌握用两个重要极限求极限；熟练掌握用两个重要极限求极限；一、极限存在的两边夹准则一、极限存在的两边夹准则（1 1）夹逼准则）夹逼准则 都有不等式都有不等式)()()(xhxfxg 成立成立 , 且且Axhxgxxxx= = =)(lim)(lim00注注 准则一准则一对对 x 等等 情况也成立。情况也成立。 Axfxx= =)(lim0则则极限存在准则极限存在准则),(0 xUx 若若利用两边夹法则可以证明利用

2、两边夹法则可以证明: : 0sinlim0= =xx1coslim0= =xx（两边夹法则）（两边夹法则） 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。关系求极限。二、复合函数极限二、复合函数极限定理定理 （复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则变量代换法则变量代换法则）Aufxf

3、Aufaxxaxauxxauxx= = = = = =)(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 则则又又的某去心邻域内的某去心邻域内但在但在设设证证知知由由Aufau= =)(lim0, 0 有有时时使使当当,|0 au |)(|Auf得得又又由由axxx= =)(lim0 00 ，对上述对上述有有时时使使当当,|00 xx |)(|axax )( 又又 |)(|0ax |)(|Axf由极限定义得由极限定义得Aufxfauxx= = =)(lim)(lim0 此定理表明：此定理表明：满满足足定定理理的的条条件件与与若若)()(xuf 则可作代换则可作代换转化为转化为把求把求)(

4、lim)(0 xfxuxx = =)(lim),(lim0 xaufxxau = =这里这里极限过程的转化极限过程的转化注注AufAufxaxuau= = = = = = )(lim)(lim)(lim)(lim换成换成换成换成如将如将 可得类似的定理可得类似的定理例1. 求解解: 令.93lim23xxx932=xxu=ux3lim6131lim3=xx 原式 =uu61lim61=66=例2 . 求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu =则, 1lim1=ux令11112=uuxx1= u 原式) 1(lim1=uu2=方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1=xx

5、xx) 1(lim1=xx2=复习：单调有界准则复习：单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:x1x2x3xnx1 nxMA三、两个重要极限三、两个重要极限 ( x 取弧度单位取弧度单位 )如图所示如图所示 , 作单位圆作单位圆则圆心角则圆心角AOB=x ， 显然有显然有AODAOBSSSD DD D AOB扇形扇形 即即xxxtansin 分别除以分别除以 xsin 对于对于情形情形, ,20 x有有xxxcos1sin1 D1sinlim)1(0= =xxx证证: :oyx

6、BAx= =BCxsin= =ADxtanxxsin21xtan21x21C= =AB再取倒数再取倒数 , 得得1sincos xxx (1)由于用由于用x 代替代替x时时xcos和和xxsin都不变号都不变号不等不等 式式 (1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有不等式 1sincos xxx 成立。成立。3由于由于1coslim0= =xx , 且且11lim0= =x ,由夹逼准则由夹逼准则可知可知 , 1sinlim0= =xxx . 证毕证毕从而当从而当时时 , 2, 00,2 x2. .对于对于的情形的情形 ,02 x 所以当所以当时时 ,02 x 对对xxxcos1sin1 20

7、x（偶函数），（偶函数），1sinlim0= =xxx1)()(sinlim0)(= =xxx 0= =注意：注意：xxxsinlim xxxsinlim10求求例例解解xxxsinlim0 xxxsin1lim0= =xxxsinlim10= =1= =1sinlim0= =xxx1)(sin)(lim0)(= =xxx 例例2 求求xxx3sinlim0解解 xxx3sinlim0 xxx33sinlim303 = =3= =1)()(sinlim0)(= =xxx xxxtanlim. 30求求例例解解xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 = =1= =例例4 求求)0,

8、(sinsinlim0 babxaxx解解= =bxaxxsinsinlim00limxba= =bxbxbaxaxasinsin bxbxaxaxxsinsinlim0bxbxaxaxbabxaxsinlimsinlim00= =ba= =1)()(sinlim0)(= =xxx 解解 当当 n时时 , 因此因此例例5 5nnn sinlim , 有有0n nnn sinlim nnn sinlim = = 1 = = = =1)()(sinlim0)(= =xxx nnn sinlim0= =例例 6 2021cos1limxxx 220212sin2limxxx= =22022sinli

9、m = =xxx2022sinlim = =xxx21= =1= =1)()(sinlim0)(= =xxx 解解2021cos1limxxx 2022sinlim = =xxx2c o s.25lim例 求解cossin,2=因为22sincos2limlim.22=所以,0,22tt=设当时02cossinlimlim1.2ttt=则例例 8 8 求求30sintanlimxxxx 解解1)1sin(lim. 121 xxx1)1sin(lim21 xxx1)1sin()1(lim221 = =xxxx练习练习解解2= =xxxarcsinlim0解解xxxarcsinlim. 20ttt

10、sinlim0= =1= =tx = =arcsin令令txsin= =. 00tx则则xxx1sinlim. 4 解解xxxcotlim0 xxxxsincoslim0= =xxxxcossinlim0 = =1= =xxxcotlim. 30解解xxx1sinlim xxx11sinlim01= =1= = 证明略证明略 ( 可用两个准则证明可用两个准则证明)。exxx= = 11lim)2(exxx= = )()()(11lim 例例 1 xxx 31lim33311lim = = xxx解解xxx 31lim3e= =33311lim = = xxx解法一解法一令令tx = = 则当则

11、当 x时时 有有 t 所以所以例例2 求求3411lim xxx3)(411lim = =ttt3411lim xxx = = 311limtt411lim ttt431 = =e4 = = e3)(4)11()11(limtttt = = xxx411lim = = 311lim xx411lim = =xxx311lim xx3411lim xxx解法二解法二4 = = eexxx= = )()()(11lim 34)11()11(limxxxx = = 解解 令令tx= =1 当当0 x时时 有有 t 所以所以例例3 xxx101lim ttt = = 11lim xxx101lim e

12、= = exxx= = 101limexxx= = 11limexxx= = )()()(11lim exxx= = )(10)()(1 lim 1)1(（3）倒数关系）倒数关系)1()2( 注意：注意： ,1lim1exxx exxx 11lim0解一解一)121()121(lim221 = = xxxx原原式式2e= =解二解二xxxxx)11()11(lim = = 原式原式21eee= = = 例例4 求求xxxx 11lim解解.)23(lim2xxxx 求求.)01(242ee= = = = 例例11xxx2)211(lim = = 原式原式4)2(2)211(lim = =xxx

13、422)211()211(lim = =xxxx解解)1, 0(.)1(loglim0 aaxxax求求例例13)1(log1lim0 xxax = =原原式式)1(loglim10 xaxx = =)1(limlog10 xxax = =log ea= =aln1= =axxaxln1)1(loglim0= = 1)1ln(lim0= = xxx典型极限0lim)3(xxxxcot110lim=xxxxcot)121(e=)1(ln12xxxx122e=则有)()(1lim0 xvxxxu复习复习: 若,0)(lim0=xuxx,)(lim0=xvxxe=)(1ln)(lim0 xuxvxx

14、e=)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1解解)1, 0(.1lim0 aaxaxx求求例例1400).1(log,1 = = = txtxtaax时时，当当则则令令aalnln11= = =axaxxln1lim0= = 11lim0= = xexx典型极限)1(loglim0ttat = =原式原式解解)0(.11lim1 xxx求求例例15 = = = =11 = = 11lim1xxx典型极限11limln1 = =xexx 原原式式1)1(1lnln1limln1 = =xxxexx )01, 0ln( xx =xxx1) 1(lim0;)tan1(lim. 1cot50 xxx 求求解解xxxcot50)tan1(lim 5tan10tan)tan1(limxxx = =5e= =;)1(lim. 3xxxx 求求解解xxxx = =)1(limxxxx)1(lim 1)11(lim = =xxx1 = = eexxx= = )(10)()(1 lim ;)21(lim. 2xxx 求求解解xxx)21(lim 22)21(lim = =xxxexxx= = )()()(11lim 2 = = e练习练习小结小结重要极限一重要极限一 : 1