余子式与代数余子式（课堂PPT）

1、,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 n

2、ija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子

3、式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211

4、 ni, 2 , 1 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同

5、理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中例例 计算行列式计算行列式277010353 D解解27013 D.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 1. 降阶法：降阶法： 行列式按行（列）展开法则是把行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式高阶行列式的计算化为低阶行列式. ;,0,. 21jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中三、小结三、小结思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.1121