数学美与数学教学

1、数学论文集美与数学论文集教学论文集    一、数学知识之结构美与教学数学基础知识主要包括数学概念、命题、法则以及内容所反映出来之数学思想方法。数学知识之和谐美和简练美是数学知识结构美之两个主要方面。数学知识之和谐美是数学之普遍形式。教学时，教师不但要对这种美有较深刻之领悟，且要能艺术地表现出来。例如，在推导椭圆之标准方程时，由定义“到两定点F,1(c,0)和F,2(-c,0)距离之和为定长2a之点之轨迹”可直接写出方程：。这个方程能正确地表达椭圆之代数形式，但比较复杂，更不便于计算，故化简整理成。方程中之b开始似乎纯粹是为了追求方程之和谐美而引进之，但在

2、研究椭圆性质时，可进一步发现a、b恰好为椭圆之长、短半轴长，b竟有鲜明之几何解释。人们内心世界所追求之美恰好在外部世界得到如此完美之表现，这实际上也体现了美与美之间和谐之统一。教师在推导过程中之示范，唤醒了学生之审美意识，学生也进入到美之境界，得到美之享受。在此基础上，让学生根据定义画出椭圆，且要求他们用生动形象之数学语言表达自己之思维活动。这样，再让学生感受和体验美之同时，激励他们创造美，使数学美在教学中之作用发挥得淋漓尽致。数学知识之简练美是数学之主要艺术特色。“数之整除”一章是初等数论中之一部分，为了照顾小学生之年龄特点，教材进行了简化处理，结构如下图：附图由图看出，本章以倍数、约数为核

3、心构建了知识之结构美。事实上，对简练美之追求是数学研究之一部分，它促进了数学理论之发展，也有益于知识之系统化。而数学知识之系统性，成为知识发展之主要特点：数学内容之发生和发展都是与它之知识点之形成分不开之，若干个知识点之间之联系，既具有纵向之顺序性，又具有横向之层次性。二、数学思维之协同美与教学数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般之思维规律认识数学规律之过程。数学思维之协同美大体上可从以下两个方面表现出来。归纳和演绎之相互作用。数学中大量地需要归纳，同时也需要演绎，在许多情况下两者互为作用之。在数学教学中，总是既用归纳又用演绎。尽管两者有各自不同之特点，但演绎推理之大前提表示一般原理之全称

4、判断要靠归纳推理来提供。为了增强归纳推理之可靠性，不管是以一般原理作指导还是对归纳推理之前提进行分析，都要用演绎推理。归纳和演绎在思维运行过程中这种辩证统一正体现了两者之间是交互为用之。在小学数学中，限于儿童之认知水平，数学知识之出现，较多地依赖于直观、实验和归纳，适当地进行演绎，以不断提高学生之逻辑推理能力。例如加法交换律，最早出现在一年级，显然不可能进行演绎论证，只能通过计算实践，由8+5=13,5+8=13等归纳出加法交换律，但在对加法交换律之反复应用中又让学生领会演绎思想，因此，在教学中要贯彻“归纳与演绎交互为用”之原则。形式逻辑与辩证逻辑之并重和统一。一方面，数学中大量存在相对稳定之

5、状态，我们能用形式逻辑思维之方法进行分析和研究数学对象。另一方面，也存在显著之运动状态，如有限与无限之相互转化，代数、几何、三角各学科之间之转化以及数学各种相关运算方法之发展与对立统一等，故能用辩证思维之方法认识数学概念之形成和关系之不断发展变化。因此，在教学时要贯彻形式逻辑思维与辩证逻辑思维并重和统一之原则，发展学生之数学思维能力。以数学概念教学为例，按形式逻辑思维规律，对于每一个数学概念之认识要前后一致，而且不容许存在不相容。如果存在着两个互相排斥之认识，那么其中必有一真一假，概念数学必须遵循上述逻辑规则进行。但同时也应指出，用运动和发展之观点来思考，数学概念也是随着学生学习之数学知识之结

6、构之发展而发展之。许多对立之概念可以统一起来（如实数和虚数同处于复数中），一个概念在不同之场合或不同之条件下可能有不同之认识（如三角函数之概念，最初学习之是锐角之正弦、余弦、正切和余切，被理解为直角三角形中一个锐角之对边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边和邻边比对边，以后发展到任意角之正弦、余弦、正切、余切、正割和余割），即使在小学数学之发展中也是这样。我们知道，数学之发展归根到底是数学概念之不断发展，这种发展又有自身之规律。人们常说之概念是在发展中形成，而且又是在形成后不断发展之，所以一个数学概念具有确定性和灵活性两个特点。就像“乘法”这个概念在整数和分数中具有不同之数学含义一样。正如列宁所说“

7、所有之定义都只有有条件之、相对之意义，永远也不能包括充分发展之现象之各方面联系”。这正是辩证逻辑思维在数学中之体现，与形成逻辑思维相比更高一级。三、数学方法之奇异美与教学恩格斯认为，数学是一门研究思想事物之抽象之科学。确实，数学具有两重属性，这两重性可简单地概括为：一是数学知识，二是数学思想方法。而数学方法是数学中最本质之东西，数学方法之奇异美常常成为产生新思想、新方法和新理论之起点，使规律化、程式化之世界出现意外之、带有独创性之成果，令人兴奋和激动。如：“凸n(n4)边形之对角线最多有几个交点？”这个问题，按照习惯，也许会从四边形开始，逐步通过五边形、六边形来构造对角线之交点，从中归纳出一般

8、规律。当一次次构造之尝试都未获得理想之结果时，我们要敢于放弃传统方法，另辟蹊径：一个交点是由两条对角线相交而成，两条对角线由四个顶点确定，而凸n边形任意四个顶点都能且只能确定一个交点，于是问题就转化为“在n个顶点中任意取四个，共有几种取法？”新颖之方法带来了意想不到之效果，这便是化归法之奇异美所在。我们在传授数学知识之同时，更应注重数学方法之渗透，要求学生掌握方法之同时，能构造出解题模式，使数学美得到升华。数和形是数学中最基本之两大概念，是数学研究之两个重要侧面，所以数形结合法是数学研究之重要思想方法。教学时，可利用数形结合来启发学生之直觉思维。如对于具有极限意义之问题学生很难理解其结果，可以这样做：让学生观察下图，先将单位正方形分成100个小正方形，将99个涂上阴影；再将剩下之一个分成100个小正方形，将99个涂上阴影；如此无限下去，所有涂上阴影之小正方形之面积之和便为1，即，结果直接可从图中得出。从这可以看出数形结合是直觉思维之桥梁，我们应利用这一桥梁，使学生从美学角度审视或整理自己掌握之知识，这样能使他们之知识结构更完整、更充实。同时，为了