函数项级数的收敛域（课堂PPT）

1、9.2 函数项级数函数项级数.1二、函数项级数的收敛域二、函数项级数的收敛域( )nuxA设设是是定定义义在在数数集集上上的的一一个个函函数数列列, ,则则12( )( )( ),(1)nu xuxuxxA称为定义在称为定义在A上的函数项级数上的函数项级数, 1( )nnux简简记记为为121( )( )=( )( )( )nnknkSxuxu xuxux称为函数项级数称为函数项级数(1)的部分和函数的部分和函数.定义定义1 1n函函数数项项级级数数(1)(1)的的前前 项项和和9.2 函数项级数函数项级数.2,E 若若数数项项级级数数121( )=( )( )( )(2)nnnuuuu( )

2、nS 收收敛敛，即即部部分分和和数数列列收收敛敛，定义定义2(1)则则称称函函数数项项级级数数 在在 收收敛敛， 为为函函数数项项级级数数的的收收敛敛点点；1( )nnu 若若数数项项级级数数发发散散， 则则 为为函函数数项项级级数数的的发发散散点点；1( )nnux 使使函函数数项项级级数数收收敛敛的的全全体体收收敛敛点点的的集集合合，定义定义3称为称为收敛域收敛域； 当收敛域是区间时，称为当收敛域是区间时，称为收敛区间收敛区间.9.2 函数项级数函数项级数.312( )( )( )( ) ,nu xuxuxS xxI即即lim( )( ) ,.nnSxS xxI定义定义41( )( ).n

3、nnuxISxI 在在 收收敛敛在在 收收敛敛1( )nnuxI 若若函函数数项项级级数数在在 收收敛敛, ,1( )( ).nnS xuxI 称称为为函函数数级级数数在在 的的和和函函数数定义定义51( )nnuxI 若若函函数数项项级级数数在在 收收敛敛, ,12( )( )( )( )( )nnnnRxS xSxuxux余和余和9.2 函数项级数函数项级数.401nnx例例 、讨讨论论函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域. .1( 1,1).nnx所所以以函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域为为0| 1nnxx 解解：当当时时，发发散散；0| 1nnxx 当当时时，收收敛敛. .9.2

4、函数项级数函数项级数.520sin2nnxn例例 、讨讨论论函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域. .22sin1,|nxxRnn 解解：有有211nn 收收敛敛20sin.nnxxRn，函函数数项项级级数数收收敛敛 20sin.nnxRn函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域为为9.2 函数项级数函数项级数.60cos3nnxn例例 、讨讨论论函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域. .1cos2nnxxkkZn 解解：当当时时（）, ,收收敛敛；11cos1=2=nnnxxkkZnn 当当时时（）, ,发发散散. .0cos2|nnxRkkZn 函函数数项项级级数数的的收收敛敛域域为为. .9

5、.2 函数项级数函数项级数.7三、函数项级数的一致收敛概念三、函数项级数的一致收敛概念1( )( )nnuxIS x 函函数数项项级级数数在在区区间间 一一致致收收敛敛于于和和函函数数0,NNnNxI ，有有00000|()()| |()|.nnSxS xRx 1( )( )nnuxIS x 函函数数项项级级数数在在区区间间 非非一一致致收收敛敛于于和和函函数数0000,NNnNxI ，有有|( )( )| |( )|.nnSxS xRx 9.2 函数项级数函数项级数.804nnx例例 、证证明明：函函数数项项级级数数1) 1,1(01) 在在区区间间一一致致收收敛敛；2),1).在在区区间间( (- -1 1非非一一致致收收敛敛21( 1,1),( )1nnxSxxxx 解解：11nxx 1( )lim( )lim1nnnnxS xSxx 11x 1) 1,1,0,x 要要使使不不等等式式11|( )( )| |11nnxSxS xxx |1nxx |1nxx (1)n 成成立立. .lnln,ln 1)ln 1)nN 解解得得取取（9.2 函数项级数函数项级数.9000012)10,1( 1,1