一阶线性偏微分方程

1、第七章 一阶线性偏微分方程例7-1 求方程组 通积分，其中为互不相等的常数。解 由第一个等式可得 ，即有 ，两边积分得方程组的一个首次积分 。由第二个等式可得 ，即有 ，两边积分得方程组的另一个首次积分 。由于，雅可比矩阵的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 。评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得个独立的首次积分，为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 的通解。解 由原方程组可得 即 这个方程关于变量和是可以分离的，因此易求得它的通积分为 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，

2、得到 ，即有 由此得到原方程组的另一个首次积分 。由于，雅可比矩阵为，而，所以这两个首次积分是相互独立的，它们构成方程组的通积分。采用极坐标，令，由这两个首次积分推得 由此解得 。因此微分方程组的通解为 ， ，另外，方程组有零解。评注：注意方程组的通积分与通解的关系，由通积分可以确定通解，但根据隐函数存在定理，通解不一定都能表示成显式形式。例7-3 求解方程组 。解 把原方程组写为 以上方程组中的两式左右两边分别相乘，消去，得 ，由此得到一个首次积分 。于是 代入原方程组第二式，得 ，两边积分得 即 ，将代入，得到另一个首次积分 。并且容易验证它与前一个首次积分是相互独立的，于是这两个首次积分

3、构成方程组的通积分。评注：利用已得到的首次积分消去一部分未知函数，减少方程和未知函数的个数，以便得到另外的首次积分。例7-4 求解下列一阶线性齐次偏微分方程。1）2）解 1） 特征方程组为，将三个分式作如下变化，则利用合比性质，从而 ，由此得特征方程组的一个首次积分 。再将特征方程组三个分式作如下变化，从而 ，由此可得另一首次积分 。因为矩阵 的秩为2，所以这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为其中为任意二元连续可微函数。2）特征方程组为由 可得一个首次积分为。再由 得 ，即，两边积分，有 ，得另一个首次积分。容易验证这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为其中为任意二元连续可微函数

4、。评注：利用比例的性质是求首次积分的有效方法；求解一阶线性偏微分方程实际上归结为求解常微分方程（或方程组），此例正是利用积分因子转化为恰当方程而得到一个首次积分。例7-5 解方程 ，其中是行列式的第三行第个元素对应的代数余子式，而为已知可微函数。解 原方程的特征方程组为，由行列式的性质，有 ，将特征方程组的三个分式作如下变化，由合比性质得，于是有，由此得两个首次积分，由所给方程知不可能全为零，所以这两个首次积分还是独立的，因此所求方程的通解为其中为任意二元连续可微函数。评注：注意行列式的意义及性质。例7-6 求解方程，并求通过曲线的积分曲面。解 这是拟线性偏微分方程，其特征方程组为，由此得，解

5、得一个首次积分为。代入中得，解得另一个首次积分为。易知，是两个独立的首次积分，所以原方程的通解是其中为任意二元连续可微函数。将代入两个独立的首次积分，中，得，从而所求的曲面为。评注：求柯西问题的解时，关键是寻求任意常数之间的关系式，将首次积分代入即可得所求问题的解。例7-7 求以圆为准线，为顶点的锥面方程。解 设以表示任一以原点为顶点的锥面方程，那么锥面在其上任一点的法线应与过此点的向径垂直，因为向径全部位于锥面上。这样，应满足方程，它的特征方程组为，它的两个独立的首次积分为 ，故以原点为顶点的锥面的一般方程为其中为任意二元连续可微函数。 要寻找过圆的锥面，先把代入首次积分中，得到；再以此代入

6、，即得所满足的关系式为。最后，将首次积分代入此关系式中，得到所求的锥面方程为 或 。评注：先建立顶点在原点的锥面方程，再求满足一定条件的特解。求特解类似于前一题。例7-8 求与椭圆面族正交，且通过直线的曲面。解 设与已知椭圆面族正交的曲面族为，则任一交点处它们的法线互相垂直，故应满足线性偏微分方程，它的特征方程组为，它的通积分为 。 要寻找通过直线的曲面，以代入首次积分中，得到，消去得到所满足的关系式为。最后，将首次积分代入上关系式中，得到所求的曲面方程为 。评注：求解柯西问题有时直接从特征方程组的通积分入手得到任意常数之间的关系式，从而求得满足条件特解。 例7-8 一直线在运动时常与一固定直线相交成定角，求它运动时所成曲面的方程。解 不妨设这一固定直线为轴，所求曲面方程为，则过曲面上任一点且与轴夹角为常角的直线一定在所求曲面上，此时若这条直线与轴的