一道课本例题衍生出的中考题赏析

1、一道课本例题衍生出的中考题赏析安昌镇中学 倪君霞初中数学教材中有许多例题都反映了相关的数学本质，蕴含着重要的数学思想与方法，对数学教学具有一定的导向作用在中考复习中，将教材中典型的例题与其衍生出的中考试题联系起来，能够激发学生的学习兴趣，培养学生发现问题和解决问题的能力本文从2012年中考试题中撷取了两道具有代表性的试题并对其简要分析，供读者参考一、例题及解答图1例1 如图1，在等腰三角形ABC中，底边，高，四边形PQRS是正方形（1）与相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长解：因为四边形PQRS是正方形，所以,所以,由三角形相似的判定可知，由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等

2、于相似比，所以设正方形的边长为，则所以，解得即正方形PQRS的边长为点评：本题以学生熟悉的等腰三角形和正方形为背景，不仅考查相似三角形的判定，而且考查相似三角形的性质，即相似三角形对应高的比等于相似比这道例题为“三角形内接矩形”这一类问题的解答起到了示范引领的作用，为这类问题的解决提供了一种最基本的解题策略，即由两个三角形相似，得到这两个三角形的对应边与对应高成比例，从而建立等量关系，然后根据这个等量关系列出方程，最终通过解方程使问题获得最终解决本例中的这类问题可以与相似三角形、方程、函数、动态几何等知识点巧妙地结合在一起，能够得到一些富有挑战性的学习素材.二、由例题衍生的中考题例2 （201

3、2年陕西）如图2，正三角形ABC的边长为（1）如图2，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图3，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由图2图3图4解析：（1）本题主要考查利用位似变换的性质将图形放大的方法如图4，连接AP并延长交AC于点，这是画正方形的关键（2）本题主要考查等边三角形、正方形、含30锐角的直

4、角三角形性质，可通过列方程求解如图4，设正方形的边长为因为ABC是正三角形，所以从而可得，解得（3）这里要用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和，然后再利用二次函数的性质求最大值和最小值如图3，设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（），它们的面积和为则可求得，从而，所以故，显然当时，由二次函数的性质易知，当时，随m的增大而增大又由（2）知，所以当时，说明：参考答案比较繁琐，特别是在解答第三个问题时，作了四条辅助线，从以上解析可以看出，其实没有一点必要，直接利用二次函数的性质即可解决点评：本题以学生熟悉的正三角形的正方形为载体，以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾

5、股定理、直角三角形边角关系、方程、二次函数的性质等重要知识点，是一道考查几何知识与代数知识为一体的综合性试题，与例1相比，本题具有较强的挑战性和探索性虽然正三角形和正方形是常见图形，但本题的设计却给人耳目一新的感觉它本题所涉及的三个问题之间互相关联，并逐级推进，其中第二个问题的计算结果一定要分母有理化，否则对第三个问题的计算就会产生影要正确解答这此题，要求学生具有扎实的数学基础，拥有较强的探究能力和综合分析问题、解决问题的能力从本题的问题呈现形式来看，符合新课程标准的要求；从问题的设置来看，由易到难，步步深入，符合学生的认知规律不足之处是本题运算量较大，运算结果比较繁琐，仅此一点难度较大因此，

6、广大教师在教学中不但要重视“双基”的教学，更要重视学生能力的培养例3 （2012年长春）如图5，在RtABC中，ACB=90，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线ADDEEB运动，到点B停止点P在AD上以cm/s的速度运动，在折线DEEB上以1cm/s的速度运动当点P与点A不重合时，过点P作PQAC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上设点P的运动时间为t（s）图5（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_cm（用含t的代数式表示）（2）当点N落在AB边上时，求t的值（3）当正方形PQMN与ABC重叠部分图形为五边

7、形时，设五边形的面积为S（cm），求S与t的函数关系式（4）连结CD当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围解析：（1）由勾股定理易知，所以，所以点P在AD上运动的时间为2s故当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为cm（2）当点N落在AB边上时，有两种情况利用运动线段之间的数量关系可求出时间t的值图6图7如图6，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，即t2=2，t=4如图7，当

8、点P位于线段EB上时，易求得，利用BNPBAC可求得由PN=PC可得，解得故当点N落在AB边上时，t=4或（3）当正方形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况首先用时间t的代数式分别表示各相关运动线段的长度，然后利用求面积S的表达式图8图9当2t4时，如图8所示易求得，由AFMABC知，即故故 当时，如图9所示易求得， （4）本题涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示图10图11当4t6时，此时点P在线段DE上运动，如图10所示此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为，而MN=2，则此阶段中，点H将有两

9、次机会落在线段CD上第一次是点H由MH运动，此时点H运动时间为（t4）s，运动距离，所以又，由得，解得第二次是点H由NH运动此时点H运动时间为，运动距离，由得，解得t=5当6t8时，此时点P在线段EB上运动，如图11所示由图可知，在此阶段，始终有，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是或t=5或6t8点评：本题以动态几何的形式呈现，考查的内容涉及到正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、梯形和三角形的面积等，是一道综合性较强的试题.解决这类问题时首先要正确理解题意，搞清楚动点的运动过程，按照动点的不同运动过程通

10、常需要渗透数形结合与分类讨论的数学思想.然后针对不同的运动过程，利用含有时间t的代数式表示相关线段的长度，最后通过列方程求出时间t.正确画出不同过程的图形并能正确表示相关线段的长度是解决本题的关键.与例1相比，不同的是图形中所涉及的三角形由等腰三角形变为了直角三角形，所涉及的正方形由静态变为动态，本题中的正方形完全由动点控制，是一个动态正方形.相同的是对一些关键线段的求解方式基本相同，都是利用相似三角形的性质求解，方法是相通的.特别是本题中的第（4）个问题超出了一般学生的水平，具有极强的挑战性，也体现了中考的选拔功能.三、对教学的启示1.关注教材，研究教材中的典型例题与习题，最大限度地发挥教材

11、的作用.教材是经过学科专家反复推敲，精心编写的精品课程资源.大多数例题都具有很强的代表性，蕴含着重要的数学思想与方法，是解答其它相关问题的有效数学模型.教材中一些典型的例题也是命题专家关注的重要对象之一，通过对例题中的条件、图形、结论或设问方式等方面的改造变化或重组，可命制出高质量的中考试题.在教学中，教师要关注教材，研究教材中典型的例题，把握教材的编写意图，对教材中的例题要从不同角度进行延伸、拓展和变式，充分发挥例题的最大功能.2.切实加强学生分析问题与解决问题能力的培养，加强学生创新意识的培养.数学课程标准指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动.对教材中典型例题的复习是九年级中考复习教学中的重要组成部分，因此，在典型例题的教学中，当学生获得某种基本的解法后，教师应当引导学生挖掘例题的潜在因素，通过改变题目的条件、图形、结论或设问方式等多种途径对例题进行变式教学，强化学生对知识和方法的理解，帮助学生对问题进行多角度、多层次的思考，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，拓宽