华南师范大学电磁学习题课电磁感应（课堂PPT）

1、. 电电 磁磁 感感 应应 习题、例题分析习题、例题分析+.10.1 在通有电流在通有电流I =5A的长直导线近旁有一导线段的长直导线近旁有一导线段ab，长长l=20cm，离长直导线距离，离长直导线距离d=10cm. 当它沿平行于长当它沿平行于长直导线的方向以速度直导线的方向以速度v=10m/s平移时，导线段中的感应平移时，导线段中的感应电动势多大？电动势多大？a，b哪端电势高？哪端电势高？abvdl解：解：方法一方法一:利用动生电动势公式利用动生电动势公式 据动生电动势公式可得这一导线元段产据动生电动势公式可得这一导线元段产生的动生电动势为生的动生电动势为lddabdxxIv20 x如图所示

2、，建立如图所示，建立x轴轴.dxx在导线段上坐标为在导线段上坐标为x处取一长为处取一长为dx的导线元段的导线元段l dBvd)(积分得积分得dldIvln20负号表示动生电动势的方向是由负号表示动生电动势的方向是由b指向指向a，故，故a端电势高端电势高.vBdxdxxIv20)(101 . 15V.dSvdtab方法二方法二:利用法拉第电磁感应定律公式利用法拉第电磁感应定律公式x如图所示，建立如图所示，建立x轴轴. 在导线段上坐标为在导线段上坐标为x处取一长为处取一长为dx的导的导线元段线元段. 设在设在dt时间内导线段从时间内导线段从a b 位置平移到位置平移到ab位置，则导线元段扫过的面积

3、为位置，则导线元段扫过的面积为dS.dS=vdtdx那么在那么在dt时间内导线段时间内导线段ab扫过的面积的磁通量为扫过的面积的磁通量为SSdBdldddxdtxIv20dtdldIvln20据法拉第电磁感应定律得据法拉第电磁感应定律得dtddldIvln20)(101 . 15Va b vdldxx设面积元的正方向为垂直于屏幕向内设面积元的正方向为垂直于屏幕向内负号表示动生电动势的方向是由负号表示动生电动势的方向是由b指向指向a，故，故a端电势高端电势高.410.4 如图所示，矩形线圈共如图所示，矩形线圈共1103匝，宽匝，宽a=10cm，长，长L=20cm，长直导线中通有交变电流，长直导线

4、中通有交变电流i=5sin100tA，线，线圈内的感生电动势将为多大？圈内的感生电动势将为多大？解：解：方法一方法一: 利用公式利用公式dtdi通过矩形线圈的磁链为通过矩形线圈的磁链为SSdBNNx0如图所示，建立如图所示，建立ox轴轴.addLdxxiN20dadLiNln20那么线圈内的感生电动势为那么线圈内的感生电动势为dtdidadLNdtdiln20tdadLN100cos1005ln20)(100cos104 . 42Vt d aLi.5SiSdtBN如图所示，建立如图所示，建立ox轴轴.x0方法二方法二:利用公式利用公式SiSdtBN线圈内的感生电动势为线圈内的感生电动势为add

5、LdxdtdixN20dadtLNln100cos100520)(100cos104 . 42Vt d aLi.6baobaoi10.5 在半径为在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B的均匀磁场的均匀磁场. 有一长为有一长为L的金属棒放在磁场中，如图所的金属棒放在磁场中，如图所示示. 设磁场在增强，并且设磁场在增强，并且 已知，求棒中的感生电动已知，求棒中的感生电动势，并指出哪端电势高势，并指出哪端电势高.dtdBRoLab解解: 方法一方法一 利用公式利用公式dtdi连接连接oa、ob，设回路，设回路aoba的面积为的面积为S.则回路中的感生电动势为则回

6、路中的感生电动势为dtdBSdtdihLS21又又由于圆柱形体积内的感生电场由于圆柱形体积内的感生电场obEaoEii，故故ibaobao，042122LRL22441LRL.7dtdBLRL22441RoLabdtdBSiba所以所以 负号表示金属棒中的感生电动势的实负号表示金属棒中的感生电动势的实际方向是由际方向是由a指向指向b，故，故b端电势高端电势高.8)(2RredtdBrEiRoLab方法二方法二 利用公式利用公式Liil dE 由课本由课本P328例题例题10.2的结果可知圆柱的结果可知圆柱形体积内的感生电场为形体积内的感生电场为其中其中 的方向与磁场的方向与磁场B的方向满足右手

7、螺旋关系的方向满足右手螺旋关系e l dEdiil dedtdBr2)cos(2dldtdBrdldtdBrcos2dliEhe r在金属棒上取一微元段在金属棒上取一微元段 ，如图所示，如图所示.l d那么在这微元段那么在这微元段 上的感生电动势为上的感生电动势为l ddldtdBh2积分得积分得LabdldtdBh02dtdBhL2dtdBLRL22441.9dtdBLRLab22441由于题目假设由于题目假设0dtdB所以所以0ab 这表示这表示 的实际方向与积分方向相同，即的实际方向与积分方向相同，即 的方向是由的方向是由a指向指向b. abab 故故b端电势比端电势比a端电势高端电势高

8、.RoLabdliEhe r.1010.14 一圆环形线圈一圆环形线圈a由由50匝细线绕成，截面积为匝细线绕成，截面积为4.0cm2,放在另一个匝数等于放在另一个匝数等于100匝，半径为匝，半径为20.0cm的圆环形线的圆环形线圈圈b的中心，两线圈同轴的中心，两线圈同轴. 求求(1)两线圈的互感系数；两线圈的互感系数；(2)当线圈当线圈a中的电流以中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈的变化率减少时，线圈b的磁通量的变化率；的磁通量的变化率；(3)线圈线圈b的感生电动势的感生电动势.ab解解: (1) 设线圈设线圈b通以通以Ib的电流的电流. 由题目由题目所给数据可知，线圈所给数据可知，线圈

9、a比线圈比线圈b小得多小得多,所以可以认为线圈所以可以认为线圈a中的磁场是均匀中的磁场是均匀磁场，其大小可认为等于中心处的磁磁场，其大小可认为等于中心处的磁感应强度感应强度. 故通过线圈故通过线圈a的磁链为的磁链为aaoabSNBaabbbSNRIN20.11aabbbabSNRIN20ab故两线圈的互感系数为故两线圈的互感系数为babababRSNNIM20)(103 . 66H(2)当线圈当线圈a中的电流以中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈的变化率减少时，线圈b的的磁通量的变化率为磁通量的变化率为dtdNdtdbbb1dtdNbbbab)(1dtdNbab1)/(101 . 36sW

10、bdtdiNMab(3)据法拉第电磁感应定律可得线圈据法拉第电磁感应定律可得线圈b的感生电动势为的感生电动势为)(101 . 34VdtdNbbb.1210.15 半径为半径为2.0cm的螺线管，长的螺线管，长30.0cm，上面均匀密绕，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气匝线圈，线圈内为空气.(1) 求这螺线管中自感多大？求这螺线管中自感多大？(2)如果在螺线管中电流以如果在螺线管中电流以3.0102A/s的速率改变，在的速率改变，在线圈中产生的自感电动势多大？线圈中产生的自感电动势多大？解：解： (1)由公式得这螺线管中的自感为由公式得这螺线管中的自感为VnL20)(106 . 732

11、20HRlN(2)如果在螺线管中电流以如果在螺线管中电流以3.0102A/s的速率改变，在的速率改变，在线圈中产生的自感电动势大小为线圈中产生的自感电动势大小为)(3 . 2VdtdiL.1310.22 实验室中一般可获得强磁场约为实验室中一般可获得强磁场约为2.0T，强电场约，强电场约为为1106V/m. 求相应的磁场能量密度和电场能量密度求相应的磁场能量密度和电场能量密度多大？哪种场更有利于储存能量？多大？哪种场更有利于储存能量？解：相应的磁场能量密度和电场能量密度分别为解：相应的磁场能量密度和电场能量密度分别为)/(106 . 123602mJBwm)/(4 . 42320mJEwe由以

12、上结果可知，磁场更有利于储存能量由以上结果可知，磁场更有利于储存能量.1410.23 可能利用超导线圈中的持续大电流的磁场储存可能利用超导线圈中的持续大电流的磁场储存能量能量. 要储存要储存1kWh的能量，利用的能量，利用1.0T的磁场，需要的磁场，需要多大体积的磁场？若利用线圈中的多大体积的磁场？若利用线圈中的500A的电流储存上的电流储存上述能量，则该线圈的自感系数应多大？述能量，则该线圈的自感系数应多大？解：解： 所需要磁场的体积为所需要磁场的体积为)(0 . 92320mBWwWVmmm 若利用线圈中的若利用线圈中的500A的电流储存上述能量，则该线的电流储存上述能量，则该线圈的自感系

13、数应为圈的自感系数应为)(2922HIWLm.1510.3 如图所示，长直导线中通有电流如图所示，长直导线中通有电流I=5A，另一矩形，另一矩形线圈共线圈共1103匝，宽匝，宽a=10cm，长，长L=20cm，以，以v=2m/s的速度向右平动的速度向右平动. 求当求当d=10cm时线圈中的感应电动势时线圈中的感应电动势.解：线圈在向右平动时，左、右两边产生解：线圈在向右平动时，左、右两边产生动生电动势，而上、下两边不产生动生电动生电动势，而上、下两边不产生动生电动势动势. 因此线圈中的感应电动势为因此线圈中的感应电动势为 d aLvI右左lvBBN）（右左lvadIdIN)(2200)(102

14、3V左右.1610.9 一种用小线圈测磁场的方法如下：做一个小线一种用小线圈测磁场的方法如下：做一个小线圈，匝数为圈，匝数为N，面积为，面积为S，将它的两端与一测电量的，将它的两端与一测电量的冲击电流计相连冲击电流计相连. 它和电流计线路的总电阻为它和电流计线路的总电阻为R. 先把先把它放到被测磁场处，并使线圈平面与磁场方向垂直它放到被测磁场处，并使线圈平面与磁场方向垂直,然后急速地把它移到磁场外面，这时电流计给出通然后急速地把它移到磁场外面，这时电流计给出通过的电量是过的电量是q. 试用试用N、S、q、R表示待测磁场的大小表示待测磁场的大小.解：线圈移动时通过冲击电流计的总电量为解：线圈移动

15、时通过冲击电流计的总电量为tidtq0tdtR0tdtdtdR0)(101dRRRNBS故待测磁场的大小为故待测磁场的大小为NSqRB .17解：圆盘转动时，小方块内产生的径向电动势为解：圆盘转动时，小方块内产生的径向电动势为rBaBlv 以小方块为以小方块为“电源电源”所在，外电路是圆盘的其余部所在，外电路是圆盘的其余部分分,而外电路的电阻可以认为为零而外电路的电阻可以认为为零.“内电路内电路”的电阻为的电阻为babaR内所以通过小方块的径向电流为所以通过小方块的径向电流为rBabRI内10.11 电磁阻尼电磁阻尼. 一金属圆盘，一金属圆盘，电阻率为电阻率为，厚度为，厚度为b b. . 在转

16、在转动过程中，在离转轴动过程中，在离转轴r处面积为处面积为a2 2的的小方块内加以垂直于圆盘小方块内加以垂直于圆盘的磁场的磁场B，如图所示，如图所示. 试导出当试导出当圆盘转速为圆盘转速为时阻碍圆盘的电磁力矩的近似表达式时阻碍圆盘的电磁力矩的近似表达式.obaarNI.18obaarNIrBabI故小方块所受的电磁阻尼力矩大小为故小方块所受的电磁阻尼力矩大小为bBarBIarfrM2)(方向与沿圆盘角速度方向相反方向与沿圆盘角速度方向相反f小方块所受的力安培力大小为小方块所受的力安培力大小为rbBaBIaf2)(方向与沿小方块的速度方向相反方向与沿小方块的速度方向相反.1910.18两条平行的

17、输电线半径为两条平行的输电线半径为a，二者中心相距为，二者中心相距为D，电流一去一回电流一去一回. 若忽略导线内的磁场，证明这两条输若忽略导线内的磁场，证明这两条输电线单位长度的自感为电线单位长度的自感为证明：两条平行的输电线一去一回构成一长窄条证明：两条平行的输电线一去一回构成一长窄条回路，可以引入单位长度的自感的概念回路，可以引入单位长度的自感的概念. 当电线中当电线中通有电流通有电流I时，通过导线间单位长度的面积时，通过导线间单位长度的面积S的磁的磁通量为通量为aaDLln01 a DSaDadrB 121aDadrrI220aaDIln0那么这两条输电线单位长度的自感为那么这两条输电线

18、单位长度的自感为aaDILln01.2010.19 两个平面线圈，圆心重合地放在一起，但轴线两个平面线圈，圆心重合地放在一起，但轴线正交正交. 二者的自感系数分别为二者的自感系数分别为L1和和L2，以，以L表示二者表示二者相连结时的等效自感，试证明：相连结时的等效自感，试证明：(1) 两线圈串联时，两线圈串联时，LL1+L2；(2) 两线圈并联时，两线圈并联时，21111LLLL2L1证明：证明： 因为两线圈正交，故各自的因为两线圈正交，故各自的B线不会在线不会在另一线圈产生磁通量，故不存在互感电动势另一线圈产生磁通量，故不存在互感电动势.(1)两线圈串联时，两线圈串联时，2121iii，而而

19、dtdiLdtdiLdtdiL222111，由以上各式得由以上各式得 LL1+L2.21L2L1(2) 两线圈并联时，两线圈并联时，2121iii，而而222111LdtdiLdtdiLdtdi，由以上各式得由以上各式得 21111LLL.2212 34L1L2M10.20 两线圈的自感分别为两线圈的自感分别为L1和和L2，它们之间的互感为，它们之间的互感为M，如图所示如图所示.(1) 当二者顺串联，即当二者顺串联，即2，3端端相连，相连，1，4端接入电路时端接入电路时,证明二者的等效自感为证明二者的等效自感为L=L1+L2+2M；(2) 当二者反串联，即当二者反串联，即2，4端相连，端相连，

20、1，3端接入电路时端接入电路时,证明二者的等效自感为证明二者的等效自感为L=L1+L22M.证明：证明： (1)当二者顺串联，即当二者顺串联，即2，3端相连，端相连，1，4端接入电路时端接入电路时,如图如图1所示所示. 当有电流通过时，任一线当有电流通过时，任一线圈产生的通过另一线圈的磁圈产生的通过另一线圈的磁通量的方向和另一线圈自身通量的方向和另一线圈自身产生的磁通量方向相同产生的磁通量方向相同.111122221212212112 34L1L2M图图1IIII.23于是有于是有2221212111，21 对于两个线圈组成的系统对于两个线圈组成的系统,其磁通量为其磁通量为又又21III121

21、22222121111MIILMIILLI，由以上各式可得由以上各式可得MLLL22112 34L1L2M图图1IIII1111222212122121.241111222212122121(2)当二者反串联，即当二者反串联，即2，4端端相连，相连，1，3端接入电路时端接入电路时,如如图图2所示所示. 当有电流通过时，任一线当有电流通过时，任一线圈产生的通过另一线圈的磁圈产生的通过另一线圈的磁通量的方向和另一线圈自身通量的方向和另一线圈自身产生的磁通量方向相反产生的磁通量方向相反.于是有于是有2221212111， 对于两个线圈组成的系统对于两个线圈组成的系统,其磁通量为其磁通量为21又又21

22、III12122222121111MIILMIILLI，由以上各式可得由以上各式可得MLLL221图图2IIII12 34L1L2M.25方法二方法二证明：证明： (1)当二者顺串联，即当二者顺串联，即2，3端相连，端相连，1，4端接入电路时端接入电路时,如图如图1所示所示.1111222212122121 当有电流通过时，任一线圈当有电流通过时，任一线圈产生的通过另一线圈的磁通量的方向和产生的通过另一线圈的磁通量的方向和另一线圈自身产生的磁通量方向相同另一线圈自身产生的磁通量方向相同.当电流当电流I变化时变化时(例如例如I增加增加)，两个线圈产生的感生电动，两个线圈产生的感生电动势方向相同势方向相同,都与电流方向相反都与电流方向相反.12于是有于是有21III又又2122212111，dtdIMdtdILdtdIMd