《椭圆及其标准方程》教学设计

1、目 录前言 2一、 教材分析 2二、 学习对象分析 3 1. 学习对象 3 2. 知识基础 3 3. 能力基础 3 4. 学习风格分析 4三、 学习目标 41. 知识与技能目标 42. 过程与方法目标 43. 情感态度与价值观目标 4四、 学习重、难点 51. 学习重点 52. 学习难点 5五、 学习研究目标 6六、 学习思路设计 61. 课程目标的确立上 62. 学习内容的调整上 63. 教法和学法的设计 7教法方面 7学法方面 7学习流程 7七、 学习软件设计 7八、 学习准备 8九、 课时安排 8十、 学习程序设计 81. 学习流程图 82. 详细学习设计 10椭圆及其标准方程教学设计前

2、言：现代教育技术是在现代教育观念的指导下，运用现代教育媒体，作用于教与学，以其取得教学效果最优化的理论与实践。在理论和实践上运用现代信息技术优化教学（学习）过程，创新教学或学习模式，以达到提高教学质量，实现素质教育的目的。信息技术可提供丰富、高质量的学习资源，帮助学生理解、记忆和迁移。利用搜索引擎、专门的网站、教育资源库等，扩大学生的视野，扩展学生的能力。通过信息技术与课程的整合，创设教学情境，引发学习动机，激发学生探索和发现的热情，使学生积极主动参与新知识的学习。同时，还能够让学生充分动眼、动手、动脑、动口，并通过动手实验、操作学具、边想、边做、边练来多感官参与学习，提高感知效果。基于上述原

3、因，本人在学习中尝试将人教社全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学 第二册（上）第八章第一节椭圆这一内容运用新课改的理念指导教学，制定出信息化教学设计，共一课时。新课改提出：“大力推进信息技术在教学过程中的普遍应用，逐步实现教学内容的呈现方式、学生的学习方式，以及教学过程中师生互动的变革，充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。”将信息技术与教学过程相结合也是新课改的要求。一、教材分析本节课教材是人教社全日制普通高级中学教科书（试验修订本必修）数学 第二册（上）第八章第一节（8.1）椭圆。在学习本课椭圆及其标准方程之前，学生已学习了直线与圆的方

4、程，对曲线和方程的概念有了一定的了解。同时，对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。从思想上说，本节课是运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例；从内容上说，本节课是运用坐标法研究几何问题的实际演练，也是研究椭圆几何性质的基础。同时，也为进一步研究另外两种圆锥曲线双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。所以，教材把对椭圆的研究放在了重点，它对知识起到了承上启下的作用，在高考中也是重点考察的内容之一。先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线具有重要意义。在本节课之前，教材前言部分简单地将圆锥曲线的知识与日常生活和科学研究中的一些问题联系起来，使得学生了解到数学与现实生活

5、的紧密联系，并对圆锥曲线有了大概的印象。教材有两个特点：一是概念性强；二是凸显了坐标法在研究几何问题时的重要作用。椭圆这一节所体现出的学习方法对本章其他内容的学习具有导向和引领作用。但由于本章节难度较大，对于缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题的学生来说，学习起来较困难。二、学习对象分析1.学习对象本节课是高二学生学习的椭圆内容，经过之前的学习，学生已具备探究有关点轨迹问题的知识基础和学习能力。这个阶段的学生还以抽象逻辑思维为主要发展趋势，他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时，由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度

6、也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难。如：由于学生对用坐标法解决几何问题这一知识点掌握还不够，故从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍。另外，本节内容较抽象，对学生的抽象、分析能力要求较高，再加上学生理解、运算能力及基础参差不齐，这进一步增加了学生学习本节内容的难度。2.知识基础学生已经学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一定的了解，掌握了两者的关系，会运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题，具备一定的观察能力和分析问题的能力。同时，对运用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。3.能力基础学生通过对高中数学中直线与方程知识的学习，已初步掌握用

7、坐标法研究直线和圆的方程，对简化平面几何问题有了一定的基础，由观察到抽象的数学活动过程已有一定体会，并且已初步了解了数形结合的思想。这些都有助于本节课的学习，但化简两个根式方程的能力较弱。4.学习风格分析(1) 学生思维敏捷、具有灵活性、独创性、批判性和强烈的探究欲望，能主动参与研究；(2) 具有积极的学习态度；(3) 喜欢利用网络资源了解更多的关于学习的知识，这十分有利于教师将现代教育技术融入到课堂教学中。三、学习目标根据新课标指出的三维目标及对教材和学生情况的分析，将本节课教学目标确定为知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标，具体如下：1.知识与技能目标(1) 掌握椭圆的定义

8、（理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义）及其标准方程，并在定义的归纳和方程的推导中体会探索的乐趣，培养学生分析、观察、归纳以及探索发现能力；(2) 通过对椭圆标准方程的探求，进一步感受曲线方程的概念，增强运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力，体会数形结合的数学思想；(3) 会根据条件写出椭圆的标准方程。2.过程与方法目标(1) 学生通过动手画椭圆、分组讨论探究椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力；(2) 通过对实际问题分析，培养学生发现规律、认识规律、运用规律的能力；培养运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力以及培养学生将抽象转化为具体

9、、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力； (3) 借助几何画板软件画出具体椭圆图形，探索椭圆的图象，进一步直观地体会椭圆的定义，增强学生识图的能力。3.情感态度与价值观目标(1) 在引入椭圆概念的过程中，除了让学生动手亲自画，还可借助几何画板实践操作，让学生体会知识产生的全过程，帮助学生树立运动、变化的辩证唯物主义思想，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；(2) 在定义椭圆方程的推导中，激发学生学习数学的兴趣，增强学生主动探求科学知识的热情，增强学生之间的合作意识；(3) 通过椭圆方程的化简过程，增强学生战胜困难的意志力，增强学生学习数学的自信心，并体会数学的简洁美、对称美及其理性和严谨，帮

10、助学生形成严谨的科学态度。四、学习重、难点根据以上分析，将本节课的重点、难点确定为：1.学习重点重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的定义及标准方程。通过对教材及本节内容的分析知，椭圆的概念是本小节的重点，在教学过程中让学生自己去感受椭圆的生成过程，结合图形，抓住“距离之和等于常数（大于两定点的距离）”这一关键句，理解它并不难。同时，结合“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，即理解在椭圆中对常数加以限制的原因，从而加强对概念的理解。突破重点关键：运用几何画板演示椭圆的动态图，使学生从感性认识上升到理性认识。2.学习难点难点：椭圆标准

11、方程的建立和推导。通过对教材及本节内容的分析知，椭圆标准方程的建立与推导是本小节的难点，在推导过程中应注意：(1) 椭圆“标准状态”的两层含义：(a) 椭圆的两个焦点均在坐标轴上；(b) 这两个焦点的中点（即中心）与原点重合。(2) 化简方程时，应注意两次平方时的等价性。突破难点关键：掌握建立坐标系与化简根式的方法。恰当运用多媒体及几何画板，组织学生进行交流讨论，帮助学生回忆运用坐标法解决几何相关问题的知识，引导学生建立适当的坐标系，从而建立椭圆方程，同时教师适当补充根式化简的方法，引导学生对得到的方程一步步化简，以此突破本节课的难点。另外，教师在教学重难点处可适当放慢节奏，给学生充分的时间与

12、空间进行思考与讨论，并适时给予适当的思维点拨，必要时可进行大面积提问，让学生充分发表自己的观点，交流、汇集思想，这些都有利于化解难点、突出重点。五、学习研究目标(1) 师生共同探究学习如何运用几何画板。培养学生运用数学软件的能力，特别是与现代媒体相关软件的应用能力，将现代教育技术应用到本节课的教学中，让学生意识到课堂教学方式正逐步发生着改变。(2) 探索如何有效地利用现代教育技术，以使其在课堂教学中发挥出应有的作用。六、学习思路设计通过对高中数学课程标准的学习，在现行教材的基础上，结合现代教育技术对本节课进行教学设计，其内容主要体现在课程目标的确立上、学习内容的调整上、教法和学法的设计上等方面

13、，具体如下：1.课程目标的确立上根据现代社会的需要，在现代教育技术普及的情况下，以原有学习目标为基础，重点突出学生的动手实践能力，注重培养学生探索发现、逻辑思维能力、合作意识及情感态度与价值观。特别重要的一点是学习几何画板的运用，为以后其他知识的学习打好基础。2.学习内容的调整上根据确立的学习目标，将学习分为两部分：椭圆的概念以及椭圆的标准方程。在传统的教学与学习实践中，由于现代教育技术未得到合理的运用，所以学习目标与学习内容常常不一致。在这节课中，教师将指导学生进行实践活动（如利用几何画板画出椭圆的动态图），并将成为学习中的重点内容之一，从而实现学习目标和学习内容的统一。3.教法和学法的设计

14、（1）教法方面新课标的理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心”。教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，在进行教学设计时，教师要注意保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，激发学生学习的积极性，使每个学生都主动地参与到实际课堂教学中，让学生在参与中学会学习、学会合作。由于高二的学生思维比较活跃、敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣并富有创造性和好奇心，又有了相应的知识基础，所以他们乐于探索新知识。为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综合素质，本课主要采用探究式、启发式相结合的教学方法，并充分利用多媒体、演示版和自制教具辅助教学，实现多媒体快捷、形象、大容量的优势与自制教具直观、实用的优

15、势的结合，既突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性。在实际教学中，始终坚持以学生为主体，为学生的动手实践、自主探索与合作交流的机会搭建平台，引导学生积极思考，鼓励学生发表自己的见解，让学生学会提出问题并解决问题。（2）学法方面在学法方面，注重学生学习的自主性、互动性、探究性。学生采用自主探索、合作交流的学习方式，通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，能够对所学的知识有更深的了解，并初步学会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。高二年龄段的学生抽象思维能力还较弱，教师要在这一方面给予学生适当的引导。（3）学习流程 本节课时：创设情境、引入课题

16、实验探究、形成概念研讨探究、推导方程归纳概括应用举例、变式巩固课堂小结、布置作业七、学习软件设计为了提高学生学习兴趣，本节课将采用多媒体辅助教学，利用多媒体演示图片和自制几何画板动画辅助教学。(1) 课前，教师用PowerPoint制作演示文稿，在投影中体现本节课主题、学习目标、学习方法提示、思考问题等；(2) 课前利用几何画板制作椭圆的动态课件。八、学习准备 本次教学需要教具和多媒体课件的辅助，教具包括:直尺、细绳和钉子等；多媒体课件包括：PowerPoint课件和几何画板课件。它们的使用可以更好的帮助学生认识图形，丰富直观，使学生的学习资源更为丰富。 九、课时安排：1课

17、时1课时：椭圆的概念及其标准方程十、学习程序设计1.学习流程图学习流程图开 始创设情景、激发兴趣，引入新课；观察“神州七号”飞船的运行轨道。投影玻璃杯装半杯水，适度倾斜。投影出示本节课标题椭圆定义及其标准方程。动手画椭圆在教师引导下思考。提问：1.椭圆是满足什么条件的点的轨迹？2.在画出椭圆的这个运动过程中，有哪些不变量？注：对学生思考做适当引导。投影用几何画板动态演示椭圆的形成过程，并引导学生概括椭圆定义。在教师引导下尝试推导椭圆标准方程。教师给出推导椭圆标准方程的具体过程。教师引导学生回忆推导焦点在轴上的椭圆标准方程的过程，让学生推导焦点在轴上的椭圆标准方程。在教师引导下，小组讨论两种椭圆

18、方程的异同，并填写表格。试推导椭圆标准方程。引导学生比较两种椭圆标准方程的异同。对学生填写的表格进行总结评价。椭圆相关知识应用举例。课堂小结，布置作业。结 束符号说明：教学内容与教师活动： 学生活动： 媒体运用： 学生利用媒体操作、学习：教师进行评价判断： 2.详细学习设计椭圆的概念及其标准方程（一）创设情境，引入课题1.创设情境课件展示：2008年9月28日上午9时，“神州七号”载人飞船顺利升空，实现多人航天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州七号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州七号”运行轨道图片和视频。根据已有的认知，学生可能会回答圆或椭圆。设计意图：根据展示的图

19、片和视频，知飞船进入太空后，运行轨道由椭圆变为圆，这与学生已有的认知结构发生了冲突，从而激发了学生的兴趣和求知欲，教师出示本节教学目标，使学生明确学习方向。2.引入课题实物演示：玻璃杯装半杯水，适度倾斜，观察水面的形状。联想生活中的椭圆图形还有哪些？教师活动：(1) 引导学生回忆有关圆的相关知识:画出圆的过程、圆的定义及其标准方程；(2) 根据圆的相关知识，教师给学生留下问题，让学生猜想：如何画出椭圆、如何定义椭圆及椭圆有怎样的标准方程。设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。通过学过的圆的相关知识，诱导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。学生活动：对教师提出的问题进行

20、猜测并回答。（二）实验探究、形成概念1.实验探究动手实验：以学生为中心，取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。根据上述实验，思考如下问题：(1) 椭圆是满足什么条件的点的轨迹？(2) 在画出椭圆的这个运动过程中，有哪些不变量？设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲；(2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。2.形成概念教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。设计意图

21、：通过形成椭圆的点的动态变化，让学生进一步体会变与不变的联系。(2) 引导学生概括椭圆定义。椭圆定义：平面内与两个定点距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆。教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。师：若M是焦点为的椭圆上的任一点，则M有怎样的性质？生：对于椭圆上任一点M，有。师：当时，轨迹是什么？当时，又有怎样的情况？生：当时，轨迹是线段；当时，无轨迹。设计意图：通过回想手工操作画出椭圆的过程，引导学生思考、归纳学习并深入理解椭圆定义，从而为后面求椭圆的标准方程做铺垫。（三）研讨探究、推导方程1.研讨探究教师活动：引领学生进行知识回顾并使学生尝试推导椭圆的标准方程：(1

22、) 如何利用坐标法求曲线方程；(2) 比较以圆心为原点建立的圆的方程与不以圆心为原点建立的圆的方程，哪种形式更简单？设计意图：通过对曲线与方程及圆的相关知识的回顾，使学生更容易理解椭圆方程的推导过程。2.推导方程M如图所示，已知焦点为的椭圆，且，对椭圆上任一点M，有，尝试推导椭圆的方程。师：为使求出的方程简单，该如何建立坐标系？生：根据建立合理坐标系求圆的方程的过程，应以所在直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，这样求出的椭圆方程应该较简单。师：对，回答的很正确，你们已经掌握了建立合适坐标系求圆方程的方法，并能进行知识的迁移，学以致用，是很值得夸奖的。那么，现在让我们按照这个方法

23、具体的求出椭圆的方程吧。具体过程：(1)设是椭圆上任意一点，设,则；(2) 设与两定点的距离的和等于，则，即 。师：针对，我们该如何化简呢？是直接平方呢，还是整理后再平方呢？学生活动：对教师提出的问题进行小组讨论。设计意图：通过小组讨论，促进学生之间的交流，开拓思维。师：通过分析、讨论，我们知道针对，应先整理再平方，这样可使计算简单，具体操作如下：移向，得： ，两边平方，得：，即 ，两边平方，得： ，整理，得： 。令，则方程可简化为：，整理，得： 。师：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，其坐标是，其中。试想：若以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，则会得到怎样的椭圆方

24、程呢?生：通过如上类似的计算可得到这一椭圆。师：对，这是椭圆的另一个标准方程。根据焦点所在的位置建立相应的直角坐标系，从而得到对应的标准方程。另外，我们这里所说的标准方程一定是指焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点的椭圆的方程，在两个标准方程中都有，即：焦点在哪个轴上，哪个未知数对应的分母较大。设计意图：让学生尝试化简根式并通过类似计算逐步求出焦点在轴上的椭圆标准方程。（四） 归纳概括师：通过前面的学习，我们已经知道了椭圆图形及其标准方程，那么，现在仔细观察两者，试归纳总结椭圆标准方程的特点。学生活动：对教师提出的问题进行小组讨论。教师活动：在学生讨论的过程中给予适当的引导，并收集小组得出的结论。师：每个小组经过讨论，都得到了部分正确的结论，那现在让我们一起来归纳总结椭圆标准方程的特点。(1) 椭圆标准方程以椭圆中心为原点，以焦点所在轴为坐标轴；(2) 椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；(3) 椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：。设计意图：通过小组讨论，让学生积极参与集体的活动，加强同学之间的沟通与交流。同时，也可以让学生对椭圆标准方程有进一步的认识。师：通过学习，我们知道根据焦点的位置，椭圆有不同的标准方程，试比较焦点在轴上和焦点在上的标准方程的异同点，并填写下表。标准方程+=1xyMO+=1图形xyMOa,b,c关系焦点坐标焦点位置生：小组合作，