函数一轮复习

1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示方法【知识梳理知识梳理】1.1.函数与映射的概念函数与映射的概念函数函数映射映射两集合两集合A,BA,BA,BA,B是两个是两个_A,BA,B是两个是两个_对应法对应法则则f f按照某种对应法则按照某种对应法则f,f,对于集合对于集合A A中的中的_元素元素x,x,在集合在集合B B中中都有都有_的元素的元素y y和和它对应它对应按照某种对应法则按照某种对应法则f,f,对于集合对于集合A A中的中的_元素元素, ,在集合在集合B B中中都有都有_的元素与之的元素与之对应对应非空数集非空数集非空集合非空集合每一每一个个唯一唯一每一每一个个唯一唯一函数函数

2、映射映射名称名称那么这样的对应那么这样的对应叫做从叫做从A A到到B B的一的一个函数个函数那么这样的单值对那么这样的单值对应叫做从集合应叫做从集合A A到到集合集合B B的映射的映射记法记法y=f(x),xAy=f(x),xAf:ABf:AB2.2.函数的三要素函数的三要素函数由函数由_、_和和_三个要素构成三个要素构成, ,对对函数函数y=f(x),xA,y=f(x),xA,其中其中定义域定义域: :自变量自变量x x的取值范围的取值范围; ;值域值域: :函数值的集合函数值的集合_._.定义域定义域对应法则对应法则值域值域f(x)|xAf(x)|xA3.3.函数的表示法函数的表示法表示函

3、数的常用方法有表示函数的常用方法有:_:_、_、_._.4.4.分段函数分段函数若函数在定义域内不同部分上若函数在定义域内不同部分上, ,有不同的解析表达式有不同的解析表达式, ,这种函数称为分段函数这种函数称为分段函数. .解析法解析法列表法列表法图象法图象法【特别提醒特别提醒】1.1.判断函数相等的依据判断函数相等的依据: :两个函数的定义域和对应法则完全一致两个函数的定义域和对应法则完全一致. .2.2.分段函数的相关结论分段函数的相关结论: :(1)(1)分段函数虽由几个部分组成分段函数虽由几个部分组成, ,但它表示的是一个函但它表示的是一个函数数. .(2)(2)分段函数的定义域等于

4、各段函数的定义域的并集分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, ,值域等于各段函数的值域的并集值域等于各段函数的值域的并集. .3.3.判断函数图象的常用结论判断函数图象的常用结论: :与与x x轴垂直的直线和一个轴垂直的直线和一个函数的图象至多有函数的图象至多有1 1个交点个交点. .题型题型1 1 求函数的定义域求函数的定义域例例1.1.函数函数f(x)=f(x)=的定义域为的定义域为. .4 |x|2x5x6lgx3例例2.2.若函数若函数f(xf(x2 2-1)-1)的定义域为的定义域为0,3,0,3,则函则函 数数f(x)f(x)的定义域为的定义域为. .(x 1)-1,2(3)

5、ffx 变式：已知的定义域为，求的定义域【规律方法规律方法】函数定义域的求解策略函数定义域的求解策略(1)(1)已知函数解析式已知函数解析式: :构造使解析式有意义的不等式构造使解析式有意义的不等式( (组组) )求解求解. .想一想，有哪些条件？想一想，有哪些条件？(2)(2)实际问题实际问题: :由实际意义及使解析式有意义构成的不由实际意义及使解析式有意义构成的不等式等式( (组组) )求解求解. .(3)(3)抽象函数抽象函数: :定义域是指定义域是指x x的取值范围的取值范围对同一个对同一个f f而言，括号内的范围相同而言，括号内的范围相同易错提醒易错提醒: :1.1.不要对解析式进行

6、化简变形不要对解析式进行化简变形, ,以免定义域以免定义域发生变化发生变化. .2.2.定义域是一个集合定义域是一个集合, ,要用集合或区间表示要用集合或区间表示, ,若用区间若用区间表示表示, ,不能用不能用“或或”连结连结, ,而应该用并集符号而应该用并集符号“”连连结结. .【加固训练加固训练】1.1.函数函数 的定义域为的定义域为. .0.51ylog(x1)2.2.函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为. .2x2xlg( xx)题型题型2 2求函数的解析式求函数的解析式例例1 1(1)(1)已知已知 则则f(x)=f(x)=. .(2)(2)函数函数f(x)f(x)满

7、足方程满足方程2f(x)+ =2x,xR2f(x)+ =2x,xR且且x0.x0.则则f(x)=f(x)=. .f( x1)x2 x，1f( )x【变式变式】1.1.若本例题若本例题(2)(2)条件变为条件变为2f(x)+f(-x)=2x,2f(x)+f(-x)=2x,求求f(x).f(x).【变式变式】2.2.若本例题若本例题(2)(2)条件变为条件变为f(x)f(x)是一次函数是一次函数, ,且且2f(x)+f(x+1)=2x,2f(x)+f(x+1)=2x,求求f(x).f(x).例例2.2.已知已知 则则f(x)=f(x)=. .2211f(x)xxx，【易错警示易错警示】解答本例题解

8、答本例题(1)(1)会出现以下错误会出现以下错误: :题目利用换元法求解析式题目利用换元法求解析式, ,易忽视换元后易忽视换元后t t的取值范围的取值范围, ,从而造成求出的函数定义域扩大而致误从而造成求出的函数定义域扩大而致误. .【规律方法规律方法】求函数解析式常用的四种方法求函数解析式常用的四种方法(1)(1)配凑法配凑法: :由已知条件由已知条件f(g(x)=F(x),f(g(x)=F(x),可将可将F(x)F(x)改写成改写成关于关于g(x)g(x)的解析式的解析式, ,然后以然后以x x替代替代g(x),g(x),便得便得f(x)f(x)的解析的解析式式. .(2)(2)待定系数法

9、待定系数法: :若已知函数的类型若已知函数的类型( (如一次函数、二次如一次函数、二次函数函数) )可用待定系数法可用待定系数法. .(3)(3)换元法换元法: :已知复合函数已知复合函数f(g(x)f(g(x)的解析式的解析式, ,可用换元可用换元法法, ,此时要注意新元的取值范围此时要注意新元的取值范围. .(4)(4)解方程组法解方程组法: :已知关于已知关于f(x)f(x)与与 或或f(-x)f(-x)的解析式的解析式, ,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组, ,通通过解方程组求出过解方程组求出f(x).f(x).1f( )x题型题

10、型3 3分段函数的应用分段函数的应用【考情快递考情快递】命题方向命题方向命题视角命题视角分段函数的分段函数的求值问题求值问题主要考查根据解析式求值或已主要考查根据解析式求值或已知函数值求参数知函数值求参数, ,属容易题属容易题分段函数的方程、分段函数的方程、不等式问题不等式问题以分段函数为载体以分段函数为载体, ,利用函数的利用函数的图象和性质考查函数零点、不图象和性质考查函数零点、不等式问题等式问题【考题例析考题例析】命题方向命题方向1:1:分段函数的求值问题分段函数的求值问题例例1.1.设函数设函数f(x)=f(x)= f(-2)+f(log f(-2)+f(log2 212)=12)=.

11、 .2x 11 log (2x),x1,2,x1,命题方向命题方向2:2:分段函数的方程、不等式问题分段函数的方程、不等式问题例例2.2.设函数设函数f(x)=f(x)=若若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则方程则方程f(x)=xf(x)=x的解集为的解集为 . .2xbxc x0 ,2 x0 ,【技法感悟技法感悟】1.1.分段函数的求值问题的解题思路分段函数的求值问题的解题思路(1)(1)求函数值求函数值: :先确定要求值的自变量属于哪一段区间先确定要求值的自变量属于哪一段区间, ,然后代入该段的解析式求值然后代入该段的解析式求值, ,当出现当

12、出现f(f(a)f(f(a)的形式时的形式时, ,应从内到外依次求值应从内到外依次求值. .(2)(2)求自变量的值求自变量的值: :先假设所求的值在分段函数定义区先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上间的各段上, ,然后求出相应自变量的值然后求出相应自变量的值, ,切记要代入检切记要代入检验验. .2.2.分段函数的方程、不等式问题的求解思路分段函数的方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解依据不同范围的不同段分类讨论求解, ,最后将讨论结果最后将讨论结果并起来并起来. .【真题模拟真题模拟】1.(20151.(2015山东高考改编山东高考改编) )设函数设函数f(x)=f(x)=若若 则则b=b=. .x3xb,x1,2 ,x1.5f(f( )46 ，2.(20152.(2015全国卷全国卷改编改编) )已知函数已知函数f(x)=f(x)=且且f(a)=-3,f(a)=-3,则则f(6-a)=f(6-a)