定积分概念及牛顿莱布尼茨公式（课堂PPT）

1、.1复 习若若 则则)()(xfxF( )f x dx C CF(x)F(x)积分法：积分法：用用基本积分公式基本积分公式及及积分性质积分性质求积分的方法求积分的方法第一换元积分法：第一换元积分法：第二换元积分法：第二换元积分法：( (根式换元、三角换元）根式换元、三角换元）分部积分公式分部积分公式uduvvdvudxaxxn) 1 (xdxxxdxxnncossin)2(或xdxxnln)3(xdxxnarcsin)4(xdxexsin)5(换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法直接积分法直接积分法: :不定积分：不定积分：,)()(CuFduuf若.)()()()()(CxFxdxfdx

2、xxf则22)1(xa ;sintax 令22)2(xa ;tantax 令22)3(ax .sectax 令.24.2 4.2 定积分概念定积分概念【学习本节要达到的目标】 1、了解定积分概念； 2、掌握定积分的几何意义.3一、问题的提出背景来源面积的计算矩形的面积定义为两直角边长度的乘积我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分定积分一般图形的面积是什么？.4实例1 （求曲边梯形的面积）设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所

3、围成 , 求其面积 A .)(xfy ?A矩形面积ha梯形面积)(2bahahahb.5abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）.6观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.7观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.8观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和

4、与曲边梯形面积的关系.9观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.10观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.11观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.12观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.13观察下列演示过程，注意当

5、分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.14观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.15观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.16观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系.171xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 分割分割.在区间 a

6、, b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii.183) 求和求和.把n个小矩形的面积加起来。niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 当分割无限加细时，, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi.19实例2 （求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动,

7、,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 分割分割., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 近似近似.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度.203) 求和求和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所

8、求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限.21二、定积分概念abxo,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作.22baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba.23注意：注意：（1） 积积分分值值仅仅与与被

9、被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定积分是一数值）定积分是一数值. （3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在上的定积分存在时，时， 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.4（ ）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和ix的取法是任意的的取法是任意的. .24 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，1：2： 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. . 且且只只有有有有限限个个间

10、间断断点点，则则)(xf在在定积分存在的充分条件区间区间,ba上可积上可积. .3： 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上单调有界，上单调有界， 则则)(xf在在区间区间,ba上可积上可积. .25三、定积分的几何意义x O y a b A y=f(x) 1、.26如如果果)(xf0， 则则( )d0baf xx ， 此此时时( )dbaf xx表表示示由由曲曲线线( )yf x，,xa xb及及 x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积 A 的的负负值值，即即( )dbaf xxA . . x O y a b -A y=f(x) 2、.27123( )d.baf xxAAA如果

11、如果)(xf 在在,ba上有上有正有负时，则正有负时，则( )dbaf xx表示由表示由曲线曲线)(xfy ，直线，直线,xa xb及及 x 轴所围成的平面图形的轴所围成的平面图形的面积位于面积位于 x 轴上方的面积减去轴上方的面积减去位于位于 x 轴下方的面积，如右图轴下方的面积，如右图所示，即所示，即 3 A ) ( x f y O a b x y 2 A 1 A 3、.28定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfbaA.29小小 结结定积分的实质：

12、特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3定积分的几何意义.304.3 4.3 定积分的性质及微积分基本公式定积分的性质及微积分基本公式【学习本节要达到的目标】 1、掌握定积分的性质； 2、掌握奇偶函数计算定积分的简要公式； 3、熟练掌握牛顿莱布尼茨公式.31对定积分的对定积分的补充规定补充规定: :（1）当当ba 时时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.注意注意 在定积分的性质中，假定定积分都存在定积分的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的

13、大小一、定积分的性质.32证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质1 1.33证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质2 2.34 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.注意注意：不论：不论 的相

14、对位置如何总成立的相对位置如何总成立.cba,若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假假设设bca 性质性质3(3(可加性）可加性）.35(2)由同学们自己完成.36则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）性质性质4（比较性质）（比较性质）用于比较同一个区间上两个函数积分值大小用于比较同一个区间上两个函数积分值大小oxyaby=f(x)y

15、=g(x).37例例 4 4 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小. 解解令令,)(,)(xxgexfx0, 2 x)()(0 , 2xgxfx时，当dxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx dxxf02)(,)(02dxxg.38设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，

16、性质性质5（估值性质）（估值性质）oxyab.39例例 5 5 估计积分估计积分dxx 03sin31的值的值. 解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx.40如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性质性质6（定

17、积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式.41使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。.42（一）定理（微积分基本定理）（一）定理（微积分基本定理）微积分学基本定理Newton-Leibniz 公式 （不定积分和定积分的关系）若若(

18、) , ,f xC a b )()(xfxF ( )baf x dx 则则( )baF x ( )( )F bF a微积分基本公式实质：微积分基本公式实质： 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题. .二、牛顿莱布尼茨公式.43例例6 的面积。如图轴所围平面图形上与在计算曲线)(, 0sinxxy解：解： dxxA0sin依题意，所求面积为0cosx) 1

19、() 1(2yoxxysin.44例例7 计算下列定积分102) 1 (dxx10)2(dxexdxx121)3(dxx11211)4(dxx20sin)5(3131103x10110eeeex2ln2ln1lnln12x2)4(4arctan11x4coscossinsin2020 xxxdxxdx.45例例8 8 求求 . .d d| |2 2- -3 30 0 xx|解解原式原式xxxxd d2 2) )d d- -( (2 23 32 22 20 0)(322202| )221(| )212(xxxx25.46（二）定积分的第一换元积分法例例9 9解解例例1010dxxxln1)ln1

20、 ()ln1 (xdxCx2)ln1 (21先看求不定积分：先看求不定积分：.ln11dxxxe求定积分)ln1 ()ln1 (1xdxe原式1)ln1 (212ex)12(212223.1sin1212dxxx求定积分解解于是由于,1)1(2dxxxd）（原式xdx11sin21121cosx1cos2cos.47（三）定积分的第二换元积分法 设函数设函数 f (x)在区间在区间 a , b 上连续；函上连续；函数数 在在 上单值且有连续导数；当上单值且有连续导数；当 时，有时，有 ， 且且 ，则，则)(tx, t,)(bat ba)(,)( ) ( )( )baf x dxftt dt定积

21、分的换元公式注意：应用定积分的换元公式时，换元必换限。注意：应用定积分的换元公式时，换元必换限。.48dtttdxxtxtdtdx212411211dtt21)111 (2.32ln22)1ln(222121tt例例11 计算定积分4111dxx解：解： （根式换元）（根式换元）练习练习dxxx10221202sincoscoscossintdttttxtdtdx2022cossintdtt2022sin41tdtdtt2024cos14116)44sin(8120tt.49例例12.计算).0(d022axxaa解解: 令,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且（三角换元）（三角换元）.50例例1