化工系统第2章

1、第一章第一章 绪绪 论论l 第一节第一节 过程系统工程的起源和特性过程系统工程的起源和特性l 第二节第二节 过程系统工程的主要研究内容和现状过程系统工程的主要研究内容和现状l 第三节第三节 过程系统工程的的研究方法过程系统工程的的研究方法2022-3-11第一节第一节 基本概念基本概念第二节第二节 单变量方程基本解法单变量方程基本解法第三节第三节 非线性代数方程组解法非线性代数方程组解法2022-3-12第一篇第一篇 化工系统的稳态模拟分析化工系统的稳态模拟分析第二章第二章 非线性代数方程组的解法非线性代数方程组的解法第一节第一节 基本概念基本概念 不同形式的方程，所采取的求解方法不同，不同形

2、式的方程，所采取的求解方法不同，有的解法适合于求解隐式方程，有的解法适合于有的解法适合于求解隐式方程，有的解法适合于求解显式方程求解显式方程2022-3-130)( xf)(xx (1)(2)一、方程的隐式和显式表达形式一、方程的隐式和显式表达形式隐式隐式显式显式2022-3-14 0),(0),(0),(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf ),(),(),(2121222111nnnnnxxxxxxxxxxxx 0)(xf)(xx2022-3-15二、两种表达形式的相互转化二、两种表达形式的相互转化 理论上，只要给出了一种表达形式的方程，就理论上，只要给出了一种表达形式的方程，

3、就可以写出另一种表达形式。但实际上情况比较复杂可以写出另一种表达形式。但实际上情况比较复杂从显式方程组变为隐式方程组从显式方程组变为隐式方程组0)( xx )()(xxxf 从隐式方程向显式方程的转换从隐式方程向显式方程的转换0273 x273 xxx2/27xx )272(312xxx 2022-3-16对于方程组对于方程组 可以有如下两种不同写法可以有如下两种不同写法 25222122211xxxxxxx 5322122111xxxxxxx 由隐式方程组中的由隐式方程组中的哪个方程哪个方程生成生成哪个变量哪个变量的问的问题，称之为变量与方程的题，称之为变量与方程的“匹配匹配”问题。问题。

4、不同匹配方案得到的显式方程组，对今后的求不同匹配方案得到的显式方程组，对今后的求解有不同的影响。解有不同的影响。对于方程组来说，除了匹配问题，对于方程组来说，除了匹配问题，前面单变量方程所面临的困境也依然存在。前面单变量方程所面临的困境也依然存在。 020522121xxxx（1）（2）2022-3-170)( xf)(xx 难，多解难，多解易，唯一易，唯一如何求解方程或方程组？如何求解方程或方程组？ 解析解解析解 数值解数值解2022-3-19三、非线性代数方程组的迭代求解法三、非线性代数方程组的迭代求解法迭代：迭代：给定某个初值，反复作用于同一个函数给定某个初值，反复作用于同一个函数的过程

5、的过程方程的求解：迭代就是对求解变量的初值进行方程的求解：迭代就是对求解变量的初值进行逐步改进，使之一步一步地逐渐逼近方程的解逐步改进，使之一步一步地逐渐逼近方程的解这样的每一步，叫做迭代法中的这样的每一步，叫做迭代法中的一轮迭代一轮迭代如何利用每一轮如何利用每一轮( (或不只一轮或不只一轮) )所提供的信息，所提供的信息，来来产生下一轮的改进值产生下一轮的改进值的过程，称为的过程，称为不同的迭代方案就构成了各种不同的迭代方案就构成了各种迭代法迭代法2022-3-110用一个统一的公式来表示所有的迭代过程：用一个统一的公式来表示所有的迭代过程：)()()()1(kkkkdtxx )(kx第第

6、k 轮得到的近似值轮得到的近似值 )1( kx第第k+1轮轮得到的近似值得到的近似值)(kd)(kt)()(kkdt搜索方向，搜索方向，即朝哪儿走可以更逼近准确解即朝哪儿走可以更逼近准确解步长因子，步长因子，纯量，在搜索方向上前进的距离纯量，在搜索方向上前进的距离迭代步长，迭代步长，表示每一轮改进了多少表示每一轮改进了多少对于迭代提出如下问题：对于迭代提出如下问题：1 1：迭代是否朝着准确解的方向：迭代是否朝着准确解的方向2 2：何时停止迭代：何时停止迭代2022-3-112以以 作为起点，开始一个迭代过程，得到一个作为起点，开始一个迭代过程，得到一个数列：数列：)0(x)()2()1()0(

7、,kxxxx xxkklim)(迭代过程迭代过程)(kkxlim 不存在，迭代过程不存在，迭代过程的值发生重复，不分散不收敛，称为的值发生重复，不分散不收敛，称为)(kx准确解准确解2022-3-113例如初始位置在例如初始位置在(0, 0, 0)原点原点)0 , 0 , 1()( kd1)( kt 0010011000)1(x 在实际过程中，只要某次迭代结果的精度满足在实际过程中，只要某次迭代结果的精度满足应用要求就可以了。此时就需要应用要求就可以了。此时就需要终止判据终止判据，当解满，当解满足精度要求时停止迭代。足精度要求时停止迭代。沿沿x 轴方向搜轴方向搜索了一个单位索了一个单位2022

8、-3-114常用的终止判据常用的终止判据 )()(kxf0)()( kxf即基本满足即基本满足 )()()(kkxx即基本满即基本满足足)()()(kkxx )()1()(kkkxxx0)( kx )1()(kkxx前提为前提为2022-3-115.是是符号，它的定义为：符号，它的定义为：)(.)()()()(2)(22)(21)(knkkkxfxfxfxf 2)1()(2)1(2)(22)1(1)(1)1()()()()( knknkkkkkkxxxxxxxx2022-3-116注注 意意 虽然这几种收敛判据在实践中已普遍采用，且虽然这几种收敛判据在实践中已普遍采用，且一般情况下也都有效，但

9、在某些特殊情况下也不全一般情况下也都有效，但在某些特殊情况下也不全如人意。如人意。 此外，此外，的取值也难恰到好处。因此，在迭代的取值也难恰到好处。因此，在迭代过程中对这方面的问题也应给以一定的重视。过程中对这方面的问题也应给以一定的重视。第二节第二节 单变量方程基本解法单变量方程基本解法0)( xf)(xx (1)(2)隐式隐式显式显式考虑几何意义？考虑几何意义？2022-3-118第二节第二节 单变量方程基本解法单变量方程基本解法 不同形式的方程有不同的解法，而不同迭代不同形式的方程有不同的解法，而不同迭代解法之间的关键区别就是解法之间的关键区别就是迭代格式迭代格式的不同。的不同。一、隐式

10、迭代基本方法一、隐式迭代基本方法1.牛顿法牛顿法0)( xf在在 处作泰勒展开，保留一次项，可得处作泰勒展开，保留一次项，可得)(kxx )()()()()()(kkkxxxfxfxf 希望下一轮迭代时方程能被满足，即希望下一轮迭代时方程能被满足，即0)()1( kxf2022-3-1190)()()()()1()()()1( kkkkkxxxfxfxf因此，可以得到以下结果因此，可以得到以下结果则得则得)()()()()()1(kkkkxfxfxx 牛顿法实际上是把非线性方程牛顿法实际上是把非线性方程 逐步线性化逐步线性化 就是在点就是在点 处的斜率，因此，牛顿法处的斜率，因此，牛顿法是是用

11、切线来不断近似曲线用切线来不断近似曲线的。的。)()(kxf 0)( xf)(kx2022-3-120牛顿迭代法示意图牛顿迭代法示意图切线切线切线方程的解切线方程的解2022-3-121例：例：简单蒸馏时，某时刻釜中残液量与低沸点组简单蒸馏时，某时刻釜中残液量与低沸点组成成 x 之间有如下关系式之间有如下关系式)11ln(ln11ln000 xxxxFF 解：解：依题意可得依题意可得 6 . 011ln5 . 26 . 0ln15 . 212ln00 xxFF对于苯对于苯-甲苯物系，甲苯物系，=2.5，开始物系中含苯，开始物系中含苯60%，甲，甲苯苯40%，若残液量为原料加料量的一半时，试求残

12、，若残液量为原料加料量的一半时，试求残液中苯含量。液中苯含量。 收敛判据选收敛判据选 取取0.0001 )1()(kkxx2022-3-122整理得到整理得到07402. 0)ln()1ln(5 . 2 xx令令 f(x)=2.5ln(1-x)-ln(x)+0.7402，则，则xxxf115 . 2)( 取取x 0 =0.4则则f(x0)=0.3794f (x0)=-6.6666x1=x0- f (x0)/f (x0)=0.4569再次迭代再次迭代 f(x1)=0.0003 f (x1)=-6.7919x2=x1- f (x1)/f (x1)=0.45694则则 00004. 0)4569.

13、045694. 0(212xx所以所以45694. 0 x2022-3-123注意：注意：解题时要写出解题时要写出 和和 ，以及迭代，以及迭代公式和每一次的迭代结果，这样计算结果一目了然，公式和每一次的迭代结果，这样计算结果一目了然，容易检查错误，一般可写成列表形式：容易检查错误，一般可写成列表形式：)(xf)(xf )(kx)()(kxf)()(kxf 0 0.4 0.3794 -6.66661 0.4569 0.0003 -6.7919 0.45694迭代次数迭代次数 k 如题目中没有给出如题目中没有给出精度要求和收敛判据精度要求和收敛判据，则，则解题时要根据具体问题给予解题时要根据具体问

14、题给予明确设定明确设定牛顿法求解隐式方程小结：牛顿法求解隐式方程小结：基本思想：采用切线线性化基本思想：采用切线线性化数学依据：数学依据：Taylor公式公式公式形式：包含变量值，变量函数值，公式形式：包含变量值，变量函数值， 变量导数值变量导数值2022-3-125(1) 牛顿法对函数便于牛顿法对函数便于解析求导解析求导的方程求根是一种的方程求根是一种有效的方法，特别适用于高次代数方程和超越方程，有效的方法，特别适用于高次代数方程和超越方程，而且易于编程实现，收敛速度也较快。而且易于编程实现，收敛速度也较快。(2) 牛顿法每轮迭代只需利用前一轮的信息，因此，牛顿法每轮迭代只需利用前一轮的信息

15、，因此，只需只需设一个初始点设一个初始点。当方程存在多解时，初始点设。当方程存在多解时，初始点设得离哪个点近，通常就收敛到哪个解。得离哪个点近，通常就收敛到哪个解。2022-3-126(3) 如果函数比较复杂或解析求导有困难时，可采如果函数比较复杂或解析求导有困难时，可采用数值求导的方法，即用用数值求导的方法，即用差分代替导数差分代替导数，公式为，公式为)()()(2)()()()()1(hxfhxfxfhxxkkkkk h 数值导数的半步长数值导数的半步长 这公式也就是用这公式也就是用 附近的一条割线斜率附近的一条割线斜率代替切线斜率代替切线斜率近似牛顿法近似牛顿法)(kx2022-3-12

16、72.割线法割线法 把牛顿法中的把牛顿法中的切线切线改成改成割线割线，即用割线近似，即用割线近似代替原曲线代替原曲线 ，就得到了割线法。，就得到了割线法。割线割线2022-3-128 利用函数曲线上的两个点利用函数曲线上的两个点 和和 ，构造一条直线段来近似曲线段。迭代公式是：构造一条直线段来近似曲线段。迭代公式是：)1( kx)(kx)()()()()1()()1()()()1(kkkkkkkxfxfxfxxxx 或写成或写成)()()()()1(kkkkxfxx )()()1()()1()()( kkkkkxfxfxx 2022-3-129例：例：求求在大气压下在大气压下，苯、甲苯和乙苯的

17、摩尔分数，苯、甲苯和乙苯的摩尔分数分别为分别为0.5、0.3和和 0.2 混合物的混合物的沸点沸点，并求，并求平衡蒸平衡蒸汽组成汽组成。每一纯组分。每一纯组分 i 的饱和蒸汽压的饱和蒸汽压 与绝对与绝对温度温度T 有下列关系有下列关系0ipTbapiii )(lg010P：mmHgT：K7600 iipxP2022-3-130解：依题意解：依题意07602 . 03 . 05 . 0)(030201 pppTfK360)0( TK370)1( T138)()0( Tf91)()1( Tf设：设：有：有：所以所以K03 . 366)()()() 1()0() 1()0() 1() 1()2( T

18、fTfTfTTTT经经4轮迭代，轮迭代，得到得到T366.33K，各组分分压为：，各组分分压为：P苯苯=x苯苯*P苯苯0=0.5*1159.3=579. 64P甲苯甲苯=140.23； P乙苯乙苯=40.11平衡蒸汽组成平衡蒸汽组成：y苯苯= P苯苯/P= 0.7627， y甲苯甲苯=0.1845， y乙苯乙苯=0.05282022-3-131本例题的迭代计算历程本例题的迭代计算历程注注 意意1. 不用求导，函数复杂不便于求导时，可用割线法不用求导，函数复杂不便于求导时，可用割线法2. 在作每一轮计算时，需要前两轮的信息，即需要在作每一轮计算时，需要前两轮的信息，即需要两个初始点，才能开始计算

19、过程。两个初始点，才能开始计算过程。2022-3-132二、二、 显式迭代基本方法显式迭代基本方法1. 直接迭代法直接迭代法 对于显式方程对于显式方程)(xx 最简单的迭代法就是直接迭代法，它的思路是最简单的迭代法就是直接迭代法，它的思路是把第把第 k 轮的函数值直接作为下一轮的轮的函数值直接作为下一轮的 x 值，值，故迭代公式：故迭代公式：)()(1kkxx 2022-3-133 直接迭代法的几何意义很明显，就是求直接迭代法的几何意义很明显，就是求 y=(x) 与直线与直线 y=x 的交点。的交点。迭代收敛迭代收敛 迭代发散迭代发散是否收敛？是否收敛？函数形式非常重要函数形式非常重要2022

20、-3-134例子例子逻辑斯谛方程逻辑斯谛方程)1(xaxx 例例1：a=2)1(2xxx 2022-3-135例例2：a=3.1)1(1 . 3xxx 2022-3-136例例3：a=3.9)1(9 . 3xxx 2022-3-137直接迭代法特征直接迭代法特征(1) 直接迭代法只需计算函数值，且只需一个初始点，直接迭代法只需计算函数值，且只需一个初始点，所以非常容易编程实现。所以非常容易编程实现。(2) 直接迭代法是否收敛，取决于直接迭代法是否收敛，取决于 的性质，即的性质，即 时，肯定收敛。时，肯定收敛。 时，则可能收敛也可能不收敛。时，则可能收敛也可能不收敛。)(x 1)( x 1)(

21、x 2022-3-1382韦格施坦法韦格施坦法 Wegstein 于于1958年提出，年提出，目的是加快直接迭目的是加快直接迭代法的收敛速度。代法的收敛速度。 韦格施坦法在单变量方程中的应用，其实质韦格施坦法在单变量方程中的应用，其实质就是割线法应用于显式方程求根。就是割线法应用于显式方程求根。 从任意两个初始点从任意两个初始点 和和 可以得到通过可以得到通过 和和 两点的直线，其两点的直线，其斜率为斜率为)1( kx)(kx)(,()1()1( kkxx )(,()()(kkxx )1()()1()()()()( kkkkkxxxxs 2022-3-139直线方程为直线方程为)()()()(

22、)(kkkxxsxy 因为它与因为它与 y=x 相交于相交于 x (k+1) 点点)()()()()() 1(kkkkkxxxx 解出解出)()(11kks )1()()1()()()()( kkkkkxxxxs 其中其中)()()() 1()()() 1(kkkkkxxsxx 故：故：2022-3-1402022-3-141 韦格施坦法特征韦格施坦法特征(1) 只需计算函数值，收敛较快，特别适合计算机只需计算函数值，收敛较快，特别适合计算机计算。计算。(2) 每一轮计算，需要前两轮的信息。每一轮计算，需要前两轮的信息。 在进行计算时，需要设置在进行计算时，需要设置两个初始点两个初始点。但应用

23、。但应用中设置一个初始点，中设置一个初始点，第一轮迭代用直接迭代法第一轮迭代用直接迭代法得到得到第二个初始点，从第二轮开始用韦格施坦法。第二个初始点，从第二轮开始用韦格施坦法。2022-3-142(3) 如果令如果令 q=1-，经几步迭代后，经几步迭代后，q 就逐步达到一就逐步达到一个比较稳定的值，则可根据个比较稳定的值，则可根据 q 的值判断收敛的性质的值判断收敛的性质q0 单调收敛，收敛较快，但易不稳定单调收敛，收敛较快，但易不稳定0q0.5 振荡收敛，收敛较慢，但稳定振荡收敛，收敛较慢，但稳定0.5q1 单调发散单调发散q=0 直接迭代法直接迭代法)()()()()() 1(kkkkkx

24、xxx )()(11kks 2022-3-143 为了使迭代过程既快又稳定，提出了改进做法，为了使迭代过程既快又稳定，提出了改进做法，主要是主要是限界和延迟（间歇）的应用限界和延迟（间歇）的应用631maxmin 1010maxmin 05maxmin 常用的界限有：常用的界限有：在界限外在界限外 取最大或最小值取最大或最小值maxmin ，就是规定就是规定2022-3-144 ，指不是在每轮中连续应用韦格施坦法，指不是在每轮中连续应用韦格施坦法，而是而是每隔几轮直接迭代法，调用一次韦格施坦法每隔几轮直接迭代法，调用一次韦格施坦法，则可以改善迭代过程的稳定性和收敛效果。则可以改善迭代过程的稳定

25、性和收敛效果。通常可取间隔为通常可取间隔为35轮轮2022-3-145例：例：用韦格施坦法解范德华方程用韦格施坦法解范德华方程RTbVVaP )(2确定在确定在T=100和和P=50atm下氮气的体积。对氮气下氮气的体积。对氮气23-6/mol)matm10 1.351( a/molm1038.643-6 b解：解：首先，把方程变成的显式形式首先，把方程变成的显式形式bVaPRTV 2第一轮用直接迭代法，第一轮用直接迭代法，设设/mol0.01m3 )0(V66266)0()1(10737.3221064.3801. 010351. 15015.1731006.82)( VV 则：则：2022

26、-3-146从第二轮起用韦格施坦法从第二轮起用韦格施坦法6)1(10270.264)( V 006034. 0)()()0()1()0()1()1( VVVVs 00607. 111)1()1( s 6)2(109496.263 V计算进程如下表：计算进程如下表：2022-3-147第三节第三节 非线性代数方程组解法非线性代数方程组解法一、直接迭代法、韦格施坦法和割线法一、直接迭代法、韦格施坦法和割线法 由单变量方程扩展而来，在应用中有共同的特由单变量方程扩展而来，在应用中有共同的特点。点。1. 直接迭代法直接迭代法 把单变量方程直接迭代法的公式，用向量的形把单变量方程直接迭代法的公式，用向量

27、的形式写出，得到方程组的直接迭代法的公式：式写出，得到方程组的直接迭代法的公式：)()()1(kkxx 2022-3-148 对一实际存在的循环系统，只要迭代变量的初对一实际存在的循环系统，只要迭代变量的初始值足够接近于解，直接迭代法必定能收敛。始值足够接近于解，直接迭代法必定能收敛。 对于化工过程流程模拟，直接迭代相当于模对于化工过程流程模拟，直接迭代相当于模拟装置的开工过程，拟装置的开工过程，对于能稳定操作的化工装置，对于能稳定操作的化工装置，直接迭代法必定能收敛。直接迭代法必定能收敛。它的分量形式：它的分量形式：),.,()()(2)(1)1(knkkikixxxx （i=1，2，,n）

28、2022-3-1492. 韦格施坦法韦格施坦法迭代公式如下：迭代公式如下：)()()()()()1(kikikikikixxxx 式中，式中，)()(11kikis )1()()1()()()()( kikikikikixxxxs （i=1，2，,n）2022-3-1503. 割线法割线法迭代公式如下：迭代公式如下：)()()()()1(kikikikixfxx )()()1()()1()()( kikikikikixfxfxx （i=1，2，n）2022-3-151 使用三种方法的注意事项使用三种方法的注意事项(1) 按照按照“一个方程收敛一个变量一个方程收敛一个变量”的方式进行求解，的方式

29、进行求解，只适用于求解变量间只有只适用于求解变量间只有弱交互作用弱交互作用的方程组。的方程组。(2) 只须计算各方程的函数值，便于用计算机求解。只须计算各方程的函数值，便于用计算机求解。直接迭代法要一个初始点；韦格施坦法第一轮迭直接迭代法要一个初始点；韦格施坦法第一轮迭代时用直接迭代法，然后用韦格施坦法；割线法代时用直接迭代法，然后用韦格施坦法；割线法需两个初始点。需两个初始点。(3) 适用于求解显式方程组，在化工流程模拟中，所适用于求解显式方程组，在化工流程模拟中，所建立的显式模型方程，变量与方程间匹配恰当，建立的显式模型方程，变量与方程间匹配恰当，求解顺利。求解顺利。2022-3-152

30、(4) 直接迭代法形式最简单，应用范围广，但在下列直接迭代法形式最简单，应用范围广，但在下列场合不太适用：场合不太适用： A 组分间相互作用较强的溶液汽液平衡计算组分间相互作用较强的溶液汽液平衡计算 B 逆流分离过程逆流分离过程 C 冷热流之间温差较小的换热器网络冷热流之间温差较小的换热器网络 D 强烈放热化学反应器的模拟强烈放热化学反应器的模拟 韦格施坦法韦格施坦法（限界）（限界），因收敛较快，运行稳定，因收敛较快，运行稳定，在化工过程模拟中应用最广泛在化工过程模拟中应用最广泛 割线法实际应用较少割线法实际应用较少2022-3-153例：例：用直接迭代法解用直接迭代法解初始点（初始点（0.7

31、5,0.25）解：解：首先写出迭代公式首先写出迭代公式 )(1)1(22/12)(2)1(11)(1(kkkkxxxx25. 0,75. 0)0(2)0(1 xx所以所以已知已知 25. 075. 016882. 0)25. 01()1(22/12)1(1xx最后，可以解得最后，可以解得0, 121 xx 122/12211)1(xxxx(1)(2)2022-3-154例：例：用韦格施坦法解用韦格施坦法解初值（初值（2，10，5）精度为精度为0.0001解：解：第一步用直接迭代法第一步用直接迭代法5488397. 010)54(3)1(1 x211102. 7)5281(2/122)1(2 x

32、158579. 310233)1(3 x232/131)4(xxx 2/123212)81(xxx 22/11333xxx 2022-3-155 158579. 3211102. 75488397. 0)()1()0(xx 得到：得到： 47354. 440965. 852290. 1)()2()1(xx 7141. 04298. 0671. 0)1(s)0()1()0()1()1()()(iiiiixxxxs 5834. 06994. 05984. 0)1( )1()1(11iis 2022-3-156 9257. 30494. 81317. 1)()1()1()1()1()2(xxxx 最

33、后得近似解为：最后得近似解为： 0000. 40000. 80000. 1自学：自学：P18 例例2-1、2-2方程匹配、限界、延迟方程匹配、限界、延迟2022-3-157二、牛顿二、牛顿- -拉夫森（拉夫森（Newton-RaphsonNewton-Raphson）法）法 单变量方程解法牛顿法向方程组情况的推广。单变量方程解法牛顿法向方程组情况的推广。基本思想：基本思想：将非线性方程组逐次进行线性化处理将非线性方程组逐次进行线性化处理对于方程组对于方程组0)( xf 在在 （第（第 k 轮迭代轮迭代 的计算值）处作的计算值）处作一阶泰勒展开，得：一阶泰勒展开，得：)(kxx x)()()()

34、()()(kkkxxJxfxf 雅可比矩阵雅可比矩阵2022-3-158J函数向量函数向量 的的雅可比（雅可比（Jacobian）矩阵）矩阵，相当于单变量方程情况下函数相当于单变量方程情况下函数 f(x) 的导数的导数 J（k）第第 k 轮迭代中雅可比矩阵的数值：轮迭代中雅可比矩阵的数值：)(xf)(xf 11112222( )12( )12.nknnnnknfffxxxfffxxxJfffxxxx2022-3-159希望下一次迭代希望下一次迭代 能等于能等于 ：)()1( kxf0所以：所以：0)()()()1()()( kkkkxxJxf推出：推出：)()()(1)()()1(kkkkxf

35、Jxx 的的逆矩阵逆矩阵)(kJ2022-3-160 应用牛顿应用牛顿-拉夫森法的注意事项拉夫森法的注意事项1. 牛顿牛顿-拉夫森法适用于解拉夫森法适用于解隐式方程隐式方程，尤其是变量，尤其是变量之间存在强交互作用的方程。之间存在强交互作用的方程。2. 只需一个初始点即可开始迭代过程，而且收敛只需一个初始点即可开始迭代过程，而且收敛速度快。速度快。3. 对初始值要求高对初始值要求高，需要用解析法或数值法求导，需要用解析法或数值法求导，当函数复杂，方程多时，需要花大量时间。当函数复杂，方程多时，需要花大量时间。2022-3-1614. 求雅可比矩阵的逆矩阵时工作量大求雅可比矩阵的逆矩阵时工作量大

36、 在求解过程中，雅可比矩阵有可能是奇异矩阵。在求解过程中，雅可比矩阵有可能是奇异矩阵。两种原因：两种原因：建模型时出错，此时需建模型时出错，此时需对模型进行检查修正对模型进行检查修正；迭代过程中出现的（相当于单变量情况下迭代过程中出现的（相当于单变量情况下 时的情形），此时可时的情形），此时可重设初始值重设初始值。0)( xf2022-3-1625. 解析求导困难时，可用下式进行数值求导：解析求导困难时，可用下式进行数值求导：xi 为差分步长，为差分步长，xi 一般可取为一般可取为0.001ijmiijijxxfxxxxxfxf )(),.,.,(212022-3-163例：例：对串联的油换热

37、器组进行最优设计时，得到对串联的油换热器组进行最优设计时，得到如下方程组如下方程组求油换热器进出口的温度求油换热器进出口的温度T1 和和 T2，已知初始值是，已知初始值是（180，292）。要求精度为）。要求精度为0.01 221212)400(02. 0400)300(0075. 0400TTTT)(Tf 0)400(02. 04000)300(0075. 040022122121TTfTTf解：（解：（1）写出）写出即：即：2022-3-164)()0(Tf（2）计算）计算 28.13)292400(02. 0400180)(0)180300(0075. 0400292)(2)0(22)0

38、(1TfTf112 Tf（3）求出）求出 J)300(015. 0111TTf 121 Tf)400(04. 0222TTf )400(04. 011)300(015. 021TTJ 22122121)400(02. 0400)300(0075. 0400TTfTTf2022-3-165（4）计算）计算 32. 4118 . 1)0(J（5）求逆）求逆 2656. 01476. 01476. 06375. 01)0(J（6）迭代）迭代 5277.2959599.1815277. 39599. 1292180)()0(1)0()0()1(TfJTT（7）重复）重复(2)至至(6)步，直到满足计算

39、精度要求步，直到满足计算精度要求776. 611)32. 4()8 . 1(32. 4118 . 1 JJ计算计算若：若：J 的行列式为非奇异（满秩）方阵，即的行列式为非奇异（满秩）方阵，即0 J则则 J 的逆矩阵为：的逆矩阵为： JJJ112022-3-166J 的伴随矩阵的伴随矩阵矩阵求逆矩阵求逆 8 . 11132. 422122111JJJJJ求求 J*：先求：先求 中元素的代数余子式：中元素的代数余子式：J32. 432. 4)1(1111 J11)1(2112 J121 J8 . 122 J 2656. 01476. 01476. 06375. 08 . 11132. 4776.

40、6111JJJ则则2022-3-167三、布洛伊顿（三、布洛伊顿（BroydenBroyden）拟牛顿法）拟牛顿法l 牛顿牛顿-拉夫森法优点：有一定理论基础，收敛速度拉夫森法优点：有一定理论基础，收敛速度较快，效果较好。较快，效果较好。l 缺点：缺点：迭代公式中含有一个待解方程组中函数向迭代公式中含有一个待解方程组中函数向量量 的雅可比矩阵的逆矩阵的雅可比矩阵的逆矩阵雅可比矩阵的求取雅可比矩阵的求取，是同方程组数学形式直接有，是同方程组数学形式直接有关的运算，当方程组的规模较大时，相当麻烦。关的运算，当方程组的规模较大时，相当麻烦。用解析求导，工作量很大，有时还有困难；用数用解析求导，工作量很

41、大，有时还有困难；用数值求导也并不简单。值求导也并不简单。2022-3-168)(xfl 比照着牛顿比照着牛顿-拉夫森法的迭代公式把迭代公式写成拉夫森法的迭代公式把迭代公式写成如下形式：如下形式： （2-31）l 如果如果 ，（，（2-31）式就是牛顿）式就是牛顿-拉夫拉夫森迭代公式。如果不按照牛顿森迭代公式。如果不按照牛顿-拉夫森方法取值，拉夫森方法取值，则这样的求解方法就叫做则这样的求解方法就叫做拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton Method）。）。l 对于迭代矩阵的具体构成，可以提出各种不同的对于迭代矩阵的具体构成，可以提出各种不同的方案，这样就可形成不同的拟牛顿法。方案，这样

42、就可形成不同的拟牛顿法。2022-3-1691)()()( kkJH)()()()()1(kkkkxfHxx l 各种拟牛顿法中的迭代矩阵，一般各种拟牛顿法中的迭代矩阵，一般并不与待解方并不与待解方程组的数学形式直接挂钩程组的数学形式直接挂钩。因此在应用拟牛顿法。因此在应用拟牛顿法时，只需逐轮进行各方程的时，只需逐轮进行各方程的函数值函数值的计算，就可的计算，就可使迭代进行下去，方便，适用范围更广。使迭代进行下去，方便，适用范围更广。l 布洛伊顿法是应用得最广泛的拟牛顿法。在某些布洛伊顿法是应用得最广泛的拟牛顿法。在某些文献中，在称拟牛顿法时，指的就是布洛伊顿法。文献中，在称拟牛顿法时，指的就

43、是布洛伊顿法。2022-3-170自学布洛伊顿法，例自学布洛伊顿法，例2-4作业：作业：P 250，习题，习题 4迭代法总结：迭代法总结：1.确定迭代方法确定迭代方法2.转换方程形式转换方程形式3.写出迭代通式写出迭代通式4.列表计算列表计算5.终止迭代终止迭代建议建议-多借助软件多借助软件MatlabMathematicMaple四、方程组的分块和切割四、方程组的分块和切割1.稀疏方程组稀疏方程组l 一个方程组共含有一个方程组共含有n个变量和个变量和n个方程，但这并不个方程，但这并不意味着，意味着，n个方程中的每一个，都必含有个方程中的每一个，都必含有n个变量个变量的全体。很可能是某些方程中

44、只含有的全体。很可能是某些方程中只含有n个变量中的个变量中的某几个，另一些方程只含有某几个，另一些方程只含有n个变量中的另外几个。个变量中的另外几个。这叫做方程组具有这叫做方程组具有“稀疏性稀疏性(Sparseness)”。这。这样的方程组也被称为样的方程组也被称为稀疏方程组稀疏方程组。l 化工系统的模型方程，通常都是稀疏方程组。而化工系统的模型方程，通常都是稀疏方程组。而且稀疏程度一般很高。且稀疏程度一般很高。2022-3-173l 方程组的分块和变量切割，就是针对求解稀疏方方程组的分块和变量切割，就是针对求解稀疏方程组的一种方法。程组的一种方法。l 方程组的分块和变量的切割称为方程组的分块

45、和变量的切割称为方程组的分解方程组的分解。它与第六章要介绍的它与第六章要介绍的化工系统的分解化工系统的分解，本质上是，本质上是一致的，做法也类似。一致的，做法也类似。l 仅介绍方程组分块和变量切割的基本概念。仅介绍方程组分块和变量切割的基本概念。2022-3-174 2.方程组的分块（方程组的分块（Partitioning） l例：稀疏方程组例：稀疏方程组2022-3-1750),(0),(0),(0),(0),(5315414421354322411xxxfxxfxxxfxxxxfxxf 将方程组分成单独求解的维数较低的子方程组，将方程组分成单独求解的维数较低的子方程组，并确定子方程组求解顺

46、序的过程并确定子方程组求解顺序的过程x1、 x4f1 、f4x2f3x3、 x5f2 、f5123 3. 变量的切割（变量的切割（Tearing） l 稀疏方程组分块后，其子方程组还可能是稀疏的，稀疏方程组分块后，其子方程组还可能是稀疏的，但又不能再通过分解降维。可以设想以下求解办但又不能再通过分解降维。可以设想以下求解办法：法：l 首先选择几个变量并给以估计值，然后利用稀疏首先选择几个变量并给以估计值，然后利用稀疏方程算出这些变量的计算值，利用前面介绍的迭方程算出这些变量的计算值，利用前面介绍的迭代计算方法，计算出这些变量的解。代计算方法，计算出这些变量的解。l 这一方法叫做这一方法叫做切割法切割法，被选择的少数几个变量叫，被选择的少数几个变量叫做做切割变量切割变量（Tearing Variables）。）。 2022-3-176稀疏方程的切割解法稀疏方程的切割解法 2022-3-1770),(0),(0),(0),(0),(5435542145432354125321xxxfxxxxfxxx