311支路电流法

1、第三章 电阻电路的基本分析方法§3.1 网络图论的概念一、基本概念、术语及定义 1. 图的概念及定义 对于一个由集中参数元件组成的网络N： 支路线段（线段的长短、曲直无关紧要） 节点黑点 得到一个由线段和黑点组成的图形。 G称为网络N的线图（拓扑图），简称图。网络N1 网络N1的图G1 网络N2 N2的G2 图: 一组节点和支路的集合，其中每一条支路的两端都终止在节点上。子图如图图G1的节点和支路都是图G的节点和支路，则图G1是图G的一个子图。 G G1 G2 G3 关联参考方向IkUk在拓扑图中，支路电流与支路电压选取关联的参考方向。定向图标有电流参考方向的图，也称有向图。 由于采

2、用了关联参考方向，定向图中只画出电流的参考方向。连通图和非连通图连通图一个图G，当任意两个相异的节点之间至少存在一条通路时，否则非连通图。 连通图由1个独立部分组成，非连通图至少有两个独立部分。平面图和非平面图平面图一个图G能在平面画上，而没有任何支路的交叉（这些交叉点不是节点）。非平面图它是一个立体图。 平面图 平面图 平面图 非平面图 非平面图 回路构成闭合路径的那些支路的一个集合，如果在该回路中任意移去一条支路，则剩下的支路就不再构成闭合路径。 在图论中，常会提到移去一条支路，这指的是移去一条线段，而该线段的两个端点仍然要保留着。网孔在平面图上，网孔是一个回路，但在此回路所包围的区域内，

3、不能包含有其它支路。（即网孔是一个最短的闭合路径）。 网孔能在平面图上像渔网的孔那样立即辩认出来。注意：网孔这个概念只适用于平面图。2. 树、树支、链支 树（Tree）是图论中一个十分重要的概念。树的定义： 设G是一个连通图，T是G的一个子图，当T同时满足下列三个条件时，则称T是G的一个树。这三个条件是 T是一个连通的子图； T包含G的全部节点； T中不包含回路。312456314 G T1 T2 T3 以上是图G及其几个不同的树。 这几个都不是上图的树。不连通未包含全部节点形成了回路树支组成树T的支路称为树支。链支不包含在树内的支路称为链支路，简称链支。上图中，当选取T1为树，支路1、3、4

4、称为树支，支路2、5、6称为链支。二、几个图论的定理 对一具有n个节点，b条支路的连通图G，给定一个树T，则1. 在任意一对节点之间，有且仅有一条由一些树支所构成的路径。 证明：如果在连通图G中，在节点、之间没有树路径，则表明树没有包含所有的节点或所选取的树是不连通的；如果在节点、之间有两条由一些树支路所构成的路径，那末树T包含有回路。以上假设都违背了树的定义，所以在一对节点之间有且仅有一条树路径。2. n1条树支路和bn1条链支路 证明：当画第一条树支路时，它连着两个节点。因为树必须包含图的全部节点，以及不包含有回路，所以在连接其余n2个节点时，每连接一个节点，必须且只能画出一条树枝，这样，

5、连接剩余n2条树枝支路。连同画出的第一条树支路一起，连接n个节点总的树支数就是1+(n2) = n1条。 给定的支路数为b，链支数为b(n1)=bn+1条。3. 每一条链支路可与其两个端点之间的唯一的一条树路径，构成一个唯一的回路，这些回路称为基本回路，或叫单链支回路。 证明：由于每一条链支路都与图G的两个节点相连接，定理1已经证明了在任意一对节点之间有且仅有一条树路径，所以每一条链支路只能和与之相接的一条树路径构成一个回路，这个回路当然也是唯一的。补充：4. 欧拉公式：（Euler formula） 对一连通的平面图G，当节点数为n，支路数为b时，则图的网孔数为L= bn1。（1）（2）。（

6、m-1）具有L个网孔的图 用数学归纳法证明： (a) (b) 设一单网孔的图，如图a所示。 n = 4, b=4， 则 L= bn1 等式成立 在图b中，先假定等式对具有L个网孔的图是成立的（即在L个网孔的图中，有b条支路，n个节点， L= bn1成立），我们用m条支路串联，与具有L个网孔的图的两个节点相连接，使构成的新图的网孔数增加1个，即新图具有L1个网孔。 新图的支路数为bm 节点数为n(m1) 网孔数由待证明式计算：(bm)n(m1)1 = (bn1)1 = L1 等式得证。§3.2 支路电流法一、什么是支路电流法 以支路电流作为未知量，在电路的独立节点上建立KCL方程，在独

7、立回路中建立KVL方程，解方程组得支路电流法。这个方法称为支路电流法。 支路电流法是求解线性电路的基本方法之一。二、支路电流法的解题过程设右图电路中的元件参数为给定，要确定各支路电流。US1R1R2R3R4R5R6US2US4US6abcdUS1R1R2R3R4R5R6US2US4US6abcdI1I2I3I4I5I6用支路电流法解题过程是：1. 选定各支路电流参考方向支路电流参考方向任意选定，如图所示。 2. 在独立节点上建立KCL方程（SI=0） （1）节点电流方程 a. （1） b. （2） c. （3） d. （4） （2）关于KCL方程的独立性与独立节点 对一个n个节点的连通电路，独

8、立节点数为n1个。3. 在电路的网孔（或独立回路）中建立KVL方程（SRI=SUS） （1）网孔电压方程图示电路有三个网孔，如在每个网孔中指定顺时针方向为回路参考方向，这样有三个网孔的KVL方程为：US1R1R2R3R4R5R6US2US4US6abcdI1I2I3I4I5I61231: 2: （5） （6）3: （7） （5）（6）（7）是一组独立方程，因为在每一方程中都包含有其余方程内没有出现过的支路电流。平面图的全部网孔是一组独立回路，其数目为bn1。（2）回路电压方程 以上我们在网孔中建立了一组独立的KVL方程。另外，KVL方程也可以在独立回路中建立。怎么找独立回路？ 基本回路，即单链

9、支回路是独立回路。在电路中选取一个合适的树，（合适的含义在例子中将给出），这样，每一条链支与一些树支就唯一地构成一个基本回路。在上图中选定树，由链支路1、3、5构成的基本回路就是外围回路及网孔2、网孔3。因为在每个基本回路中，都包含有一条别的基本回路内没有的链支，所以基本回路内建立的KVL方程也是一组独立方程。 4. 解支路电流 解（1）、（2）、（3）、（5）、（6）、（7）六个独立方程（通常用行列式解），得各支路电流。三、支路电流法解的唯一性 对一具有b条支路，n个节点的连通电路，有b个待求的支路电流。支路电流法由KCL建立n1个，独立电流方程，由KVL建立L= bn1个独立电压方程，总的独立方程为(n1)(bn1) = b个。所以b个支路电流的解是唯一的。 aIS2US1R1R3bI1I31aIS2US1R1R3b例1 图中给定，。试用支路电流法求各支路电流。 解：由于支路2为一给定的电流源，未知的支路电流只有两个，选定参考方向如图所示。1: a：，即 （1） ，即 （2）解（1）（2）得：， 上例表明，应用支路电流法解题，当电路中有电流源支路时，先在独立节点上建立KCL方程，然后选取将电流源支路作链支的一个树，画出由链支路形成的基本回路，（包含有电流源的链支路形成的基本回路不画出来），并在这样的回路中建立KVL方程。选取这样的树，电路中有几条电流源支