ACAC十一章全等三角形知识要点归纳

1、第十一章全等三角形知识要点归纳一、知识网络二、基础知识梳理（一）基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角

2、形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（

3、1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一组边相等(SAS)（三）疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。2、对全等三角形判定方法理解错误；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。三、证明全等三角形的常见思路一、已知一边与其一邻角对应相等 1.证已知角的另一边对应相等

4、，再用SAS证全等。  例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C .求证：AF=DE.        证明 BE=CF（已知），BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE. 在ABF和DCE中，        ABFDCE（SAS）。        AF=DE（全等三角形对应边相等）。2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等

5、。 例2 已知：如图2，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB.求证：AE=CE        证明 FCAB（已知），ADE=CFE（两直线平行，内错角相等）。        在ADE和CFE中，    ADECFE（ASA）。        AE=CE（全等三角形对应边相等） 3.证已知边的对角对应相等，再用

6、AAS证全等。        例3 （同例2）。        证明 FCAB（已知），        A=ECF（两直线平行，内错角相等）。        在ADE和CFE中，        ADECFE（AAS）。  

7、0;     AE=CE（全等三角形对应边相等）。  二、已知两边对应相等1.证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。 例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，1=2.求证： ABDACE        证明 1=2（已知），        ADB=180°-1，        AEC

8、=180°-2（邻补角定义），        ADB = AEC，        在ABD和ACE中，        ABDACE（SAS）。2.证第三边对应相等，再用SSS证全等。例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN， BM=DN.求证： AMCN，BMDN       

9、 证明 AC=BD（已知） AC+BC=BD+BC，        即 AB=CD.        在ABM和CDN中，        ABMCDN（SSS）        A=NCD，ABM=D（全等三角应角相等），        AMCN，BMD

10、N（同位角相等，两直行）。 三、已知两角对应相等 1.证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。 例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，B=E，ACB=DFE.求证： AB=DE， AC=DF        证明 FB=CE（已知）        FB+FC=CE+FC， 即 BC=EF，        ABCDEF（ASA）。&

11、#160;       AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）2.证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。        例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF. 求证：ACEBDF.        证明 OA=OB，OE=OFOA-OE=OB-OF，即 AE=BF，    &#

12、160;   在ACE和BDF中，        ACEBDF（AAS）。四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等 例8 已知：如图7，在ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，B=C. 求证：ABDACE.  证明AD=AE（已知）  1=2（等边对等角），    ADB=180°-1，    AEC=180°-2（邻补角定义

13、），        ADB=AEC，        在ABD和ACE中，        ABDACE（AAS）。四、常见全等三角形中添加辅助线方法（1）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形例如：如图，已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证BECFEF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知12，

14、34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。证明：在DA上截取DNDB，连接NE，NF，则DNDC，在DBE和DNE中：DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN中ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 C

15、M，MF。在BDE和CDM中， BDECDM （SAS） 又12，34 （已知） 1234180°（平角的定义） 32=90°即：EDF90° FDMEDF 90°在EDF和MDF中 EDFMDF （SAS） EFMF （全等三角形对应边相等） 在CMF中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边） BECFEF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图，AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。分析

16、：要证ABAC2AD，由图想到： ABBDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE2AD AD为ABC的中线 （已知）BDCD （中线定义） 在ACD和EBD中 ACDEBD （SAS）BECA 在ABE中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边） ABAC2AD。【思考练习】已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图， 求证EF2AD。 （4）截长

17、补短法作辅助线。例如：已知如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边ABAC，故可在AB上截取AN等于AC，得ABACBN， 再连接PN，则PCPN，又在PNB中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在AB上截取ANAC连接PN , 在APN和APC中 APNAPC （SAS） PCPN 在BPN中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边） BPPCABAC证明：（补短法） 延长AC至M，使AMAB，连接PM， 在A

18、BP和AMP中 ABPAMP （SAS） PBPM 又在PCM中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。（5）延长已知边构造三角形。例如：如图，已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC分析：欲证 ADBC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ADAC BCBD CAEDBE 90° 在DBE与CAE中 DBECAE （AAS） EDEC EBE

19、A （全等三角形对应边相等） EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）（6）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD） ABCD ADBC （已知） 12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC与CDA中 ABCCDA （ASA） ABCD（7）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图，在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延长于E 。

20、求证：BD2CE 分析：要证BD2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 BECF （已知） BEFBEC90° 在BEF与BEC中， BEFBEC （ASA） CE=FE=CF （全等三角形对应边相等） BAC=90° BECF （已知） BACCAF90° 1BDA90°1BFC90° BDABFC在ABD与ACF中 ABDACF （AAS）BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE（8）连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且ABDC

21、，ACBD，求证：AD。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有ABDC和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得AD。证明：连接BC，在ABC和DCB中 ABCDCB (SSS) AD (全等三角形对应边相等)（9）取线段中点构造全等三有形。例如：如图，ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由ABDC，AD，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有NBMNCM，所以NBCNCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中 ABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC 在NBM与NCM中