分布函数例题

1、0y0P(x)=I0 ,x0求YlnX的概率密度.9设随机变量 X 的概率密度为f2xe_x2t% AOXx)=i otxo求丫的概率密度。IX 设随机变量 X 在(o, 1)上服从均匀分布.求:(1)的概率密度；(2)K=-21nX 的概率密度*6.A(y)=F/(e0-e-,(-oOy+co)9 心(y) =y AO【例】设随机空駅的分和律 12PZJ0*30,50*3分布函数，并求 Plf3/2和 RlWg3/2打、解： 鮎满足丄的江恿宾数心J() = FW 砒=F 花=0 = 0.2对满足 12的任意实数谢F(x)=F花冬耐=P(许毋 += n = Q 751寸满足 2冬仿的任意实数箱

2、F()H F-Pe = 0 + P = 2 + 职工 2 “ 从而 ro,o”倒=02010.7,Ka72-10,8-0.6042pg寺卜F（寺） 卩心圈=歹（务）-如=0.7-山 7二 0VW 鲁卜严沪对=0+0.6-0.5设某随机变量右的分布函数为=a + &arctg试求常滋 u仆 sM由于歹仙）是分布函数.故 孕8）丸=前+（-耆） 歹（+ ） * 1 0 + 右（普）解之，得旦。即丑 S=市* arc tg as-ST将介绍连续型随机变量。我们要讨论的问题是相同的，但是它们的描述方法和使用助 数学工具却不相同，为此我们将给出密度函数和分布函数的概念。正态分布是概率论和数 理统

3、计中最重要的分布，无论在理论研究和实际应用中它都占有头等重要的地位连续型随机变量和密度函数概念【例】尹依$冬血=歹血）-更助）二血J410FS = i寺喀1,我们可找到函数0W22丢曲0 冬 0冬 203设子 3） 在点弗处连续，则刃）*34.设兀为随机变量的密度函数，对任意实数劝卷,/(x)例如:J J 30-心）5.连续型隧机变.就右个待雄】壬取任亜一个播之值“的抚率为 0,即列 Q 砒=0在这里，事件従-时并非是不可能事件，但有 f 乂近 这就是说，虽然不可能事件的概率为 6 但概率为 o 的事件不一 定是不可能事件，仍有可能发生。同理，必然事件的概率为為 但概率为 1的事件也不一定是必

4、然事件克对于连续型随机变量，如果已知分布函数或密度函数中的任一个，可求得另一 个函数。【例】0力0式中爲 5为未知常数。（1）求常数傀 D的值（刃求$的密度函数人尹 3）是连续函数，丑（Q）=E 可得 6=-1。所以曲分布函数性质，戸（+8，可知口二耳 又利用少 0虫 0设随机变量$的分布函0,-心）的密度函数爼【例】设 g的密度函数为C（3 + 2T,34 0,其它口求常数內（2）求的分布函数Fix）.（3）求 FlgM S.解:可得c = -jg 由密度函数求分布函数，注意到当密度函数是分段表示的函数时，分布函 数也要分段表示，当 2x4 时,所以 E 的分布函数为蛊心十 3-10，24R

5、4：厂Jg18c = l/（力）血=0血+/（3+2彩）血+子（亦）当 a; = 2PXAt = 2a9A =肚加例如，1,281552.我们有PX 1.281552 = 0.2.0 cfe? + 1査正态分布数值表有(N 58) =0.995,査正态分布数值表有0(2. 58)=6 995,y-2. 58,5* 16-例 8 某地抽样调査结果表明，考生的外语成绩(百分制)近 似服从正态分布，平均成绩为 72分，96分以上占考生总数的 2+3%，试求考生的外语成绩在 60分至 84分之间的概率.解 由题意知,考生外语成绩 XNW其中戸=72,又知 PX96= 0. 0231 一尸X 氢 96=

6、6 023,例题:例 7 若 X 表示随机变量，且 XN(5,4),求庄使所以Y；驾牛 0.023,:24叫977,査表知所以小结:在使用正态分布数值表时,有些实卧问题须利用表中函 数值去査找该分布的某个参数，才能求出PaXb的值.例 9在电源电压不超过 200伏、200240 伏和超过 240伏 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 01、0001和 0.2,禺设电源电压 X服从正态分布 N(220,25?)，试求(1该电子元件损坏的概率 s(Z)该电子元件损坏时，电源电压在 200240伏的概率卩.解(1设 4=电压不超过 200伏,局=电压在 200240伏,4尸电压超过 240伏,

7、元件损坏由题意知，电源电压为随机变蜀 X,服从正态分布 XN (220,250,事件与事件XW2O0等价，即4 = XW200,同理A2=200X240,0(2) = 0.977/13=240,所以有F(4)=PX200=国20220| =0(：O8)= 1Y(O8) = O212.例 11已知随机变量X的分布律为-2 -1求 X + l,2X-2,2；r + l 的分布律.须注意的是，求 Y3 = 2X? + 1的分布律时，由于在 x=-l 与,r-l 时人取值相同，所以应把概率尸(X= 1)与尸(X=l)合并刖得2疋十1的分布律为2X2+ 1139P121例 12假设随机变量 X 在区间(1,2上服从均匀分布，试求随机 变量y=”x 的概率密度打).解H(-CXD,+OC)是严格单调连续可导函数，值 域为 3 肿),反函数及1,1CX2；加(丁)=0，其它，由公式0;歹上 1可得31，其它.即专求y=x?0,o/ya)djr=