最新立体几何单元同步检测卷

1、立体几何单元同步检测卷（时间：120分钟，满分150分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1 .（若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交2 . 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱3 .在空间，下列命题正确的是 （）A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面a内的一条直线平行，则 m / aC.若平面a，&且aP 3= l,则过a内一点P与l垂直的直线垂直于平面 3D.若直线all b,且直线Ua,则Ub4 .平面a

2、截千O O的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面a的距离为寸2,则此球的体积为 （）A.V6tiB. 4、/3 兀C. 46兀D. 643 兀正视图5.某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（204A.6B.q33C. 6D. 46.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视 图为（）7,正方体ABCD A1B1C1D1中，与体对角线 AC1异面的棱有（）B. 4条D. 8条A. 3条C. 6条8 .如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几

3、何体的侧面积为（）兀A.4兀B.29 .如图，在正方体ABCD AiBiCiDi中，M, N分别是BCi, CDi的中点,则下列判断错误的是（）MN与CCi垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与AiBi平行10 .某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则此几何体的体积为A. i8 cm333C. i2 cmii.在正四面体A-BCD中，棱长为4,M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线 U平面ABC, lBC，面AMD ;Q点一定在直线与平面BCD交于点Q,给出下列命题: DM 上； Vc AMD = 4/2.其中正确的是（）B.A.C.D.12 .已

4、知矩形ABCD , AB=i, BC=>/2.将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中，（）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”,“ AB与CD ”，“ AD与BC”均不垂直二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为, .14 . P为 ABC所在平面外一点，且 PA、PB、PC两两垂直，则下列命题： PAXBC; PBLAC; PSAB; ABLBC.其中

5、正确的个数是.15 .已知正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱长都等于 6,且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于16 .如图，正方体 ABCD AiBiCiDi 的棱长为 1 ,点 M C AB，N C BC1，且AM=BNwW，有以下四个命题： AAi, MN; AiCi / MN ; MN /平面 AiBiCiDi； MN 与 AiCi 是异面直线.其中正确命题的序号是 .（注：把你认为正确命题的序号都 填上）、解答题（本大题有6小题，共70分）17 .（本小题满分10分）在直三棱柱 ABCAiBiCi中，AB=AAi,/ CAB =二 2.证明：CBi±BAi；（2）已

6、知AB=2, BC=<5,求三棱锥Ci ABAi的体积.18 .（本小题满分12分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a 的正方形，侧棱 PA，底面 ABCD,侧面PBC内有BELPC于E,且BE工=o a,试在 AB上找一点 F,使EF/平面 PAD.C319 .(本小题满分12分)如图，在三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底1面，Z ACB = 90 , AC=BC = 2aa1，D 是棱 AA1 的中点.(1)证明：平面BDCJ平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.20 .(本小题满分12分)如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中，底面

7、 A1B1C1D1是正方形，。是BD的中点，E是菱AA1上任意一点.(1)证明:BDXEC1；(2)如果 AB=2, AE=M2, OE± EC1,求 AA1的长.21 .(本小题满分 12分)如图，在四棱锥 S-ABCD中，ABXAD, AB/CD, CD = 3AB=3,平面 SAD,平面 ABCD, E 是线段 AD 上一点，AE = ED= V3, SE±AD.(1)证明：平面SBEL平面SEC;(2)若SE=1,求三棱锥 E SBC的高.22 .(本小题满分12分)在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，E为AD的 中点，F为BiCi的中点.(i)求证：AiF/

8、平面 ECCi；(2)在CD上是否存在一点 G,使BG，平面ECCi?若存在，请确 定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.立体几何单元同步检测卷答案（时间：120分钟，满分150分）、选择题体题共12小题，每小题5分，共60分）1 .（若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交解析：选D 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的 情况出现.2 . 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱解析：选D 球、正方体的三视图形状都相同，大小均

9、相等，首先排除C选项A和C.对于如图所示三棱锥 O ABC,当OA、OB、OC两两垂直且 OA石7月= OB=OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同.3 .在空间，下列命题正确的是 （）A.若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面a内的一条直线平行，则 m / aC.若平面a，&且aP 3= l,则过a内一点P与l垂直的直线垂直于平面 3D.若直线all b,且直线Ua,则Ub解析：选D 三条直线两两相交，可确定一个平面或三个平面，故 A错；m与平面a 内一条直线平行， m也可在a内，故B错；若平面

10、a, 3,且an 3= l,当PC时，过P点 与l垂直的直线可在 3外，也可在3内，故C错.由等角定理知 D正确.4 .平面a截千O。的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面a的距离为血，则此球的体积为（）A.V6tiB. 4、/3兀C. 4加氏D. 6如氏解析：选B设球的半径为R,由球的截面性质得 R= -2彳 12= 3,所以球的体积 丫=3卡3=4/兀.侧视图5 .某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）C. 6D. 4解析：选A 由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的上

11、底面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积是23 1x 22x 1=20233.6.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）B.解析：选B 由三视图的相关知识易知选7,正方体 ABCD AiBiCiDi中，与体对角线ACi异面的棱有（）A. 3条B. 4条C. 6条D. 8条解析：选C 从定义出发，同时考虑到正方体的体对角线 ACi与正方体的6条棱有公共点A和Ci,而正方体有12条棱，所以与 ACi异面的棱有6条.8.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为i的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（A 兀A.4B.2C-2.5C. 2解析：选B此

12、几何体是底面半径为2,母线长为i的圆锥,9.如图，在正方体ABCD -AiBiCiDi中，M, N分别是BCi, CDi的中点,则下列判断错误的是（）MN与CCi垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与AiBi平行MN与AiBi是异解析：选D 由于CiDi与AiBi平行，MN与CiDi是异面直线，所以 面直线，故选项 D错误.i0.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则此几何体的体积为（）A. 18 cm33C. 12 cm解析：选B合体.如图所示,=15（cm3）.11.在正四面体正视图B. 15储期图3 cm由三视图可知，该几何体是一个上下均为长方体的组由图中数据可得该几何体

13、体积为ABCD中，棱长为4,3X3X1+1X2X3M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线 U平面ABC, l 与平面BCD交于点Q,给出下列命题:BC，面AMD ;Q点一定在直线DM上；Vc-AMD =4N其中正确的是（）A.B.C.D.解析：选A ABCD是正四面体，M为BC中点，AMBC, DMBC,且AM A DM=M ,BCL面 AMD.，正确.1 一Vc amd - qS amd CM （ BC，面 AMD，CM 为四面体 C AMD 的局）. 3如图，在 AMD 中，AM = DM =4AB2BM2 =42-22 =273, MN = "AM

14、2AN2 =“1222 = 272,11 Samd = 2AD MN = 2 X 4X 2y2= 4j/2,VC-AMD=4也X 2 =驾2,故不正确.由排除法知选33A.12,已知矩形 ABCD, AB= 1, BC=M2.将 ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中，（）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC 与 BD”“ AD与BC”均不垂直解析：选B 对于ABLCD,因为BCXCD,可得CD,平面ACB,因此有CDLAC.因 为AB=1, BC=y

15、2, CD = 1,所以AC = 1,所以存在某个位置，使得 ABXCD.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为.解析：由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2,高为的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长.所以长方体的 表面积为 S1 = 2X2X2+4X2X4=40,长方体的体积为 V1=2X2X 4=16,球的表面积和体积分别为 S2= 4X兀X 12 = 4兀，43 4 %V2=3X TtX 1 =,故该几何体的表面积为S= S1 + S2= 40+ 4 Tt, 4兀该几何体白体积为 V = V+ V

16、= 16+彳.3、4兀答案：40+4兀16+可314 . P为 ABC所在平面外一点，且 PA、PB、PC两两垂直，则下列命题： PAXBC;PBXAC; PCLAB; ABLBC.其中正确的个数是.解析：如图所示. PAXPC, PAXPB, PCnPB = P,PAL平面 PBC.又 BC?平面 PBC, FAXBC.同理PBAC, PCXABXH AB不一定垂直于 BC.共3个.答案：315 .已知正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都等于 6,且各顶点都在同 一球面上，则此球的表面积等于 .解析：如图，三棱柱的外接球球心为O,其中D为上底面三角形外接圆的圆心，其中 AD = W3&q

17、uot;X 6 = 273,又 OD=3,故在 RtAOAD 中可得R= |OA|=，（2V3 2+32 =寸21,故球的表面积为 4兀G2i）2= 84兀.答案：84兀16 .如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 ,点 M C AB，N C BC1，且AM=BNw2,有以下四个命题：AAJ MN; A1cl / MN ; MN /平面 A1B1clD1； MN 与 A1cl是异面直线.其中正确命题的序号是.（注：把你认为正确命题的序号都填上）解析：过N作NPXBBi于点P,连接 MP,可证 AA平面 MNP ,二. AA，MN ,正 确；过M、N分别作 MRLA1B1、NS

18、，B1C1于点R、S,则当M不是AB1的中点，N不是BC1 的中点时，直线 AiCi与直线RS相交；当M、N分别是ABi、BC1的中点时，A©/ RS, AiCi与MN可以异面，也可以平行，故错误.由正确知，AAi,平面 MNP,而AAi，平面AiBiCiDi,，平面MNP/平面AiBiCiDi,故对.综上所述，其中正确命题的序号 是.答案： 三、解答题（本大题有6小题，共70分）17 .（本小题满分i0分）在直三棱柱 ABCAiBiCi中，AB = AAi, ,兀/ CAB = 一2.证明：CBi±BAi；（2）已知AB=2, BC= V5,求三棱锥 Ci ABAi的体积

19、.解：（i）证明：如图所示，连接 ABi, ABCAiBiCi是直三棱柱,/ CAB = 2t, AC，平面 ABB1A1，故 AC± BAi.又AB=AA1，.四边形 ABB1Al是正方形，BAJAB 又 CAP AB1= A,BA/平面 CAB1 ,故 CB/BA1.（2） AB= AAi = 2，BC = 515,AC= AiCi= 1,由（1）知，AiC平面ABAi,VCi - ABAi =/$ ABAi AiCi=、X 2X 1 =1.33318.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a 的正方形，侧棱 PA，底面 ABCD,侧面PBC内有BELPC于

20、E,且BE6= a,试在AB上找一点F,使EF/平面PAD.3解：在平面 PCD内，过 E作EG/ CD交PD于G,连接 AG,在AB上取点F,使AF=EG,则F即为所求作的点. EG/ CD /AF, EG = AF,四边形FEGA为平行四边形,FE / AG.又AG?平面PAD,FE?平面 PAD,.EF/平面 PAD.又在RtABCE中，CE=BC2-BE2-a la - 2-乌一；a 3a 3 a在 RtPBC 中，BC2=CECP,2CP= a = /3a, ,3aT又出=PE 乂 CD PC'1- EG= pE CD = 2a, PC 3AF= EG = |a. 3点F为A

21、B靠近点B的一个三等分点.19 .（本小题满分12分）如图，在三棱柱 ABC AiBiCi中，侧棱垂直底G二翔面，/ACB = 90°, AC=BC = 2AAi, D 是AA1的中点.当有证明：平面BDCJ平面BDC;/ !（2）平面BDCi分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.”卜L 解：（i）证明：由题设知 BCXCCi, BCXAC, CCiAAC=C,所以BCL平面 ACCiAi.又 DC1？平面 ACC1A1，所以 DC1，BC.由题设知/ A1DC1=/ ADC = 45°,所以/ CDC1=90°,即 DC1LDC.又 DC n BC = C,所以

22、DCi，平面BDC.又DCi?平面BDCi,故平面 BDCi,平面BDC.（2）设棱锥BDACCi的体积为Vi, AC=1.由题意得1Vi = -X3又三棱柱ABC AiBiCi的体积V=1,所以（VV1） : V1= 1 ： 1.故平面BDCi分此棱柱所得两部分体积的比为1 ： 1.20 .（本小题满分12分）如图，长方体 ABCD AiBiCiDi中，底面AiBiCiDi 是正方形，。是BD的中点，E是菱AAi上任意一点.（1）证明:BDXECi；（2）如果 AB=2, AE=2, OE± ECi,求 AAi 的长.解：（1）证明：连接AC, AiCi.由底面是正方形知，BDXA

23、C.幺匕一,不因为AAi，平面 ABCD, BD?平面ABCD ,所以 AAiXBD.又 AAiAAC=A,所以 BDL平面 AAiCiC.由 ECi?平面 AAiCiC 知，BDXECi.（2）法一：设AAi的长为h,连接OCi.在 RtOAE 中，AE = 72, AO = 72,故 OE2=®2）2+（W）2=4.故 RtEAiCi 中，AiE= h-2,AiCi = 22,故 EC2=（h 山）2+（2山）2.在 RtOCCi 中，OC =皿，CCi = h, OC2 = h2 +（V2）2 因为 oeeci,所以 oe2+ec2=oc2,即4+ （h- +）2+ （2卡）2

24、= h2+ （小）2 ,解得h=3*,所以AAi的长为3版法二：OE ± ECI,Z AEO+ Z Ai ec1 = 90°.又.一/ AiCiE+Z AiECi=90°, AEO = Z AiCiE.又. / OAE = / CiAiE=90°,. OAEA EAiCi,AE AO 2.2 八-即=旌， - AiE = 2>/2,AiCi AiE2,2 AiE'.AAi= AE+AiE = 3V2.2i.（本小题满分 i2分）如图，在四棱锥 S-ABCD中，ABXAD, AB/CD, CD = 3AB=3,平面 SAD,平面 ABCD,

25、E 是线段 AD 上一点，AE = ED= V3, SEX AD.证明：平面SBEL平面SEC;（2）若SE=i,求三棱锥 E SBC的高.解：（i）证明：二.平面SAD,平面 ABCD且平面SADA平面ABCD =AD,SE?平面SAD,SEX AD,.SEL平面 ABCD. BE?平面 ABCD ,.SE，BE. ABXAD, AB/ CD, CD = 3AB=3, AE=ED = >/3, ./ AEB = 30°, / CED=60°. ./ BEC=90°,即 BEXCE.又 SEA CE=E,BE，平面 SEC, BE?平面 SBE, 平面SBEL平面 SEC.(2)如图，过点 E作EFBC于点F,连接SF.由(1)知S