第四章风险资产的定价

1、第四章 风险资产的定价第四章第四章 风险资产的定价风险资产的定价第一节第一节 有效集和最优投资组合有效集和最优投资组合第二节第二节 无风险借贷对有效集的影响无风险借贷对有效集的影响第三节第三节 资本资产定价模型资本资产定价模型第四节第四节 套利定价模型套利定价模型第四章风险资产的定价第一节第一节 有效集和最优投资组合有效集和最优投资组合一、可行集一、可行集二、有效集二、有效集三、最优投资组合三、最优投资组合 返返 回回第四章风险资产的定价一、可行集一、可行集 可行集（Feasible Set）指由N种证券所形成的所有组合的集合，包括了现实生活中所有可能的组合，即所有可能的组合都位于可行集的内部

2、或边界上。 可行集的形状为伞形，如下图所示： B H N A O 返返 回回第四章风险资产的定价二、有效集二、有效集 有效集的定义。理性投资者是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集。 2、有效集的位置。上图中的弧线段NB。称为马柯维茨有效边界。第四章风险资产的定价二、有效集二、有效集 有效集的形状。有效集曲线特征： 是一条向右上方倾斜的曲线； 是一条向上凸的曲线； 曲线上不可能有凹陷的地方。 返返 回回第四章风险资产的定价三、最优投资组合三、最优投资组合

3、有效集向上凸的特征和无差异曲线下凸的特征决定了有效集和无差异曲线的切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。PRp 返返 回回第四章风险资产的定价第二节第二节 无风险借贷对有效集的无风险借贷对有效集的影响影响 返返 回回一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响二、无风险借款对有效集的影响二、无风险借款对有效集的影响三、无风险借贷对有效集的影响三、无风险借贷对有效集的影响第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响 无风险贷款相当于投资于无风险资产，其收益是确定的。在单一投资的情况下，这意味着如果投资者在期初投资购买了一种无风险资产，他将准确地知

4、道这笔资产在期末的价值。 显然，无风险资产的标准差为零，与风险资产收益率之间的协方差为零。第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响 投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形。资资 产产投资投资比重比重预预 期期收益率收益率标准差标准差协方差协方差风险资产（B）X1112无风险资产（A）X221R2RRXRXRP2211第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响由P = X11 ， X1+X2=1，得： X1=P/1 ，X2=1-P/1将X1、X2带入上式，得：=+P（）/1PR2R1R2R上式为一线形函数，（ - ）/1为单

5、位风险报酬。如下图所示： 2R1R第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响图中，A点表示无风险资产，B点表示风险资产。由风险资产和无风险资产构成的投资组合一定在A、B线段上。ABPPR第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响 投资于一种无风险资产和一个风险资产组合的情况。设投资者投资于风险资产组合B和无风险资产A，且B由C和D组成。则B一定位于弧线CD上。PRABPCD第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响 可见，由风险资产组合和无风险资产构成的投资组合，其预期收益率和标准差也一定落在

6、线段AB上。第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响 允许无风险贷款下的有效集： 图中，A为无风险资产，CD为马柯维茨有效集，T为直线AT与弧线CD的切点。新的有效集将是线段AT和弧线TD。 其中：T点应是从A出发的弧线CD切线的切点，T点处的投资组合称为切点处的组合。PRATPCD第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集的影响一、无风险贷款对有效集的影响 允许无风险贷款下的最优投资组合： 投资者最优投资组合同样是其无差异曲线和有效集的切点。 对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。第四章风险资产的定价一、无风险贷款对有效集

7、的影响一、无风险贷款对有效集的影响 对于风险厌恶程度较低者，仍在弧线DT上，即不投资于无风险资产。因为他们无差异曲线的斜率较小； 对于风险厌恶程度较高者，将位于无差异曲线与线段AT的切点处。这意味着他们将把部分资产投资于无风险资产，而把另一部分资产投资于风险资产。 返返 回回第四章风险资产的定价二、无风险借款对有效集的影响二、无风险借款对有效集的影响 把无风险借款看着负投资。其情况类似于无风险贷款，但X20。 投资者可通过无风险借款并投资于风险资产或风险资产组合T，使有效集由弧线XTD变为过A、T点的线段在T点的右边部分及弧线CT。DPRABPCPRATPCD第四章风险资产的定价二、无风险借款

8、对有效集的影响二、无风险借款对有效集的影响 对于风险厌恶程度较低者，为直线AT从T开始的延长线与其无差异曲线的切点，他将进行无风险借款并投资于风险资产； 对于风险厌恶程度较高者，投资组合将不受影响，即他不会进行无风险借款，而将用自有资产投资于风险资产。 返返 回回第四章风险资产的定价三、无风险借贷对有效集的影响三、无风险借贷对有效集的影响 在允许无风险借贷的情况下，有效集将变为一条直线（ CML ），称为线性有效集。该直线经过无风险资产 A 点并与马柯维茨有效集相切，投资者的投资组合选择也因此而发生变化。PPRATCD 返返 回回第四章风险资产的定价第三节第三节 资本资产定价模型资本资产定价模

9、型一、基本假定一、基本假定二、资本市场线二、资本市场线三、证券市场线三、证券市场线四、市场模型和四、市场模型和值的估计值的估计 返返 回回第四章风险资产的定价一、基本假定一、基本假定 投资者通过投资组合在单一投资期内的预期收益率和标准差来评价这些投资组合； 投资者永不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高收益率的那种； 投资者是厌恶风险的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那种； 每种资产都是无限可分的；第四章风险资产的定价一、基本假定一、基本假定 投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金； 不考虑税收和交易费用； 所有投资者的投资期限均相同； 对于所

10、有投资者来说，无风险利率相同； 对于所有投资者来说，信息都是免费并可立即获得的； 投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。第四章风险资产的定价一、基本假定一、基本假定 由上述假定可得出以下结论： 每个投资者的切点处投资组合都是相同的，从而每个投资者的线性有效集都是一样的； 由于投资者风险收益偏好不同，其无差异曲线的斜率不同，因此他们的最优投资组合也不同，但风险资产的构成相同。第四章风险资产的定价一、基本假定一、基本假定 根据这些结论导出分离定理：投资者对风险和收益的偏好状况与该投资者风险资产组合的最优构成无关。 市场组合：根据分离定理可得出结论：在均衡状态下，每种证券在均衡

11、点处投资组合中都有一个非零的比例。这表明，在均衡时，切点处投资组合中各证券的构成比例等于市场组合中各种证券的构成比例。习惯上，人们将切点处组合称为市场组合。 返返 回回第四章风险资产的定价二、资本市场线二、资本市场线 证券市场的均衡可用两个指标来表示：无风险利率和单位风险报酬，它们分别代表时间报酬和风险报酬。因此，从本质上说，证券市场提供了时间和风险进行交易的场所，其价格由供求双方的力量决定。PMfMfPRRRR第四章风险资产的定价二、资本市场线二、资本市场线 上式为一条直线(Capital Market Line,CML)，即为允许无无风险借贷情况下的线性有效集。PPRRfM 返返 回回第四

12、章风险资产的定价三、证券市场线三、证券市场线 有效证券都在资本市场线的上，非有效组合都在资本市场线的下方。任何单个证券均不是有效组合。因此，资本市场线不能说明单个证券的预期收益率和标准差之间应存在的关系。第四章风险资产的定价三、证券市场线三、证券市场线 在均衡状态下，单个证券风险和收益的关系应为： 或：iMMfMfiRRRR2iMfMfiRRRR)(第四章风险资产的定价三、证券市场线三、证券市场线 上式即为证券市场线（Security Market Line）。证券市场线反映了在不同的值水平上，各种证券及证券组合应有的预期收益率水平，从而反映了各种证券及证券组合的系统性风险与预期收益率之间的均

13、衡关系。 无论是有效组合，还是无效组合都在证券市场线上。第四章风险资产的定价三、证券市场线三、证券市场线 由于预期收益率与证券价格成反比关系，所以，证券市场线实际上给出了风险资产的定价公式。 返返 回回第四章风险资产的定价四、市场模型和四、市场模型和值的估计值的估计 系数表示证券 i 与市场组合协方差。一个证券组合的值等于该组合中各种证券值的加权平均，权数为各种证券在该组合中所占的比例。 在资本资产定价模型中，值的数据要建立在历史数据分析的基础上，值可通过市场模型计算：imiiiRR第四章风险资产的定价四、市场模型和四、市场模型和值的估计值的估计 其中，Ri为证券的实际收益率，ai为证券非系统

14、性风险的平均值，i为证券收益率变化对市场指数收益率变化的敏感度指数，i为随机误差，其期望值为零。 在西方资本市场上，有很多服务机构提供交易活跃的公司股票的值资料。 返返 回回第四章风险资产的定价第四节第四节 套利定价模型套利定价模型 1976年，斯蒂芬罗斯（Stephen Ross）利用套利定价原理，提出了套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory，简称APT），从另一个角度探讨了风险资产的定价问题。与夏普的CAPM相比，APT 的假设条件少多了，因此使用起来较为方便。第四章风险资产的定价第四节第四节 套利定价模型套利定价模型一、因素模型一、因素模型二、套利组合二、套利组合

15、三、套利定价模型三、套利定价模型 返返 回回第四章风险资产的定价一、因素模型 套利定价理论认为，证券收益是跟某些因素相关的。 因素模型认为各种证券的收益率均受某个或某几个共同因素影响。各种证券收益率之所以相关主要是因为他们都会对这些共同的因素起反应。 因素模型的主要目的就是找出这些因素并确定证券收益率对这些因素变动的敏感度。第四章风险资产的定价一、因素模型（一）单因素模型 单因素模型认为，证券收益率只受一种因素的影响。 对于任意的证券 i，其在t时刻的单因素模型表达式为： 因素模型认为，随机变量与因素是不相关的，且两种证券的随机变量之间也是不相关的。 ittiiitFbar第四章风险资产的定价

16、一、因素模型一、因素模型（二）两因素模型 两因素模型认为，证券收益率取决于两个因素：（三）多因素模型 多因素模型认为，证券i 的收益率取决于K个因素：ittitiiitFbFbar22111122itiititikktitrab Fb Fb F第四章风险资产的定价一、因素模型一、因素模型 与资本资产定价模型不同，因素模型不是资产定价的均衡模型。 在实际运用中，人们通常通过理论分析确定影响证券收益率的各种因素，然后，根据历史数据，运用时间序列法、跨部门法、因素分析法等实证方法估计出因素模型。 如两因素模型的使用：2211FbFbariiii 返返 回回第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合

17、 根据套利定价理论，在不增加风险的情况下，投资者将利用组建套利组合的机会来增加其现有投资组合的预期收益率。 套利组合要满足三个条件 ： 条件1：套利组合要求投资者不追加资金, 即套利组合属于自融资组合。 条件2：套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险。 条件3：套利组合的预期收益率应大于零 。第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合 Xi表示投资者持有证券i 金额的比例的变化，从而也代表证券 i在套利组合中的权重，根据套利组合条件一有： 证券组合对某个因素的敏感度等于该组合中各种证券对该因素敏感度的加权平均数。 根据组合条件二，对单因素模型有：1230nxxxx02211n

18、nxbxbxb第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合 根据组合条件一，对两因素模型有：01212111nnxbxbxb02222121nnxbxbxb第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合 根据条件二，对多因素模型则有： 根据组合条件三，有：01212111nnxbxbxb02222121nnxbxbxb02211nknkkxbxbxb1 12 20n nx rx rx r第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合 例：某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的市值均为500万，投资组合的总价值为1500万元。假定这三种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为16%、20

19、%和13%，其对该因素的敏感度分别为0.9、3.1和1.9。该投资者应如何修改其投资组合，以便在不增加风险的情况下 提高预期收益率？ 第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合 令三种股票市值比重变化量分别为X1、X2和X3 ，可得： 其中一个解为： X1=0.1，X2=0.083，X3=0.183 该组合的预期收益率为： 0.10.16+0.0830.20.1830.13=0.881%1230 xxx1230.93.11.90 xxx第四章风险资产的定价二、套利组合二、套利组合 0.1831500万元= 274.5万元 0.11500万元= 150万元 0.0831500万元= 124.5

20、万元 以上求解的结果说明，如果卖出274.5万元的第三种股票，买入150万元第一种股票和124.5万元的第二种股票，就能使投资组合的预期收益率提高0.881%。 该投资者无须追加投资。 返返 回回第四章风险资产的定价三、套利定价模型三、套利定价模型 投资者是在买入收益率偏高的证券的同时卖出收益率偏低的证券进行套利的。 套利的结果是使收益率偏高的证券价格上升，其收益率将相应回落；同时使收益率偏低的证券价格下降，其收益率相应回升。 这一过程将一直持续到各种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏感度保持适当的关系为止，此时套利组合的预期收益率应等于零（也不会小于零）。第四章风险资产的定价三、套利定价模型

21、三、套利定价模型（一）单因素模型的定价公式（一）单因素模型的定价公式 根据套利组合的定义，套利者无需投资，也没有风险。 套利活动的目标是使其套利组合预期收益率最大化。套利组合的预期收益率为 ： 根据拉格朗日定理 ，有：1 12 2pn nrx rx rx r1 12201211 122()()()nnnnnMaxLx rx rx rxxxb xb xb x第四章风险资产的定价三、套利定价模型三、套利定价模型 套利活动应符合套利组合条件一和条件二。 由此，成为一个求最优解的问题。目标函数为： 约束条件为：1 12201211 122()()()nnnnnMaxLx rx rx rxxxb xb xb x1230nxxxx02211nnxbxbxb第四章风险资产的定价三、套利定价模型三、套利定价模型 对上述问题求解后得，在均衡状态下： 上式中 为常数。这就是单因素模型APT