数学错解的主要类型及例析

1、数学错解的主要类型及例析孙建克数学错解的主要类型及例析北白象镇中学 孙建克【内容提要】解数学题时，如果概念、定义理解不清；定理、公式、法则不注意它的适用范围；方法、技巧不考虑它的使用条件，那么在解题中就必定要出现判断错误，就会产生数学错解。本文通过阐明产生数学错解的原因及相关的典型例题分析，得出数学错解的主要七大类型。旨在帮助同学们总结经验教训，防止今后再发生类似错误。【关键词语】数学解题 数学错解 错解原因 错解类型 错解例题学习数学必须解题。当今著名的数学家、教育家G波利亚指出：掌握数学就是意味着解题。解答数学问题离不开概念、定义、定理、公式、法则以及方法、技巧等等，如果概念、定义理解不清

2、；定理、公式、法则不注意它的适用范围；方法、技巧不考虑它的使用条件，那么在解题中就必定要出现判断错误。这实际上就是违背了数学学科的“科学性、严密性和完整性”。因此从广义上理解凡是违背此“三性”的解题过程及结果统称为数学题的错解，简称数学错解（本文简称“错解”）。学习数学的过程中，出现一些解题失误是不可避免的。常言说：“失败乃成功之母”，“错误往往是正确的先导”，对同学们来说，重要的是如何正确对待自己的失误。一道题做错了，首先要认真分析错在哪里，其次要反省自己为什么会出现这种错误，从中找出原因，吸取教训，防止今后再发生类似错误。下面结合本人的教学实践和经验从七方面论述错解原因、错解例题和错解类型

3、，以供同学们参考。一、模糊数学概念产生错解中学数学教学大纲中指出：“正确理解数学概念是掌握基础知识的前提”这表明了数学概念在学习中的重要性。然而，不少同学对此认识不足，认为基本概念单调乏味没什么好学的，因此学习时不求甚解轻易放过。这样势必造成对某些概念只知其表不知其里；只重形式，不重实质；摸棱两可，似是而非。正是如此而在解题中常常暴露出这样那样的差错。下面的例子可以说明问题。例 1 为何值时，分式的值是正整数。错解 要使分式的值是正整数，只要它的分母的值为、即可。当时，求得，；当时，求得；当时，求得，。所以，只当分别取，等实数时，分式的值是正整数。分析 取代入原分式中，得出该分式的值为就是正整

4、数。这说明原解答不完整，还有遗漏。其失误原因在于混淆“整数整除”与“两个实数相除得整数”这两个概念。原题并没有要求分母是整数，因此，只要令（是自然数）再求出的值就完整了。正解 令（是任意自然数） 则解得，（）所以，当（）时，原分式的值是正整数。二、混淆充要条件产生错解一道数学题一般地可分为题设和结论两部分，解题常从两方面考虑：一是从已知条件出发，结合学过的定义、定理、公式、法则等基础知识，通过演算和推理得到结论；另一方面也可以从结论出发逆推至题设条件。不论从已知出发还是从结论出发，在进行推理、演算过程中，必须时刻留心每一步的依据是什么，理由是否充分或必要，尤其逆推时要注意步步可逆，即注意条件的

5、充要性。倘若在推理过程中忽视或混淆了条件所允许的范围，这就可能造成失误。比如下面的例题就可以说明此问题。例 2 已知，求的值。错解 由已知可得是方程的两个根。所以，由韦达定理知：，于是，分析 方程的判别式的值是，故它有两相异实根。若，是该方程的两个根，则除了有，成立外，还有这个隐含条件。因为已知条件中没有告诉我们，所以“，”仅仅是“，是方程的两个根”的必要条件而不是充分条件。上述解答中将必要条件当做充分条件使用，结果无形中缩小了已知条件中，所能允许的取值范围，从而导致其结论不完整。正解 （1）当时，结合已知条件可知，是方程的两个根。所以，由韦达定理知：，。于是，（2）当时，。（3）当时，三、忽

6、视隐含条件产生错解有些数学题目除了给出的明显条件外，常常在题设或题断的字里行间或式子中隐藏着某些事实，我们称这样的暗藏事实为隐含条件。隐含条件在解题中容易被忽视，其后果轻则得出结论有漏洞，重则面目全非。数学题目中的隐含条件的反映形式是多种多样的，通常可以从概念定义中的某些特殊规定、公式定理法则和性质中的某些特定限制、题目的结构特征和数字图形特征等四个方面来挖掘。例3就是忽视概念定义中的隐含条件而产生错解的。例 3 将中根号外的因式移至根号内。错解 。分析 上述错解误把当做非负因式移到根号内。实际上本题中包含着两个隐含条件：“二次根号下的被开方式为非负数”和“分式的分母不为零”，故有得，应先将变

7、为，再将正因式移到根号内。正解 ，。因此，。四、遗漏添加条件产生错解有些同学在解题时不考虑题给条件是否都用上了或者不考虑所用条件是否都是题目中给定的（含隐含条件），表现在解题时常常遗漏某个条件限制或随意地凭主观想象外加一些条件，其后果必然是出现偏差甚至答案完全错误。请看例4和例5。例 4 非负数，适合关系式，求的最小值。错解 令，则，。设，则。所以当时，。分析 题目中给的，是非负数这个条件在解题中被遗漏，因此的取值范围被扩大化，造成结论完全错误。正解 当得出时，应继续讨论的取值范围。因为，都是非负数，所以。因此，当时，（此时）例 5 取什么实数时，方程有实数根？错解 要使方程有实数根，必须解之

8、，得或。所以，当或时，原方程有实数根。分析 题设中并没有说方程是一元二次方程，而上述解答中却添加了“原方程是二次方程”这个条件，因此得到不完整的结论。正解 分两步讨论。当原方程为二次方程时，要使它有实根，可推出或；当时，原方程化为，显然它有实根。综上所述，当时，原方程有实数根。五、乱套公式定理产生错解解一道数学题常常要用上某些公式和定理，因为每一个公式、定理都只在一定条件下成立的，它们的适用范围是有条件限制的。如果运用它们解题时不顾及该公式、定理的条件和适用范围，而是机械地套用，其结果往往是貌合神离，发生差错。例 6 若，求的值。错解 （等比定理）分析 等比定理的条件之一是若干相等的比的后项和

9、不能为零。运用等比定理解题时，如果忽视这个条件，十有八九要出差错，上述解法就犯此病。正解 当时，依等比定理可求得。当时，由已知条件知，都不为，此时可得：。此时。综上所述，或。六、错犯以偏概全产生错解某些数学题的题设条件包含着多种不同的情况。如果是证明题，必须证明在题设条件的所有可能的情况下，命题的结论都成立；如果是计算求解题，必须考虑在题设条件的所有各种可能的情况下进行求解。倘若只考虑题设条件中的某些特殊情况下进行论证或计算求解，那么从逻辑上看，就是犯了“以偏概全”的错误。例 7 从圆的直径的一端引两弦、，过点引这圆的切线和直线，分别交于，点。求证：错解 如图7-1，连结，。因为是的直径，。又

10、因为是的切线，。因此，、四点共圆。所以。（证毕）分析 由题设“从圆的直径的一端引两弦、”可有如下两种情形：其一，分居于的两侧，如图7-1；其二，位于的同侧，如图7-2。上述证明只证其一，而且其理由还不完全适用于第二种情形。因此，上述证明犯了“以偏概全”的错误。正解 可采用分情形分别证之，而后综述结论正确。下面给出两种情形的一致证明方法，可省去一些麻烦。如图7-1和图7-2，连结，。因为是的直径，。又切于，。所以是斜边上的高。于是有。同理有。故、四点共圆。所以七、引用循环论证产生错解在推理论证过程中，如果直接或间接地利用要证明的结论作为推理论证的前提，这样的证明方法在逻辑上称为“循环论证”。循环

11、论证常常表现为以待证命题自身或者它的等价命题为依据来证明待证命题。例 8 已知：在中，。求证：错解 如图8-1，或。，分析 上述证明的第一步就已承认了为，其实就已用上作为推理的依据。这是明显地用待证结论作为依据去推理论证待证结论，犯了循环论证的错误。正解 如图8-2，。作，边交于，则。，。故。于是， 为等边三角形。，。以上介绍了七种常见的解题毛病，应当指出它们之间并非严格的划分，从不同的角度审视，可能会得出不同的错解类型。比如是同一种错解，既可以划入“乱套公式定理”类型又可划入“混淆充要条件”类型，或者还可划入其它类型，甚至更多类型等等。此外，同学们在解题中还可能犯其它毛病。比如“审题马虎，歪曲题意”“某字某词理解错误”“忽视某种特例”等等引出差错，这里不一一例举。学习数学，解题是中心。在解决大量的数学问题中，要做到完全不出差错是不可能的。但是，要求自己尽量避免出现差错却是共同的愿望。怎样才能在解题过程中少出差错呢？借鉴一些经验教训是很好的学习捷径！以上提到的七种错解类型，希望能起到抛砖引玉的作用，对同学们能有所帮助。因为对错解的分析中，可以使同学们从另一个侧面加深对知识的理解和运用，提高思维的批判性，培养严谨的治学精神。在解数学题目时尽量不要再犯此七类错