指数函数的图像及性质

1、指数函数 指数函数与对数函数的图象所经过的定点指数函数与对数函数的图象所经过的定点1.不论不论a(a0且且a1)取何实数，函数取何实数，函数yax34的图象都经的图象都经过的一个定点是过的一个定点是()A(3，4) B(3，5)C(3，5) D(3，4)点评：点评：(1)因为因为yax(a0且且a1)的图象经过定点的图象经过定点(0，1)，根，根据图象的平移可知，函数的图象据图象的平移可知，函数的图象yaxmn经过定点经过定点(m，1n)(2)因为因为ylogax(a0且且a1)的图象经过定点的图象经过定点(1，0)，根据图，根据图象的平移可知，函数象的平移可知，函数yloga(xm)n的图象

2、经过定点的图象经过定点(m1，n)考点探究解析：解析：yax图象经过定点图象经过定点(0，1)，将将yax的图象向右平移的图象向右平移3个单位长度个单位长度，得到函数得到函数yax3的图象的图象，则定点则定点(0，1)平移到了平移到了定点定点(3，1)，再将再将yax3的图象向上平移的图象向上平移4个单位长度得到函数个单位长度得到函数yax34的图象的图象，则定点则定点(3，1)平移到了定点平移到了定点(3，5)故选故选B.答案：答案：B1.(1)右图是指数函数：(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abc

3、dDab1dc指数函数图象特征及单调性的应用指数函数图象特征及单调性的应用感悟高考B考点探究点评：点评：(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象到其图象(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象和性质数形结合求解相应的指数型函数图象和性质数形结合求解 1(01)24 ( 2)1 201| . 2xxf xaaafaffxayax设函数=且，若= ，则 =，与的大小关系是；函数 =的图象的大致形状

4、是素材 |2|212| |2441( )22 |0 0.| 12 0001001(012( 2)2221xxxxxxfaf xx xxaxxayxaxxaxyaaxaxffR由，得，所以，函数的定义域为，且当时，函数是一个指数函数，其底数满足，所以函数递减解析： ，；当时，函数的图象与的图象的部分 关于轴对称D.，呈递增趋势，应选所以 4.已知函数已知函数 (1)(1)作出图象；作出图象； (2)(2)由图象指出其单调区间；由图象指出其单调区间； (3)(3)由图象指出当由图象指出当x x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值. . 思维启迪思维启迪 化去绝对值符号化去绝对值符号将函数写成分

5、段函数的形式将函数写成分段函数的形式作图象作图象写出单调区间写出单调区间写出写出x x的取值的取值.)31(| 1| xy解解 （1 1）由已知可得）由已知可得其图象由两部分组成：其图象由两部分组成：一部分是：一部分是： 另一部分是：另一部分是：y y=3=3x x ( (x x0) 0) y y=3=3x x+1+1 ( (x x-1). 0,0,且且a a 1) 1)的图象有两个公共点的图象有两个公共点, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 数形结合数形结合. . 当当a a11时，如图时，如图, ,只有一个公共点，不符合题意只有一个公共点，不符合题意. . 当当00a

6、 a11时，如图时，如图, ,由图象知由图象知0202a a1,1,)21, 0(.210a设设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定，则下列关系式中一定成立的是：成立的是： A 3b3a B.3c3b C.3c3a2 D.3c3a2 用函数的图象比较大小用函数的图象比较大小.【解析】【解析】画出画出f(x)|3x1|的图象如下图：的图象如下图：要使要使cbf(a)f(b)成立，则有成立，则有c0.由由y3x的图象可得的图象可得03c1f(a)，13c3a1，即，即3c3a2.【答案】【答案】D求与指数函数有关的函数的定义域与值域 求下列函数的定义域和值域：(1) y(

7、)2xx2；(2)y9x23x1.思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2)12点评：本题求函数值域时，采用了逐步求解的方法，(2)利用了换元法一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域A，再由函数的定义域A求出内函数的值域B，然后以内函数的值域B作为外函数的定义域求出原函数的值域，如(2)是由函数yt22t1和函数t3x复合而成，先求得原函数的定义域为R，再由xR得t0，然后由t0得到函数值域为y|y1若(2)中的x1，你还能求出它的值域吗？43 231,7(01,2()A BC DxxyA

8、BABABABBAAB 若函数 的定义域为集合 ，值域为，集合，则集合 与集合 的关系为 “1,7.1,7AxA上述解法中错误地把定义域 理解为所有使函数值属于区间的 的取值集合”事实上，题中定义域 ，只要能使函数值取遍区错解间内的分析： 数即可2(01,2331,222,443 23 (2)24171,7BC1,7A.DxxxxBAyyAB因为 ，当 时， ，则，即此时值域为，故 、 不正确而 时，值域也为，故 不正正解： 故正确答案为确2223 24043 237,43 23123 220124224021.22212120(01,2(01,B.2xxxxxxxxxxxxxxyxxABxA

9、依题意有即，所以，所以或或由 的单调性可知或，即 ，所以 ，解，：所以，选考点探究4(1)设设0aax22x5的的解集是解集是_(2)若函数若函数y4x32x3的值域为的值域为1，7，则实数，则实数x的取的取值范围是值范围是_(1)x|2x3(，01，2练习解析：(1)(3x)263x703x7或3x1(舍去)，故xlog37.(2)令( )xt，因为方程有正根，所以t(0,1)，t22ta0a1(t1)2，因为t(0,1)，所以a(3,0)答案：(1)log37(2)(3,0)126(2012上海浦东新区模拟)已知函数f(x)2x . (1)若f(x)2，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围练习1注意指数运算以及多项式乘法公式的逆用2利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程3对于指数运算，要注意避免出现下列的错误：(1)am n am an；(2)(a b)m am bm；(3)(am)n am n等4指数函数值受到底数a大小变化的影响，因此解题时常需要对底数a按0a1进行分类讨论. 指数函数与其他知识的综合运用指数函数与其他知识的综合运用考点探究考点探究点评：点评：利用单调性可以解决与指数函数有关的值域