MPCK视角下的“一次函数与一次不等式”

1、.MPCK视角下的“一次函数与一次不等式 李渺自20世纪80年代初起，研究者们从不同的角度提出了老师需要什么样知识的各种模型其中，最有影响的是美国学者Shulman，Ls1986和其同事们的观点他们针对当时美国老师教育中的培养形式、老师资格认定和老师教育研究中所存在的学科知识与教育学知识别离的现象Shulman称这些现象为“缺失的范式，经过一系列的研究后，提出“PedagogicalontentKnowledge，简称PCK这一概念，指出成功的教学不仅需要学科知识，而且需要PCK，即成功的老师不能仅仅对某一概念、原那么或原理有直觉的或个人的理解为了促进学生的理解，他们必须自己先理解向学生表征概

2、念的方法，他们必需要有如何把内容转化以合适教学目的的知识根据Shulman的观点，PCK是一种实用性知识，它的核心要素有：第一是直面学生教学如何架构structure和呈现学科内容的知识；第二是有关学生在学习详细的内容时可能拥有的共同的概念、误解misconception和困难的知识；第三是在详细教学情况下能满足学生学习需求的详细教学策略等下面以Shulman提出PCK的三种核心要素为框架，来分析“一次函数与一次不等式的有关教学，并以此说明数学老师所应具备的MPCK一、MPCK的核心要素之一直面学生教学如何架构和呈现学科内容的知识课堂教学第一部分：提出问题，创设情境1N老师的教学设计解答以下问

3、题：解不等式：2x40当自变量x为何值时，函数y=2x4的值大于0？画出函数y=2x4的图象，并指出函数图象在x轴上方时，相应自变量z的取值范围2x老师的教学设计解答以下问题：解不等式5x+63x+l0当自变量x为何值时，函数y=2x4的值大于0？从外表上看，两位老师的教学设计并没有多大的区别，都是为了引导学生发现一元一次不等式与一次函数之间的关系但是，相比而言，N老师提出的3个问题更加具有坡度，更能让学生尽快进入学习主题首先，从形式上看，两位老师都是想引导学生分别从不等式的角度和函数的角度来看“2x40但是，不等式5x+63x+10需要转化才有2x40的形式，这就给学生增加了非本质的障碍，冲

4、淡了课题引入的核心需要注意的是，这样的转化思想也是本次课所要表达的学习内容，老师可以在后面的教学设计中表达出来详见下面“课堂教学第二部分其次，N老师提出的第3个问题是x老师所没有涉及到的这个问题使学生不仅从“数的角度来发现不等式和函数之间的关系问题1与问题2：一元一次不等式ax+b0或ax+b0的解集，就是一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时，相应自变量x的取值范围，而且从“形的角度来发现不等式和函数之间的关系：一元一次不等式ax+b0或ax+b0的解集，就是一次函数y=ax+b的图象在x轴上方或下方时，相应自变量x的取值范围因此，此问题的提出无疑可以使学生更好地理解有关数学关系课堂教

5、学第二部分：新课用函数的观点看不等式N老师和x老师都是选用“用画函数图象的方法解不等式5x+42x+10这个问题来作为新课学习的主要载体，此问题比较好地蕴藏着老师的教学意图假如没有限制“用画函数图象的方法，学生都能利用不等式的性质来给出以上不等式的解集本次课的学习内容是用函数的观点看不等式，所以，两位老师都要求学生“用画函数图象的方法来解不等式，主要有以下两种教学意图1先利用转化的思想前面的有关问题在此得到表达，把不等式5x+42x+10转化为3x60然后，再把它看成当一次函数y=3x6的图象在x轴的下方时，相应自变量x的取值范围2把不等式5x+42x+10的两边分别看成两个一次函数y=5x+

6、4和y=2x+10，然后画出它们的图象两条直线，那么把解不等式转化为比较直线上点的位置的上下，从而找出相应自变量x的取值范围所以，两位老师选用这道题目可较好地呈现有关学习内容二、MPCK的核心要素之一有关学生在学习详细的内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识学生已有的共同的概念：1函数、一次函数和不等式的概念；2利用不等式的性质来解不等式；3一次函数与一元一次方程的关系在这节课的学习中，学生普遍对以下几个地方感到困惑：学习难点1如何对待问题1与问题2课堂教学第一部分，N老师的教学设计之间的联络?即从“数的角度来看不等式和函数之间的关系?对于第一个问题，学生利用不等式的性质都能很快得到其解

7、集x2；对于第二个问题，需要学生把问题中的文字语言翻译成符号语言，再来探究自变量x相应的取值范围学生单独解答这两个问题，都不会感到困难老师的教学意图也不在于此，而是意欲让学生发现彼此之间的关系：“求解不等式axb0可以看作“当一次函数y=ax+b的值大于小于0时，求自变量x相应的取值范围，即用函数的观点来看不等式，引出本节课的学习目的所以，两个学习任务分别完成后，老师还要特别注重引导学生用自己的话来表述二者的关系，并突出“一元一次不等式与“一次函数这样，才能让学生感受到“一元一次不等式与“一次函数之间的关系学习难点2如何对待问题1与问题3课堂教学第一部分，N老师的教学设计之间的联络?即如何通过

8、观察函数图象，从“形的角度来看不等式和函数之间的关系?既然用函数的观点来研究问题，那么就离不开函数的图象如前所述，N老师提出的第二个问题实际上是从“数的角度来看不等式和函数之间的关系，而第三个问题是引导学生从“形的方面来看不等式和函数之间的关系，即继续考虑第二个问题“函数y=2x4的值大于0反映到函数的图象上是什么?是对应“在x轴上方的那一部分直线于是，问题的难点就是如何通过观察函数的图象，发现相应自变量x的取值范围N老师通过多媒体，使“在x轴上方的那一部分直线不断闪烁，使学生的注意力集中到“在z轴上方的那一部分直线，引起了学生的注意但是，问题的所在是要找出“相应自变量x的取值范围，从“在x轴

9、上方的那一部分直线到“相应自变量x的取值范围之间还需要建立联络的桥梁这个桥梁就需要深化理解函数的概念，一般地，在一个变化过程中，假如有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数所以，在教学中，第一步，在“x轴上方的那一部分直线上任意取一个点，此点相应的y值大于0，满足题设要求第二步，画出此点到x轴的垂线，其垂足的横坐标就是它对应的x这时，学生容易猜测或观察到这样所取的x都大于2第三步，检验x是否可以等于2假如x等于2，那么对应函数值就等于0，与所要求的不相符合，所以，x不可能等于2事实上，此问题是学生上次课所讨论的“一次函数与一元

10、一次方程的关系这也把前后知识联络起来了第四步，检验x是否可能小于2因为假如x小于2，直线上对应的点在x轴的下方，也就是说，对应函数值小于0，与所要求的不相符合，所以，x不可能小于2这样，学生才比较清楚地知道如何观察函数的图象，从“形的方面来研究“当函数y=2x4的值大于0时，自变量x的取值范围换言之，通过观察函数图象可以探究对应不等式的解集学习难点3用函数的观点来看不等式有什么优越性?在“课堂教学第二部分：新课的学习中，有许多学生对老师所提出的问题不太理解：形如5x+42x+10这样的题目，利用不等式的性质来求解，很好解决，为什么还要用画函数图象的方法来考虑?这样的考虑方式有什么好处?教材上有

11、这么一段话：“虽然像上面那样用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联络，能直观地看到怎样用图形来表示方程与不等式的解，这种用函数观点认识事物的方法，对于今后继续学习数学很重要以上学生的学习疑惑可以从这段话中找到宏观层面上的答案但是，要想学生进一步明了“用函数的观点看不等式的价值，还需要老师的MPCK，需要老师在学生解答完有关问题后从微观层面上做如下阐释1数学知识之间的联络可向学生提问：“同学们，你们已经学习了一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，但是，你们是否想到它们之间的联络?并进一步指出：方程、不等式是描绘现实世界

12、的一种工具，它们实际上都可以用函数的观点来统领只有建立了数学联络的观点，才能有数学的整体观念，才能灵敏运用数学知识，才能发现问题、提出问题和解决问题，才能进步数学才能，才能有好的数学素养2直观的思维方式“直观是数学中重要的思维方式之一老师可以给出以下题目来让学生进一步体会直观的思维方式在解决问题中的优势例1根据以下一次函数的图象图1，你能求出哪些不等式解集?并直接写出相应不等式的解集图1 图2例2某单位急需用车，但又不准备买车他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y元，国营出租车公司收费为y元，y与x之间的函数关系如图3所示图3观察以下

13、图象并选择合算的租车对象假如这个单位估计每月行驶路程为2700km，应如何选择租车对象才能更合算?从“一次函数与一元一次不等式延伸到“函数与不等式到目前为止，对于“函数，学生还只接触到“一次函数；对于“不等式，学生还只接触到“一元一次不等式在今后的学习中，学生还会遇到许多其他类型的函数与不等式比方，二次函数、一元二次不等式假如学生具有用函数的观点来认识事物的观念和方法，那么会有更好的数学理解对于根底好的学生，可以给出几道拓展题目，比方：图4是函数y=x2-x-2的图象，那么不等式x2x20的解集是什么?这些问题的讨论为学生的后续学习打下根底图4三、MPCK的核心要素之一在详细教学情况下能满足学

14、生学习需求的详细教学策略1当学生获得成功时，老师要给时间让学生充分“倾诉在学习中，通过自主探究、小组合作，学生获得了成功此时，学生心中充满了成功的喜悦，急迫地想与大家分享所以，老师要给时间、给时机让学生“倾诉，这也是学生小结、反思的一个过程同时，通过这个过程，学生的表达才能、数学语言的组织才能得到了很好的锻炼，自信心也得到了很好的培养比方，在探究“用画函数图象的方法解不等式5x+42x+10时，大多数学生采用的是第一种解法：先利用转化的思想，把不等式5x+42x+10转化为3x-60然后，再把它看成当一次函数y=3x6的图象在x轴的下方时，相应自变量x的取值范围N老师在巡视学生考虑情况时，发现

15、有同学用第二种方法来解决问题：把不等式的左右两边分别看成一次函数，然后，把解不等式转化为比较直线上点的位置的上下，从而找出相应自变量x的取值范围这时，N老师自己没有讲解第二种方法，而是把话语权交给了学生，让学生来解释自己的想法2当学生出现错误时，老师要有针对性地进展纠错在第一种解法解不等式5x+42x+10时，N老师发现有些学生认为y=3x一6在x轴的下方，所对应自变量x的取值范围是大于2显然，这是由于学生不会观察所对应的图象、机械照搬而导老师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边

16、学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。致的错误结果如何纠正学生的错误呢?让学生自己发现自己的错误是最好的教学策略N老师课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取