欧拉图和哈密尔顿图

1、编辑ppt 第二节第二节 图的连通性图的连通性n 通路和回路通路和回路n 无向图的连通性无向图的连通性n 有向图的连通性有向图的连通性编辑ppt 通路和回路通路和回路可达的：可达的：在图在图G中，结点中，结点u和结点和结点v之间存在一之间存在一条路，则称结点条路，则称结点u到结点到结点v是可达的。是可达的。通路：通路： G中前后相互关联的点边交替序列中前后相互关联的点边交替序列w=v0e1v1e2envn称为连接称为连接v0到到vn的通路。的通路。 W中边的数目中边的数目K称为称为通路通路W的长。的长。回路：回路：在点边序列在点边序列v0e1v1e2envn中，当中，当v0=vn时称此通路为回

2、路。时称此通路为回路。 EVG,给给定定图图编辑ppt 无向图的连通性无向图的连通性图是连通的判定法则：图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，从图中任意一结点出发，通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称图是连通的。图是连通的。连通：连通：在无向图在无向图G中，结点中，结点u和结点和结点v之间存在一之间存在一条路，则称结点条路，则称结点u与结点与结点v是连通的。是连通的。约定约定：任一：任一结点与自身总是连通的。结点与自身总是连通的。连通图：连通图：若图若图G中，中，任意任意两个结点均连通，则称两个结点均连通，则称G是连通图，否则称是连通图，否则称非

3、连通图非连通图。对非连通图可分成几。对非连通图可分成几个无公共结点的个无公共结点的连通分支。连通分支。无向图中结点间的连通无向图中结点间的连通关系是等价关系。关系是等价关系。编辑ppt 练习练习1 1：连通图的判定连通图的判定(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 指出下列各图是否连通指出下列各图是否连通编辑ppt 欧拉图欧拉图设设G=是连通无向图是连通无向图欧拉通路：欧拉通路：在图在图G中存在一条通路，经过图中存在一条通路，经过图G中每条边一次且仅一次。中每条边一次且仅一次。欧拉图：欧拉图：具有欧拉回路的图。具有欧拉回路的图。欧拉回路：欧拉回路：在图在图G中存在一条回路，经过图中存

4、在一条回路，经过图G中每条边一次且仅一次。中每条边一次且仅一次。（能一笔画）（能一笔画）编辑ppt定理定理7-4 无向图无向图G=具有欧拉回路，即是具有欧拉回路，即是欧拉图的欧拉图的充分必要条件充分必要条件是这个图是连通的，并且是这个图是连通的，并且图图G中所有结点的度数都是偶数，即都与偶数条中所有结点的度数都是偶数，即都与偶数条边相连。边相连。 定理定理7-5 无向图无向图G=具有欧拉通路的具有欧拉通路的充分充分必要条件必要条件是图是图G是连通的，并且图是连通的，并且图G中恰有两个度中恰有两个度数是奇数的结点或者没有度数是奇数的结点。数是奇数的结点或者没有度数是奇数的结点。 欧拉图的判定定理

5、欧拉图的判定定理编辑ppt 练习练习3 3：欧拉回路的判定欧拉回路的判定 指出下列各图哪些是欧拉回路？哪些是欧拉通路？指出下列各图哪些是欧拉回路？哪些是欧拉通路？（2）（1）(3)(4)(5)(6)(7)编辑ppt例例7-7。bdac。edcba。fde。cbaa、b、c、d都为奇结点，无欧都为奇结点，无欧拉通路与欧拉回路拉通路与欧拉回路a、c为奇结点，为奇结点，无欧拉回路无欧拉回路有欧拉通路有欧拉通路全部结点为偶结点，全部结点为偶结点，有欧拉回路有欧拉回路有欧拉通路有欧拉通路。abcdefa、b、c、e都为奇结点，都为奇结点，无欧拉通路无欧拉通路与欧拉回路与欧拉回路。abcdef全部结点为全

6、部结点为偶结点，偶结点，有欧拉回路有欧拉回路有欧拉通路有欧拉通路编辑ppt例例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使如图街道，是否存在一条投递线路使邮递员从邮局邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回出发通过所有街到一次在回到邮局到邮局a?lkjihgfedcba全部结点为偶结点，故有欧拉全部结点为偶结点，故有欧拉回路，即所求投递线路，回路，即所求投递线路，例如例如(abcgebdfhdeihkiglkjfa)此投递线路即一笔画线路。此投递线路即一笔画线路。编辑ppt 一笔画问题：一笔画问题：就是判断一个图形能否一笔画成就是判断一个图形能否一笔画成,实质上就是判断图形是否存在欧拉通路和欧拉实质

7、上就是判断图形是否存在欧拉通路和欧拉回路的问题。回路的问题。一笔画的判定定理一笔画的判定定理： 如果图中的每个结点都与如果图中的每个结点都与偶数条边相连，则可以任取一点做始点，一笔画偶数条边相连，则可以任取一点做始点，一笔画完，回到始点；完，回到始点； 如果图中只有两个顶点与奇数如果图中只有两个顶点与奇数条边相连，则选择这两个顶点中的一个做始点，条边相连，则选择这两个顶点中的一个做始点，一笔画完，终点为另一个与奇数条边相连的结点。一笔画完，终点为另一个与奇数条边相连的结点。编辑ppt 练习练习3 3：一笔画的判定一笔画的判定(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 指出下列各图是否一笔

8、画指出下列各图是否一笔画编辑ppt例例7-9一笔画的判定一笔画的判定gfedcbaA、f是奇点，有是奇点，有欧拉通路，欧拉通路，可以可以A、f为起点，为起点， F、 A为终点一笔画成。为终点一笔画成。如如(agfecfbdaegdf)af全部结点为偶结全部结点为偶结点，故有欧拉回点，故有欧拉回路，路，可以可以任意结任意结点为起点，点为起点， 且为且为终点一笔画成。终点一笔画成。编辑ppt 哈密尔顿图哈密尔顿图? 设设G=是连通无向图是连通无向图 图图G中存在一条经过图中的每个结点一次中存在一条经过图中的每个结点一次且仅一次的通且仅一次的通（回回）路，称此通路为路，称此通路为哈密顿通哈密顿通（回回）路）路 哈密顿图：哈密顿图：具有哈密尔顿回路的图。具有哈密尔顿回路的图。 目前还没有找到连通无向图具有哈密顿目前还没有找到连通无向图具有哈密顿通（通（回回）路的充分必要条件。路的充分必要条件。编辑ppt图1图2 练习练习4 4：哈密尔顿回路判定：哈密尔顿回路判定判定下图是否存在哈密尔顿回路！判定下图是否存在哈密尔顿回路！编辑ppt 1856年年,英国数学家哈英国数学家哈密尔顿设计了一个周游世界的密尔顿设计了一个周游世界的游戏，他在一个正十二面体的游戏，他在一个正十二面体的二十个顶点上标上二十个著名二十个顶点上标上二十个著名城市的名字，要求游戏者从一