华理高数全部复习资料之 导数的应用

1、第4章 导数的应用内容提要本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下几个方面。 （一）函数性态的研究 1函数的单调性设函数 在闭区间 上连续，开区间 可导，若在 上有 （或 ），则 在 上严格单调增加（或严格单减）。注意：保证 严格单调增加的条件 可以放宽为 ，且使 的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件 可放宽为 ，且使 的点不形成区间。 2. 函数的局部极值（1）极值点的定义：若函数 在点 的某邻域 有定义，且对一切 成立 （或 ），则称 在 取得严格极大值（或极小值），称

2、为 的严格极大点（或极小点）。若将“”）用“ ”（或“ ”）代替，则称为非严格意义下的极值。（2）极值点的必要条件：函数 的极值点必定是它的驻点或不可微点。（3）判别极值得充分条件一阶充分条件：设 在 处连续，并且在 的某 去心邻域 内可导，则有以下结论成立：（i）若当 时， ；当 时， ，则 在 处取得极大值。（ii）若当 时， ；当 时， ，则 在 处取得极小值。（iii）若在 的两旁， 不变号，则 在 处不取得极值。二阶充分条件：设 在点 的某邻域内可导， ， 存在，则有以下结论成立：若 ，则 是函数的极大值点。若 ，则 是函数的极小值点。若 ，则对 无明确结论。 3. 函数的凹凸性和拐

3、点 （1）函数的凹凸性的定义如果在 上，曲线 始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称该曲线在 上是凸的（或凹的）。函数 称为 上的凸函数（或凹函数）。（2）凸函数的性质（a）若 是 上的凸函数，则对任意 及 有 （b）若 是 上的凸函数,并且在 上可导，则 在 上单调不减。 （c）若 是 上的凸函数，则对任意不相等的 及 ，有 。（3）凹凸性判别的充分条件设 在 上二阶可导，若在 上， ，则 在 上是凸的；若在 上， ，则 在 上是凹的。（4）拐点拐点的定义：若连续曲线 在点 的近旁发生凹凸性改变，则称点 为曲线 的拐点。拐点的必要条件：若点 是曲线 的拐点，则 是使 的点或者是使

4、 不存在的点。拐点判别的充分条件：设 在 的某邻域内二阶可导（ 处 可以不存在，但 在 处连续），若 在 的两旁符号发生改变，则点 是曲线 的拐点。4. 函数作图的步骤（1） 确定函数的定义域及某些几何特性（如奇偶性，周期性等），求出 及 。（2） 在函数的定义域内求出方程 和 的根，以及一阶，二阶导数不存在的点，并把这些点作为分界点将定义域划分成若干个部分区间。（3） 列表并在每一个部分区间内确定 ， 的符号，从而确定函数的单调区间，凹凸区间，局部极值点以及拐点。（4） 确定函数图形的渐近线。（5） 标出函数极值点，拐点在图形上的位置，结合（3），（4）的结果，光滑的连接这些点作出 的图形。

5、（二） 函数的最值由于开区间内的最值点也为极值点，所以 在计算 上的最值可按以下步骤进行：(1) 求出 在 内的所有驻点和导数不存在的点，即求出 在 内的所有可能的极值点。(2) 计算上述各可能极值点以及区间端点处的函数值。(3) 比较以上各函数值的大小，最大者和最小者即为 在 上的最大值和最小值。在实际问题中，若由问题本身确定函数的最值存在，而可能的极值点又唯一，此时可确定该可能的极值点即为最值点。 （三） 相关变化率问题的处理方法 根据具体问题建立变量间的关系式，通过对此关系式求导，求得变量间导数满足的关系式，然后根据此式以及题意从已知变量的变化率推算所求变量的变化率。 （四） 平面曲线的

6、曲率1曲率的定义： 2弧微分公式： （1）若曲线方程为 ，则 ，其中曲线弧的正向为参数从小到大描绘曲线的方向（否则根式前取负号）。（2）若曲线方程为 ，则 。（3）若曲线方程为 ，则 。3曲率计算公式 ： 。4曲率半径的计算公式 ： 。（五）导数在经济学中的应用1基本概念边际 设函数 在点 处可导，则称导数值 为函数 在点 的边际（函数）， 称为函数 在点 的边际（函数）值。成本函数 表示产品数量为 时所化费的总成本。平均成本函数 边际成本 对于总成本函数 ，其中 表示产量，则生产第 个单位产品时所化的成本称为边际成本，边际成本的记号及计算公式为 。边际收益 当销售价为 ，销售量为 时，总收益

7、函数为 ，则其边际收益为。边际利润 销售 件产品后总收益与总成本之差 为总利润，记为 ，其边际利润为 。2弹性分析弹性 设函数 在点 处可导，函数的相对改变量 （ ），与自变量的相对改变量 之比称为函数 在 与 之间的平均弹性。函数 在 点的弹性为 。需求价格弹性 。 若 ，涨价则引起收入减少；若 ，涨价则引起收入增加。收益价格弹性 。 复习指导： 第4章 导数的应用学习指导本章的内容较多，但主要的习题可分为三类问题：1. 直接求函数的单调区间，极值，最值，凹凸区间，拐点，曲率等；2. 利用单调性，最值，凹凸性证明不等式；3. 求相关变化率，最值等的应用题。 解以上问题的要点是：1. 正确地计

8、算出各阶导数；2. 对各个基本概念的理解要准确；3. 对增或减，凹与凸，极大与极小的判别法要正确使用；4. 证不等式时，要通过恒等变形选取合适的辅助函数 ，通过 是否变号来确定是用单调性还是用最值证不等式，有时可能需要通过 的符号来判别 的符号。5. 凸函数的常用不等式为：（a） ；（b） ，其中 。第5章 积分一、定积分 1 定积分的定义 设函数 在 上有定义,在区间 内任意插入 个分点 记 ,若极限 存在(极限值与 的分法无关,与 的取法无关),则称此极限值为 在 上的定积分,记为 ,同时称 在 上可积.函数 在 上可积的必要条件是: 在 上有界.函数 在 上可积的充分条件是: 在 上连续

9、或分段连续.2 定积分的几何意义 由曲线 ,直线 和 轴所界的各个图形面积的代数和(如图),其中 轴上方图形的面积带“ ”号, 轴下方图形的面积带“ ”号. 3 定积分的性质以下性质都是针对函数在所示区间上可积而言(1). , 其中 为常数.(2). (3). (4). , , (5).(定积分运算对被积函数的保序性)若在 上, ,则 .特别有 .(6).(定积分的估值定理) 若在 上, , 则 .(7) (定积分的中值定理) 若 在 上连续,则 ,使 .二、不定积分1 原函数与不定积分的定义(1)设 是定义在某区间上的函数,若存在函数 ,使在该区间上成立 (或 ),则称 是 在此区间上的一个

10、原函数.若 和 是 的两个原函数,则 ,其中 是某仪个常数.因此,若 是 的一个原函数,则 原函数的全体可表达成 .(2) (原函数存在定理)连续函数的原函数必定存在.(3) 若函数 在区间 上存在原函数,则其任意两个原函数之间只相差一个常数.(4) 称 原函数的一般表达式为 的不定积分,记为 .(5) 微分运算与积分运算是一对互逆的运算，即有（i） ，或 ；（i i） ，或 .2 基本积分公式 三、微积分基本定理 (1) (微积分第一基本定理)若 在 上连续,则变上限积分函数 在 上可微,且 .由定理可知,若 在 上连续,则 是 在 上的一个原函数.(2) (微积分第二基本定理) 若 在 上连续, 是 的任意一个原函数,则 牛顿-莱布尼兹公式 复习指导： 第5章 积分一、关于微积分第一基本定理 若 在 上连续,可微函数 的值域均含于 ,则有若题中含变限积分,则一般离不开变上限定积分求导.要能熟练利用变上限定积分是被积函数的一个原函数,请看下例. 例:证明:连续奇函数的一切原函数均为