第2章 2.2 2.2.2　椭圆的几何性质(二)

1、.2.2.2椭圆的几何性质二学习目的：1.进一步稳固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识重点、难点自 主 预 习探 新 知1点与椭圆的位置关系设Px0，y0，椭圆1ab0，那么点P与椭圆的位置关系如下所示：1点Px0，y0在椭圆内1.2点Px0，y0在椭圆上1.3点Px0，y0在椭圆外1.2直线与椭圆的位置关系1判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程假设0，那么直线和椭圆相交；假设0，那么直线和椭圆相切；假设b0相交，两个交点为Ax1，y1、Bx2，y2，那么线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长下面

2、我们推导弦长公式：由两点间的间隔 公式，得|AB|，将y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|x1x2|，而|x1x2|，所以|AB|，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到3直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用0.例如，直线l：ykx21和椭圆1.无论k取何值，直线l恒过定点2,1，而定点2,1在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交考虑：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去y后，推导出的弦长公式是什么？提示|AB|y1y2|.根底自测1考虑辨析1点P1,2在椭圆1上2直线l：kxyk0与椭圆1相交3假设直线ykx2与椭圆1相切，那么k.提示1在

3、椭圆外232点3,2在椭圆1上，那么【导学号：33242136】A点3，2不在椭圆B点3，2不在椭圆上C点3,2在椭圆上D无法判断点3，2、3，2、3,2是否在椭圆上C3,2与3,2关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，选C.3经过椭圆1ab0的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为_答案合 作 探 究攻 重 难点直线与椭圆的位置关系1点pk,1在椭圆1外，那么实数k的取值范围为_2椭圆4x2y21及直线yxm，当直线和椭圆有公共点时，务实数m的取值范围；当m1时，求直线与椭圆的相交弦长；求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程解1由题意知1，解得k或k所以k的取值范围为2联立消去y得5x22mxm210

4、.*因为直线和椭圆有公共点，4m245m210，即m2，m.所以m的取值范围为.设交点为Ax1，y1，Bx2，y2，联立得5x22x0.由题意得0，由根与系数的关系得x1x2，x1x20，那么弦长|x1x2|.3设交点为Ax1，y1，Bx2，y2，对于*式，由根与系数的关系得x1x2，x1x2，那么弦长|x1x2|.由上式可知，当m0时，弦最长此最长弦所在的直线的方程为yx，即xy0.规律方法1有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题：一是判断位置关系，二是根据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的

5、关系求解2在弦长公式|AB|x1x2|y1y2|中，k为直线的斜率，在计算|x1x2|或|y1y2|时，一定要注意“整体代入这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到|x1x2|或|y1y2|整体代入求解跟踪训练1直线l：y2xm，椭圆C：1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：1有两个不重合的公共点；2有且仅有一个公共点；3没有公共点解直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组：消去y，得：9x28mx2m240， 方程的判别式8m2492m248m2144，1当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点2当0，即m3时，方

6、程有两个一样的实数根，可知原方程组有两组一样的实数解，这时直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，3当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.弦长及弦中点问题椭圆1的弦AB的中点M的坐标为2,1，求直线AB的方程【导学号：33242137】思路探究利用中点公式或点差法可求解直线的斜率k.解法一：由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1kx2将其代入椭圆方程并整理，得4k21x282k2kx42k12160.设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2.又M为线段AB的中点，2，解得k.故所求直线的方程为x2

7、y40.法二：点差法设Ax1，y1，Bx2，y2，x1x2.M2,1为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，那么x4y16，x4y16，两式相减，得xx4yy0，于是x1x2x1x24y1y2y1y20.，即kAB.故所求直线的方程为x2y40.法三：对称点法或共线法设所求直线与椭圆的一个交点为Ax，y，由于点M2,1为线段AB的中点，那么另一个交点为B4x,2yA，B两点都在椭圆上，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.规律方法直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭

8、圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，假设能结合根与系数的关系“设而不求，可大大简化运算过程.跟踪训练2椭圆1和点P4,2，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点1当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；2当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程解1由可得直线l的方程为y2x4，即yx.由消去y可得x2180，假设设Ax1，y1，Bx2，y2那么x1x20，x1x218.于是|AB|63.所以线段AB的长度为3.2法一：当直线l的斜率不存在时，不合题意设l的斜率为k，那么其方程为y2kx4联立消去y得14k2x23

9、2k216kx64k264k200.假设设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x2，由于AB的中点恰好为P4,2，所以4，解得k，且满足0.这时直线的方程为y2x4，即x2y80.法二：设Ax1，y1，Bx2，y2，那么有两式相减得0，整理得kAB，由于P4,2是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2x4即x2y80.椭圆中的最值或范围问题探究问题1求解椭圆的最值问题一般有哪两种方法？提示1几何法：假设题目的条件和结论能明显表达几何特征及其意义，那么考虑利用图形性质来解决，这就是几何法解题的关键是可以准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及

10、对称知识求解2代数法：假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数，那么可首先建立起目的函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目的函数的最值常用方法有配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性法等2弦长公式是什么？提示|AB|x1x2|y1y2|.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1ab0的离心率e，且点P2,1在椭圆C上1求椭圆C的方程；2假设点A，B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP不包括端点上求直线AB的斜率；求AOB面积的最大值. 【导学号：33242138】思路探究1首先求出椭圆方程2求出直线AB的斜率，设出直线AB的方程，求出AOB的面积，用变量表示，根据重要不等式求出最值解1由

11、题意得椭圆C的方程为1.2法一：设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，直线AB的斜率为k，那么0，k0.又直线OP：yx，M在线段OP上，y0x0，k1.法二：设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，直线AB的方程为yy0kxx0，那么12k2x24ky0kx0x2y0kx0260.由题意，0，x1x2，x0.又直线OP：yx，M在线段OP上，y0x0，1，k1.法三：设Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，直线AB的方程为ykxm，那么12k2x24kmx2m260.由题意，0，x1x2.x0又直线OP：yx，M在线段OP上，y0x0，M在直线AB上，y0kx0m解得k1.设直

12、线AB的方程为yxm，m0,3那么3x24mx2m260，AB|x1x2|，原点到直线的间隔 d.SAOB，当且仅当m0,3时，等号成立AOB面积的最大值为.规律方法求最值问题的根本策略1求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|获得最值.2求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.3求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.4利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围.跟踪训练3椭圆C：1ab0的离心率为，过点M1,0的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|M

13、B|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|.1求椭圆C的方程；2假设，求弦长|AB|的取值范围解1由e，得，当直线垂直于x轴时，|AB|，椭圆过点，代入椭圆方程得1，又a2b2c2，联立方程可得a22，b21，椭圆C的方程为y21.2当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，322或32，不符合题意直线的斜率不能为0.设直线方程为xmy1，Ax1，y1，Bx2，y2，将直线方程代入椭圆方程得：m22y22my10，由根与系数的关系可得，将式平方除以式可得：2，由|MA|MB|可得，2，又知，2，0，解得m2.|AB|21m2|y1y2|21m2y1y224y1y288，m2，|AB|

14、.当 堂 达 标固 双 基1假设点Aa,1在椭圆1的内部，那么a的取值范围是 【导学号：33242139】AaBa或aC2a2D1a1答案A2直线l：xy30，椭圆y21，那么直线与椭圆的位置关系是A相交 B相切C相离 D相切或相交答案C3过椭圆y21的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，那么|AB|等于A4 B2 C1 D4C因为y21中a24，b21，所以c23，所以右焦点坐标F，0，将x代入y21得，y，故|AB|1.4直线与椭圆4x29y236相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M1,1，那么直线AB的方程为_4x9y130法一：根据题意，易知直线AB的斜率存在，设通过点M1,1的直线AB的方程为ykx11，代入椭圆方程，整理得9k24x218k1kx91k2360.设A，B的横坐标分别为x1，x2，那么1，解得k.故直线AB的方程为yx11，即4x9y130.法二：设Ax1，y1，Bx2，y2，代入椭圆方程，得，得4x1x2x1x29y1y2y1y20.M1,1为弦的中点，x1x22，y1y22.4x1x29y1y20.