车辆贯行模型

1、§17.6 车辆贯行模型学习目的1. 能建立车辆贯行问题的数学模型；2. 会求解车辆贯行问题的数学模型；3. 能用车辆贯行问题的数学模型解决一些实际问题。 80年代以来，我国的汽车急增，公路上汽车一辆接一辆，形成了汽车流，因此交通流问题在我国也突出了。交通流涉及的因素很多，我们仅从微观的角度考虑车辆行驶的机械问题以及单个驾驶员应具备那些素质。 所谓车辆贯行模型是一个关于一定数量的车辆沿着一条笔直漫长的公路行驶的模型，这些车辆在行驶中不允许超车。驾驶员如何根据自己的车与前面一辆车的距离以及估计前面一辆车的速度决定自己的车是加速还是刹车。 驾驶员车辆公路系统中的许多机构、生理和心理因素给

2、建立模型带来了困难。我们假定在一条公路上有n辆相同的车，由n个忠于职守的司机驾驶，即每个司机都不折不扣地遵循有关的交通规则。 一、加洲准则： 设表第j辆车在t时刻的位置，每一辆车的位置可取为该车上的任意一点。一般选取汽车前保险杆所在地方为汽车所在位置比较方便，如图17.16所示： x x x x图 17.16 我们讨论第j辆车的运动模型：假定第j辆车的司机驾驶汽车时遵循加洲行车准则，“你的车速是16km / h ( 4.47m/s ) 的几倍，你与前一辆车的距离应是车身长度(约为4.57m)的几倍”。安全专家们认为在高速公路上行车时，遵循这一准则将避免危险。 加洲准则用数学式子表示即是 (1)

3、其中，是第j辆车的速度。右端第二项是一辆车的车身长，两辆车的间距必须加上一个车身长才是。 设任意时刻t，每一个驾驶员都按方程(1)式驾驶车辆，则驾驶员驾驶车子时应按下式加速或者减速： (2)其中。所以，要遵循加洲准则，司机必须注意他的车与前一辆车的相对速度，根据它来调整加速或制刹装置。 二、车流率车流密度关系图 (1)式能得出什么样的车流率车流密度关系呢？为此考察从第i辆车到第i+m辆车所占据的一段公路，但不包括第i辆车占据的公路，这段公路长为 (3) 如果对方程(1)从j=i+1到j = i+m相加，则有 (4)其中 (5)(5)式中是所考虑的这一段公路上车辆的平均速度 这段公路的车辆密度定

4、义为 (6)车辆密度k即是单位长度公路上的车辆数 车流率q用平均速度作如下定义： (7) 所谓车流率q，从微观角度来说，是指单位时间内通过公路上某一给定点的车辆数因为车流按速度行进，而每英里有k辆车，所以平均每小时有辆k车通过给定点 (4)式除以，利用(5)，(6)，(7)式中定义的，k和q，则有 (8) 所以加洲准则反映的车流率车流密度之间的关系为 (9)其中是最大车流密度，即公路上车辆首尾相接情况下的车流密度，如图17.17所示q加洲准则实测数据 图 17.17k0 由(9)式所表示的车流率车流密度关系表明当k=0时，车流率为这显然不符合实际情况如果k=0，公路上没有车，车流率q应为零再由

5、(9)式可以看出，q随k的增加而减少，当时，q=0这与实际情况完全相符这说明了加洲准则模型与车流密度较大，司机都按“尾随”方式驾车的实际相吻合后面我们将介绍另一车辆贯行模型，它对较大范围的车流密度都能适用 三、一个典型问题的解 考察一条理想化公路上的车辆贯行模型假设车辆拥挤停放在公路上在时刻t=0，最前面的一辆车( j = 0 )瞬间加速到一个常数值，则t > 0时，第二辆车( j = 1)的运动方程为 (10)其解为 (11) 第三辆车的运动方程为 (12)其解为 (13) 由此可推得第j辆车的运动方程的解为 (14) 每辆车的位置可通过依次积分得到 由(14)知，对于t > 0

6、，有 (15) 因为 所以有 (16) 由此可以看出，后面车子的速度比前面的车子的速度小，没有超车的情形。 四、有时迟的车辆贯行模型： (2)模型有一个缺陷，它假定司机能根据前面一辆车的速度变化，必须同时作出反应，即加速或者是减速 从生理学和心理学的角度来说，给第j个司机一个刺激，要求他调节加速度作出反应显然任何一个司机(或机械装置)在作出反应前，总有短暂的时迟(约十分之几秒)所以假定 (17)其中T是时迟参数叫灵敏度在这个模型中，第j位司机观察到相对速度希望加速因为他对外界的刺激，反应需要时间，所以加速不是在t时刻进行的，而是延迟了T秒 经研究发现“瞬间”的行动反应迟延为0.1s在车辆驾驶的

7、复杂决策过程中，一些反应可能延迟十分之几秒以速度为80.5km/h行驶的汽车为例，如果延迟0.5s，这瞬间汽车将行驶12.2m这12.2m在有时会造成车祸 假设在一条笔直的公路上，初始时刻，汽车一辆紧挨着一辆，达到最大密度在时刻t =T，最前面的车瞬间加速到，如果建立有迟延的模型，则第二辆车在时刻t运动方程为 (18) 分段求(18)式的积分0 < t <T时，v(tT)=0在0,T内积分(3.66)式得 (19)当T < t < 2T时，由(3.66)可得 (20)所以有 (21)依此下去，可求得第二辆车在各段时间内的速度。 五、非线性车辆贯行模型 模型(17)中灵敏

8、度参数是个常数然而在实际中灵敏度参数会随情况的变化而改变，为此修改模型(17)，以使它的适用性更加广泛模型(17)修改为 (22)其中是第j位司机的灵敏度参数，在这里考虑两车的间距对灵敏度的影响。当第j辆车和第j-1辆车相距很远时，第j位司机不倾向于加速赶上前面的车而一旦开始追赶后，也不会意识到有减速的必要(因两车相距较远)然而，当两车之间足够近时，他会特别注意安全行驶，自然就要遵循加洲准则，即模型(2) 先考虑间距对灵敏度影响的一个简单模型为 (23) 上式中的为(2)式中的灵敏度常数，L为相互影响距离这一模型是说若第j辆车与前一辆车的间距小于L时，司机就会按加洲准则“尾随”前面的车如果后面

9、的车落后于前面的车的距离比L大得多，那么司机就会保持自己的车速，不考虑前面车辆的速度变化 这个模型也有个缺点，就是当司机发现前面没有车(或前面的车距已很远时)，该司机不改变自己的车速 下面利用模型(22)来推导车流率车流密度的关系 (1) 如果车流密度很大，以至于大多数车辆都是一辆接一辆的尾随行驶，不是尾随行驶的车辆可以忽略不计此时车流率车流密度的关系如(9)式所示 (2) 如果车流密度很小，大多数车辆都不受相互间的影响，那么就必须进行不同的计算怎样确定大多数车辆不尾随其它车辆行驶呢？如果每一段长度为L(相互影响距离)的公路上，最多只有一辆车则大多数车辆不受相互影响因此，车流密度k <

10、1 /L，大多数车辆按固定速度行驶，其车速由司机选择值得注意的是，这一模型并不永远让车辆这样行驶，能否继续这样行驶依赖于问题的初始条件0图 17.18实际的自由驾驶尾随驾驶q 如果在公路上车辆密度很低，设为司机们开车的平均速度，则车流率与车流密度之间的关系为 q=K (24)如图17.18所示 要利用这一模型对所有K的，得出q(K)的精确表达式是不切合实际的灵敏度参数还可选择为 (25)其中为常数，(25)称为间距反商模型，它与(17.71)相互影响距离模型有着相同的定性特征 利用(25)式推导车流率车流密度的关系，间距反商模型的运行方程为 (26)两边对t积分，得 (27)其中是相应于j的积

11、分常数假设当车辆间的间距为零时，车辆就不能行驶即当(车身长)时，由此得因此， (28) 如果把方程(28)应用于稳定状态的情况，即所有的车辆在所有的时间都以匀速行驶，那么平均速度为 (29)其中， 将(29)式代入(9)，有 (30) (30)式称为格林谢德车流率车流密度关系格林谢德关系非常成功地拟合了车流率车流密度实测数据，这一令人惊叹的事实验证了格林谢德关系和车辆贯行的间距反商模型的正确性公路运输在我国所占的比重将会越来越大，高速公路将越修越多，在高速公路上行车如何才能安全，如何防止堵车现象的发生要想深入了解这方面的知识的读者，请参阅参考有关文献。 习题17.6 1 证明在§6的“加洲准则”模型中，由(2)式确定的第j辆车的运动方程为 2 (1) 证明速度满足 (2) 假定，证明对所有的t，有 3 求解“紧急刹车”问题假设当t < 0时，所有的车辆都以速度行驶，当t = 0时，