第2章 2.4 2.4.2　抛物线的几何性质(一)

1、.2.4.2抛物线的几何性质一学习目的：1.理解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质重点2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题重点、难点自 主 预 习·探 新 知1抛物线的几何性质标准方程y22pxp0y22pxp0x22pyp0x22pyp0图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点0,0离心率e1考虑：参数p对抛物线开口大小有何影响？提示参数pp0对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大2焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为Ax1，y1，Bx2，y2，那么：y22pxp0|AB|x

2、1x2py22pxp0|AB|px1x2x22pyp0|AB|y1y2px22pyp0|AB|py1y2根底自测1考虑辨析1抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形2AB为抛物线y22pxp>0的过焦点F的弦，假设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.3过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x22aya>0的通径长为2a.提示1×抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形232顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的间隔 为4的抛物线方程是 Ax216yBx28yCx2±8yDx2&

3、#177;16yD顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x22py，x22pyp>0由顶点到准线的间隔 为4知p8，故所求抛物线方程为x216y，x216y.3抛物线y22pxp>0的焦点F，点P1x1，y1、P2x2，y2、P3x3，y3在抛物线上，且2x2x1x3，那么有 【导学号：33242183】A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|·|FP3|FP2|2C由抛物线定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，|FP1|FP3|2|FP2|，应选C.合 作 探 究·攻

4、重 难由抛物线的几何性质求标准方程抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的间隔 为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程思路探究解答此题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可解椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22pxp>0抛物线的焦点到顶点的间隔 为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.规律方法用待定系数法求抛物线方程的步骤：跟踪训练1双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解因为

5、双曲线1的右顶点坐标为2，0，所以2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y28x，其准线方程为x2.抛物线几何性质的应用抛物线y28x，1求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围2以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，假设焦点F是OAB的重心，求OAB的周长. 【导学号：33242184】思路探究1利用抛物线对应性质的公式求解；2利用抛物线的对称性即重心的性质求解解1抛物线y28x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为0,0，2,0，x2，x轴，x0.2如下图由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，那

6、么|OF|OM|.因为F2,0，所以|OM|OF|3，所以M3,0，故设A3，m代入y28x得m224，所以m2或m2，所以A3,2，B3，2，所以|OA|OB|，所以OAB的周长为24.规律方法抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易无视这些隐含的条件.此题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称.另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质.跟踪训练2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22pxp>0上，求这个正三角形的边长. 解如下图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A

7、x1，y1，Bx2，y2，那么y2px1，y2px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20，整理得x1x2x1x22p0.x10，x20,2p0，x1x2，由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30°，所以y1x1，与y2px1联立，解得y12p.|AB|2y14p.焦点弦问题探究问题以抛物线y22pxp0为例，答复以下问题：问题1：过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？提示1|AB|2焦点弦长与中点关系2|AB|x1x2p为AB的倾斜角3A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2，y1·y2p2.4SAO

8、B.5定值6A1FB190°.问题2：以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？提示如图，AB是过抛物线y22pxp>0焦点F的一条弦，设Ax1，y1，Bx2，y2，AB的中点Mx0，y0，相应的准线为l.所以以AB为直径的圆必与准线l相切抛物线方程为y22pxp>0，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程. 【导学号：33242185】思路探究根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程解过焦点的弦长|AB|p弦所在的直线的斜率存在且不为零设直线AB的斜率为k，且Ax1，y1，Bx2，y2y22px的焦点为F.直线方程为yk.由整理

9、得k2x2k2p2pxk2p20k0，x1x2，|AB|x1x2pp，又|AB|p，pp，k±2.所求直线方程为y2或y2.母题探究：1.改变问法本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的间隔 解设AB中点为Mx0，y0，由例题解答可知2x0x1x2p，所以AB的中点M到y轴的间隔 为p.2变换条件本例中，假设A、B在其准线上的射影分别为A1，B1，求A1FB1.解由例题解析可知AB的方程为yk，即xy，代入y22px消x可得y2yp2，即y2yp20，y1y2p2，由A1点的坐标为，B1点的坐标为，得k，k.k·k1，A1FB190°.规律方法解决过焦点的直线与抛物

10、线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.当 堂 达 标·固 双 基1设抛物线y28x上一点P到y轴的间隔 是6，那么点P到该抛物线焦点F的间隔 是A8 B6C4 D2A抛物线的方程为y28x，其准线l的方程为x2，设点Px0，y0到其准线的间隔 为d，那么d|PF|，即|PF|dx02x02，点P到y轴的间隔 是6，x06，|PF|628.2在抛物线y216x上到顶点与到焦点间隔 相等的点的坐标为 【导学号：33242186】A4，±2B±4，2C±2,4D2，±4D抛物线y216x的顶点O0,0，焦点F4,0，设Px，y符合题意，那么有所以符合题意的点为2，±43设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，假设·4，那么点A的坐标是A2，±2B1，±2C1,2D2,2B由题意知F1,0，设A，那么，由·4得y0±2，点A的坐标为1，±2，应选B.4抛物线C：y28x的焦点为F，P是C上一点，假设P在第一象限，|PF|8，那么点P的坐标为_6,4抛物线的焦点为F2,0，设点P的坐标为x0，y0，