第2章 §6　平面向量数量积的坐标表示

1、.§6平面向量数量积的坐标表示学习目的：1.掌握数量积的坐标表达式重点2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系重点3理解直线的方向向量的概念难点自 主 预 习·探 新 知1平面向量数量积的坐标表示设向量ax1，y1，bx2，y21a·bx1x2y1y2；2a2xy，即|a|；3设向量a与b的夹角为，那么cos ；4abx1x2y1y20.考虑1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？提示：能aba·bx1x2y1y20.2直线的方向向量给定斜率为k的直线l，那么向量m1，k与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量考

2、虑2：直线的方向向量唯一吗？提示：不唯一因为与直线l共线的非零向量有无数个，所以直线l的方向向量也有无数个根底自测1判断正确的打“，错误的打“×1假设两非零向量的夹角满足cos 0，那么两向量的夹角一定是钝角2假设Ax1，y1，Bx2，y2，那么|.3两向量a与b的夹角公式cos 的使用范围是a0且b0.答案1×232a1,3，b2,4，那么a·b的值是_解析a·b1×23×410.答案103a2，1，b1，x，且ab，那么x_.解析由题意知a·b2×11×x0，得x2.答案24向量a4，1，bx,3，假

3、设|a|b|，那么x_. 【导学号：64012133】解析由|a|b|得，解得x±2.答案±25a3，1，b1，2，那么a与b的夹角为_解析设a与b的夹角为，那么cos ，又0，所以.答案合 作 探 究·攻 重 难平面向量数量积的坐标运算向量a和b同向，b1,2，a·b10，求：1向量a的坐标；2假设c2，1，求a·c·b.解1设ab，2a·b10，·cos 0°10，解得2.a2,42a·c·b2×24×1·b0·b0.规律方法进展向量的数量积

4、运算，前提是牢记有关的运算法那么和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进展数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再根据计算.跟踪训练1向量a1,3，b2,5，c2,1求：1a·b；2ab·2ab；3a·b·c，a·b·c解1a·b1,3·2,51×23×517.2ab1,32,53,8，2ab21,32,52,62,50,1，ab·2ab3,8·0,13×08×18.3a·b·c17c172,1

5、34,17，a·b·ca·2,5·2,11,3·2×25×191,39,27向量的夹角及垂直a1,2，b2，4，|c|.1求|a2b|；2假设ab·c，求向量a与c的夹角. 【导学号：64012134】思路探究1利用|a|求解2利用cos 求解解1a2b1,222，43，6，|a2b|3.2b2，421,22a，aba，ab·ca·c.设a与c的夹角为，那么cos .0，即a与c的夹角为.规律方法1向量的坐标求向量的模长度时，可直接运用公式|a|进展计算2求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步

6、骤为：1先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；2再求出两向量的模；3由公式cos ，计算cos 的值；4在0，内，由cos 的值确定角.跟踪训练2a1,2，b1，分别确定实数的取值范围，使得：1a与b的夹角为直角；2a与b的夹角为钝角；3a与b的夹角为锐角解a·b1,2·1，12.1因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以a·b0，即120，所以.2因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0，且cos 1，所以a·b0，且a与b不反向由a·b0，得120，故，由a与b共线得2，故a与b不可能反向所以的取值范围为.3因为a与b的夹角为

7、锐角，所以cos 0，且cos 1，所以a·b0且a，b不同向由a·b0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为2，向量的模探究问题1由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的间隔 公式？提示：设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x2x1，y2y1，由向量长度的坐标表示可得|AB|.2求向量的坐标一般采用什么方法？提示：一般采用设坐标、列方程的方法求解设平面向量a1,1，b0,2求a2b的坐标和模的大小. 【导学号：64012135】思路探究利用向量的坐标运算求得a2b的坐标表示，然后求模解a1,1，b0,2，a2b1,120,21，3，|a2b|.母题探究1将例3中的条

8、件不变 ，假设c3aa·bb，试求|c|.解a·bx1x2y1y22，c31,120,23，1，|c|.2将例3中的b0,2改为b0，2，其他条件不变，假设kab与ab共线，试求k值解a1,1，b0，2，kabk1,10，2k，k2ab1,10，21，1kab与ab共线，k2k0.k1.3例3中的b0,2改为b0，2，其他条件不变，假设kab的模等于，试求k值解kabk1,10，2k，k2，kab的模等于.，化简得k22k30，解得k1或k3.即当k1或k3时满足条件规律方法求向量的模的两种根本策略1字母表示F的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积

9、的问题2坐标表示F的运算假设ax，y，那么a·aa2|a|2x2y2，于是有|a|.当 堂 达 标·固 双 基1假设向量ax,2，b1,3，a·b3，那么xA3B3C DAa·bx63，故x3.2a，1，b1，那么a，b的夹角A30° B60°C120° D150°Dcos ，又因为0°，180°，所以150°.3向量a1，n，b1，n，假设2ab与b垂直，那么|a|等于A1 B.C2 D4C2ab·b2a·b|b|221n21n2n230，n±.|a|2.4向量b与向量a1，2的夹角是180°，且|b|3，那么bA3,6 B3，6C6，3 D6,3A由题意，设ba，2<0，由于|b|3.|b|3，3，即