第2章 2.6 2.6.3　曲线的交点

1、.2.6.3曲线的交点学习目的：1.掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数重点2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题难点3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论易错点自 主 预 习·探 新 知教材整理两条曲线的交点与相交弦长阅读教材P65的部分，完成以下问题1两条曲线的交点对于曲线C1：f1x，y0和曲线C2：f2x，y0，1P0x0，y0是C1与C2的公共点2求两条曲线的交点坐标，就是求方程组的实数解2弦长公式设直线l的方程为ykxb，l与圆锥曲线交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，那么弦长公式为AB|x1x2|y1y2|.3代

2、点法设直线l与圆锥曲线C：fx，y0交于Ax1，y1，Bx2，y2两点，那么可将A，B两点坐标代入方程fx，y0，得两式作差，变形，即可得到弦AB的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法1判断正确的打“，错误的打“×1过椭圆上一点P的直线与该椭圆必有两个公共点2过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条3与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切4当直线与圆锥曲线相交时，假设交点坐标方便求出，也可用两点间间隔 公式求弦长答案1×2×3×42直线ymx1与椭圆x24y21有且只有一个交点，那么m2_.解析由得14m2x28

3、mx30.由题意得64m21214m20，解得m2.答案3曲线x22xyy220与x轴的交点坐标为_解析在曲线方程中，令y0，得x220，解得x±，那么曲线与x轴的交点坐标为±，0答案±，04直线yx1与曲线x22y交于A，B两点，那么AB_. 【导学号：71392135】解析由得x22x20，设Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x22，x1x22，由弦长公式得AB·2.答案2合 作 探 究·攻 重 难曲线公共点的个数问题直线l：kxy20，双曲线C：x24y24，当k为何值时：1l与C无公共点；2l与C有唯一公共点；3l与C有两个不同的公共

4、点. 【导学号：71392136】精彩点拨直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值自主解答将直线与双曲线方程联立消去y，得14k2x216kx200. 当14k20时，有16k2414k2·201654k21当14k20且<0，即k<或k>时，l与C无公共点2当14k20，即k±时，显然方程只有一解当14k20，0，即k±时，方程只有一解故当k±或k±时，l与C有唯一公共点3当14k20，且>0时，即<k<，且k±时

5、，方程有两解，l与C有两个公共点名师指津断定直线与圆锥曲线公共点个数的步骤再练一题1抛物线的方程为y24x，直线l过定点P2,1，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y24x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？图2­6­6解1当k0时，直线l与x轴平行，易知与抛物线只有一个交点2当k0时，联立消去x，得ky24y42k10，164k×42k1当0，即k1或时，直线l与抛物线相切，只有一个公共点；当>0，即1<k<且k0时，直线l与抛物线相交，有两个公共点；当<0，即k<1或k>时，直线l与抛物线相离，没有公共点综上，当k1

6、或或0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当1<k<且k0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k<1或k>时，直线l与抛物线没有公共点直线被圆锥曲线截得的弦长问题斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长精彩点拨先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的间隔 公式，也可以从公式上考察A，B坐标间的联络，进展整体运算自主解答直线l过椭圆1的右焦点F11，0，又直线的斜率为2.直线l的方程为y2x1，即2xy20.法一：由方程组得交点A0，2，B.那么AB.法二：设Ax1，y1，Bx2，y2，那么A，B的坐标为方程组的公共解对方程组消去y，得3x

7、25x0，那么x1x2，x1x20，AB.法三：设Ax1，y1，Bx2，y2，联立消去y，得3x25x0，那么x1，x2是方程3x25x0的两根x1x2.由圆锥曲线的统一定义，得AF1×5x1，F1B×5x2，那么ABAF1F1B×10x1x2×.名师指津弦长的求法1求弦长要分一般弦还是焦点弦，假设是一般弦，利用一般弦长公式求解，假设是焦点弦，可利用圆锥曲线的统一定义求解.2弦中点坐标与弦所在直线斜率间的互求一般利用点差法较为简捷.再练一题2如图2­6­7，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点，假

8、设直线l的倾斜角为45°，求ABF2的面积图2­6­7解由椭圆的方程1知，a4，b3，c.由c知F1，0，F2，0，又直线l的斜率ktan 45°1，直线l的方程为xy0.设Ax1，y1，Bx2，y2，那么由法一：消去y，整理得25x232x320，x1x2，x1x2，AB.又点F2到直线l的间隔 d，SAB·d××.法二：消去x，整理得25y218y810，y1y2，y1y2.|y1y2|，SF1F2·|y1y2|×2×.直线与圆锥曲线的综合问题椭圆1ab0，过点Aa,0，B0，b的直线倾斜角

9、为，焦距为2.1求椭圆的方程；2直线过D1,0与椭圆交于E，F两点，假设2，求直线EF的方程；3是否存在实数k，直线ykx2交椭圆于P，Q两点，以PQ为直径的圆过D1,0？假设存在，求出k的值；假设不存在，请说明理由. 【导学号：71392137】精彩点拨1根据直线的倾斜角求得a，b的关系式，又2c2，结合a2b2c2可得a2和b2，即得方程；2设出直线方程，利用2及韦达定理可求EF的方程；3假设存在，利用PDQD建立方程推导自主解答1由，a2b2c22，得a，b1，所以椭圆方程为y21.2设EF：xmy1m0，代入y21，得m23y22my20，设Ex1，y1，Fx2，y2，由2，得y12y

10、2.由y1y2y2， y1y22y，得，m1或m1.直线EF的方程为xy10或xy10.3将ykx2代入y21，得3k21x212kx90.*记Px1，y1，Qx2，y2，那么x1x2，x1x2，PQ为直径的圆过D1,0，那么PDQD，即x11，y1·x21，y2x11x21y1y20，又y1kx12，y2kx22，得k21x1x22k1x1x250，解得k，此时*方程0，存在k满足题设条件名师指津存在性问题的一般方法对于存在性问题，一般是假设存在，利用条件进展推导，如本例中的以PQ为直径的圆过点D，转化为PDQD，假设存在，那么利用构建的方程可解出未知数；假设不存在，那么推出矛盾.

11、再练一题3设双曲线C：y21a>0与直线l：xy1相交于两个不同点A，B.1求双曲线C的离心率e的取值范围；2设直线l与y轴的交点为P，假设，求a的值. 【导学号：71392138】解1将yx1代入双曲线y21a>0中得1a2x22a2x2a20.所以解得0<a<，且a1.又双曲线的离心率e，所以e>，且e.2设Ax1，y1，Bx2，y2，P0,1，因为，所以x1，y11x2，y21由此得x1x2.由于x1，x2是方程1a2x22a2x2a20的两根，且1a20，所以x2，x，消去x2，得.由a>0，解得a.直线与圆锥曲线的相交弦问题探究问题解决直线与圆锥曲

12、线的相交弦问题要注意什么？提示1“设而不求的方法，假设直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般地，首先设出交点坐标Ax1，y1，Bx2，y2，其中有四个参数x1，y1，x2，y2，它们只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用根与系数关系等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法2涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式AB|x1x2|·|y1y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决3解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率椭圆1，过点P2,1作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程精

13、彩点拨设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y，得关于x的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法求解自主解答法一：由题意，弦所在直线存在斜率，设所求直线的方程为y1kx2，代入椭圆方程并整理，得4k21x282k2kx42k12160.又设直线与椭圆的交点为Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1，x2是上面的方程的两个根，所以x1x2，因为P为弦AB的中点，所以2，解得k，所以所求直线的方程为x2y40.法二：设直线与椭圆交点为Ax1，y1，Bx2，y2，因为P为弦AB的中点，所以x1x24，y1y22，又因为A，B在椭圆上，所以x4y16，x4y16，两式

14、相减，得xx4yy0，即x1x2x1x24y1y2y1y20，所以，即kAB.所以所求直线的方程为y1x2，即x2y40.再练一题4过点P1,1的直线与椭圆1交于A，B两点，假设线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长AB.解设Ax1，y1，Bx2，y2，由A，B两点在椭圆上得两式相减得x1x2x1x22y1y2y1y20. 显然x1x2，故由得kAB.因为点P是AB的中点，所以有x1x22，y1y22. 把代入得kAB，故AB的直线方程是y1x1，即x2y30.由消去y得3x26x10，x1x22，x1x2，AB··.当 堂 达 标·固 双 基1过点0

15、,1且与抛物线y2x只有一个公共点的直线有_条解析点0,1在抛物线y2x的外部，过点0,1与抛物线相切的直线有两条过点0,1平行于对称轴的直线有一条，因此，只有一个公共点的直线共有3条答案32直线xy10与抛物线yax2相切，那么a等于_. 【导学号：71392139】解析由题意知a0.由消去y得ax2x10，该方程的判别式124×a×114a，令0，即14a0，解得a.答案3直线ykxk1与椭圆1的交点个数为_解析由于直线ykxk1kx11过定点1,1，而1,1在椭圆内，故直线与椭圆必相交，故有2个交点答案24假设直线y2xb被曲线y24x截得的弦AB的长为3，那么实数b等于_解析联立方程得4x24b4xb20，*设两个交点的坐标为Ax1，y1，Bx2，y2，那么由根与系数的关系，得故AB·|x1x2|··3.化简