第3章 3.1 3.1.5 空间向量的数量积

1、.3.1.5空间向量的数量积学习目的：1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律重点2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和间隔 的简单问题重点、难点3.理解向量夹角与直线所成角的区别易错点自 主 预 习探 新 知教材整理1空间向量的夹角阅读教材P91P92上半部分，完成以下问题a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，那么AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b，a，b的范围是0，如果a，b，那么称a与b互相垂直，记作ab.如图3127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求向量与夹角的大小图3127解，CAD1的大小就等

2、于，ACD1为正三角形，CAD1，.向量与夹角的大小为.教材整理2空间向量的数量积阅读教材P92例1以上的部分，完成以下问题1数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b规定：零向量与任一向量的数量积为0.2数量积的性质1cosa，ba，b是两个非零向量2abab0a，b是两个非零向量3|a|2aaa2.3数量积的运算律1abba；2ababR；3abcabac.1判断正确的打“，错误的打“1假设ab0，那么a0或b0.2在ABC中，B.3两个向量的数量积是数量，而不是向量4假设a，b均为非零向量，那么a

3、b|a|b|是a与b共线的充要条件答案12342|a|，|b|，ab，那么a与b的夹角为_. 【导学号：71392174】解析cosa，b，又a，b0，a，b.答案教材整理3数量积的坐标表示阅读教材P93P94例3以上的部分，完成以下问题1假设ax1，y1，z1，bx2，y2，z2，那么1abx1x2y1y2z1z2.2abab0x1x2y1y2z1z20a0，b03|a|.4cosa，ba0，b02空间两点间间隔 公式设Ax1，y1，z1，Bx2，y2，z2，那么AB.1假设a1,0,2，bx，y,1，且ab，那么x_.解析ab，abx20，解得x2.答案22与向量a1,2,2方向一样的单位

4、向量是_解析|a|3，故与a方向一样的单位向量是1,2,2.答案合 作 探 究攻 重 难求空间向量的数量积长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求以下向量的数量积1；2. 【导学号：71392175】精彩点拨法一基向量法：与，与的夹角不易求，可考虑用向量，表示向量，再求结论即可法二坐标法：建系求相关点坐标向量坐标数量积自主解答法一基向量法：如下图，设a，b，c，那么|a|c|2，|b|4，abbcca0.1b|b|24216.2ac|c|2|a|222220.法二坐标法：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，那么B2,0,0，

5、C2,4,0，E1,0,1，D10,4,2，F0，2,2，A0,0,0，B12,0,2，0,4,0，1,4,1，2,2,2，2,0,2，101440116.22220220.名师指津解决此类问题的常用方法1基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算.注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量.2坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可.再练一题1在上述例1中，求.解法一：abc|a|2|b|22.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，那么E1,0,1，F0，2,2

6、，C12,4,2，1,2,1，2,2,0，1222102.利用数量积求夹角和间隔 如图3128所示，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.图31281求AC的长；2求与的夹角的余弦值. 【导学号：71392176】精彩点拨求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC的基向量，只要模与夹角均可知，那么问题可求解，求夹角问题那么是向量数量积的逆用自主解答1，|22|2|2|2242325220107.585.|.2法一：设与的夹角为，ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos .法二：设a，b，c，依题意得abcaba22abb2acbc160

7、945cos 6035cos 6016910，cos .名师指津1求两点间的间隔 或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通过向量运算求|a|.2对于空间向量a，b，有cosa，b.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，故a，b时，它们相等；而当a，b时，它们互补再练一题2如图3129，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设a，b，c.图31291用a，b，c分别表示向量，；2求异面直线DM与CN所成角的余弦值解1acbcab2c，abba2b2设棱长为1，即|a|b|c|1

8、且a，bb，cc，a，那么|.又ab2ca2ba2ab2ac2ab2b24bc，cos，.异面直线DM与CN所成角的余弦值为.利用数量积解决平行和垂直问题a1,1,2，b6,2m1,21假设ab，分别求与m的值；2假设|a|，且a与c2，2，垂直，求a.精彩点拨利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解自主解答1由ab，得1,1,2k6,2m1,2，解得实数，m3.2|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a0,1，2名师指津向量平行与垂直问题主要有两种题型1平行与垂直的判断.2利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用.再练一题3如图3130所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB

9、1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中点求证：A1BC1M. 【导学号：71392177】图3130证明如下图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B0,1,0，A11,0,2，C1(0，0，2，B10,1,2，那么M，于是1,1，2，00，故A1BC1M.空间向量数量积的运算特征探究问题1数量积运算是否满足消去律？提示对于三个不为0的实数a，b，c，假设abac，那么bc.对于三个非零向量a，b，c，假设abac，不能得出bc，即向量不能约分如图，在三棱锥SABC中，SC平面ABC，那么SCAC，SCBC.设a，b，c，那么abac0，但bc.2数量积运算是否有除法？提

10、示数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，假设abk，不能得到a，例如当非零向量a，b垂直时，ab0，但a显然是没有意义的3数量积运算满足结合律吗？提示由定义得abc|a|b|cosa，bc，即abc1c；abca|b|c|cosb，c，即abc2a，因此，abc表示一个与c共线的向量，而abc表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以abcabc不一定成立如图3131，正四面体OABC的棱长为1.求：图31311；2；3|.精彩点拨在正四面体OABC中，的模和夹角都，因此可以先把相关向量用，线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可自主解答在正四面体OABC中，|1，6

11、0.1|cosAOB11cos 60.222222122211cos 6012211cos 60111111.3|.再练一题4a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，那么a，b_. 【导学号：71392178】解析由条件知，a3b7a5b7|a|216ab15|b|20，及a4b7a2b7|a|28|b|230ab0.两式相减，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.答案60当 堂 达 标固 双 基1向量a4，2，4，b6，3,2，那么abab的值为_解析ab10，5，2，ab2,1，6，abab2051213.答案132向量a2，3,0，bk,0,3假设a，b成120的角，那么k_.解析cos a，b，得k.答案3如图3132，正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，那么异面直线AB1和BM所成的角的大小是_图3132解析，设棱长为1.又000，cos，0，直线AB1与BM所成的角为90.答案904正方形A