高中数学数系的扩充与复数的引入习题课 苏教版选修22

1、习题课复数明目标、知重点1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义1复数的四则运算，若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1·z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：i(z20)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1±i)2±2i；若±i，则31,120.2共轭复数与复数

2、的模(1)若zabi，则abi，z为实数，z为纯虚数(b0)(2)复数zabi的模，|z|，且z·|z|2a2b2.3复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连结向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数题型一复数的四则运算例1(1)计算：2 012；(2)已知z1i，求的模解(1)原式1 006i(i)1 00601i.(2)1i，的模为.反思与感悟复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)÷(cdi)的形式，首先应该写成分

3、式的形式，然后再分母实数化跟踪训练1(1)已知2i，则复数z_.答案13i解析方法一2i，(1i)(2i)23i113i，z13i.方法二设zabi(a，bR)，abi，2i，z13i.(2)i为虚数单位，则2 011等于_答案i解析因为i，所以2 011i2 011i4×5023i3i.题型二复数的几何意义例2已知点集Dz|z1i|1，zC，试求|z|的最小值和最大值解点集D的图象为以点C(1，)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|z|.由图知，当OP过圆心C(1，)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|OC|11211，即|z|min1；|z|的最大值

4、是|OB|OC|1213，即|z|max3.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离跟踪训练2已知复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1z2|，求|z1z2|的值解如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为z1z2.这里|3，|5，|.cos AOB.cos OBC.又|3，|z1z2|.题型三两个复数相等例3设复数z和它的共轭复数满足4z23i，求复数z.解设zabi(a，bR)因为4z23i，所以2z(2z2)3i.

5、2z22(abi)2(abi)4a，整体代入上式，得2z4a3i.所以z.根据复数相等的充要条件，得解得所以z.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题跟踪训练3关于x的方程x2(32i)x3ai0有非零实根，求实数a的值及方程的实数根解设方程的实数根为b(b0)，代入方程x2(32i)x3ai0，化为b23b(2b3a)i0.所以已知b0，解得b3，a2.故实数a的值及方程的实数根分别为2和3.1设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为_答案2解析设bi(bR且b0)，则1aibi(2i)b2b

6、i，所以b1，a2.2复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、42i，由ABCD按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|_.答案解析设D点对应复数为z，1iz(42i)，z33i，对应的复数为23i，|.3已知复数z，其中i是虚数单位，则|z|_.答案解析zi，|z|.4设复数z满足关系：z|2i，那么z_.答案i解析设zabi(a，bR)，由已知abi2i，由复数相等可得故zi.5设复数z，若z2a·zb1i，求实数a，b的值解z1i.因为z2a·zb1i，所以(1i)2a(1i)b1i.所以(ab)(a2)i1i.所以解得a3，b4.即实数a，b的值分别是3,4.呈重

7、点、现规律1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.一、基础过关1复数的虚部是_答案解析i.2复数的共轭复数是_答案i3若(m25m4)(m22m)i>0，则实数m的值为_答案0解析由，得m0.4复数z1i，为z的共轭复数，则zz1_.答案i解析z1i，则zz12(1i)1i.5已知(ai)22i，那么实数a_.答案1解析由题意，得a212ai2i.由复数相等的充要条件，得解得a1.6设复数z满足条件|z|1，那么|z2i|的最大值是_答案

8、4解析复数z满足条件|z|1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z2i|即表示单位圆上的动点到定点(2，1)的距离从图形上可得|z2i|的最大值是4.7已知aR，z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？解由a22a4(a1)233，(a22a2)(a1)211，复数z的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限设zxyi (x、yR)，则消去a22a得：yx2 (x3)复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为yx2 (x3)二、能力提升8在复平面内，复数(2i)2对应的点位于第_象限答案四解析(2i)244ii234i，对应点坐标(3，4)，位

9、于第四象限9设i是虚数单位.是复数z的共轭复数若z·i22z，则z_.答案1i解析设zabi，a，bR，代入z·i22z，整理得：(a2b2)i22a2bi，则解得因此z1i.10已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_.答案解析|z|.11已知复数z3bi(bR)，且(13i)·z为纯虚数(1)求复数z.(2)若，求复数的模|.解(1)(13i)·(3bi)(33b)(9b)i.因为(13i)·z为纯虚数，所以33b0，且9b0，所以b1，所以z3i.(2)i，所以|.12.在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数解(1)设所求向量对应的复数为z1abi(a，bR)，则点B的坐标为(a，b)已知A(2,1)，由对称性可知a2，b1.所以对应的复数为z12i.(2)设所求点C对应的复数为z2cdi(c，dR)，则C(c，d)由(1)，得B(2，1)由对称性可知，c2，d1.故点C对应的复数为z22i.三、探究与拓展13.是否存在复数z，