高次不等式的解法

1、高次不等式的解法-穿根法一方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) 1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>02-4-5根据穿根法如图不等式解集为xx>2或x<-4且x5.(2) 变形为0221131

2、根据穿根法如图 不等式解集为x|x<或x1或x>2.  【例2】  解不等式：(1)2x3-x2-15x0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30【分析】  如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0(或f(x)0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0顺轴然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(51)的阴影部分(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30原不等式解集为x|x-5或-5x-4或x2【说明】  用“穿根法”解不等式时应注意

3、：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52)数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为 正数）例如：将x3-2x2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，

4、然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。【典型例题】例1、解不等式(1)2x3-x2-15x0；(2) (x+4)(x+5)2(2-x)40例2、解下列不等式： (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)&g

5、t;0； (x+2)(x2+x+1)>0； (x+2)2(x+1)<0； （4）(x+2)2(x+1)0；（5） (x2-1)(x2-5x-6)> 0例3、解下列不等式：(x2-1)(x-1)(x2-x-2)<0； (x+1)2(x-2)2(x-1)0； (x-1)2(x2-x-2)0；例4、解不等式：例5、解不等式：例6、解不等式：例7、解不等式：例8、解不等式：（不能十字相乘分解因式；无法分解因式）例9、解下列不等式。x+2+>7+； 1； 0。【巩固练习】1、解下列不等式：(x+1)2(x-1)(x-4)>0；(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)&