高中数学选修22数学归纳法及其应用举例

1、课题：数学归纳法及其应用举例教材：人民教育出版社A版一、教学目标【 知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理

2、的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。二教学重点、难点【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。三、教学过程设计项 目内 容师生活动设计意图教学过程分析一、创设情境设计趣例分别计算、的值，猜想的值，这种方法对吗？等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，如何证明这

3、类有关正整数的命题呢？师：提出问题，引导学生回忆求解数列通项公式的一些常用方法。生：回忆、叙述求解数列通项公式的步骤。让学生创设一个由有限多个特殊事例得出一般结论的数学公式。引入课题，揭示学习数学归纳法的必要性产生问题，体会找到解决问题法的必要性2、背景介绍：生活中的的例子：（多媒体演示多米诺骨牌游戏）教师引导，学生归纳：1第一块骨牌倒下2假设第一快骨牌倒掉后，第二快骨牌一定也要倒下，第二快骨牌倒下后，第三快一定也要倒下也就是说，假设前面一块倒下后，后面一块一定也要倒下；即假设当第n快倒下后，第n+1快也一定要倒下，这样才能保证所有骨牌都能倒下.强调  很显然，这两个条件缺一不可.师

4、：通过“多米诺骨牌”的背景介绍，提出问题：多米诺骨牌全部依次倒下的条件：生：观看多媒体演示并讨论思考多米诺骨牌全部依次倒下的条件通过背景材料，加深学生对问题的理解，并明白“为什么要学”。体会问题产生于生活。同时激发学习兴趣，提高学习的积极性。二、探索新知师生共同用探究出的方法尝试证明等差数列通项公式。 1.置疑对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。2.论证（说理）本阶段用逻辑推理的形式展开研究：当一个命题满足上面（1）、（2）两个条件时时命题成立时命题成立即对一切，命题均成立。让学生对以上逻辑推理进行充分置疑师生共同探讨数学归纳法的合理性。【问题思考】：根据以上逻辑推理：条件（1），条件（2

5、）分别起什么作用？条件（1），条件（2）为什么缺一不可？要证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立，只须满足：（1）n取第一个值(例如 )时命题成立;（2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切n均成立。这种证法的本质步骤可以归结为“证明两个条件，得出一个结论”.这种证明方法就叫做数学归纳法(板书课题).教师启发，师生共同总结其中假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理性认识。这一阶段从介绍递推思想开始，到认识递推

6、思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义.理解数学归纳法中的递推思想，要特别注意其中第二步，即证明 命题成立时必须用到 时命题成立这个假设条件中学数学中的许多重要结论，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步.二、探索新知 【问题探究】：1 当时，证明的目标是什么？2 当时，能否这样证明：数学归纳法两个步骤，第一个步骤是命题递推的基础.，第二个步骤是命题递推的根据，二者缺一不可，其中第二步是数学归纳法的核心，在从n=k到n=k+1 的递推过程中，必须要用到归纳假设，这是数学归纳法证题的本

7、质特征.否则，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.本例主要由学生完成，教师适时作必要引导。这样处理有利于培养学生用所学知识解决问题的能力。师生共同探求数学归纳法两个步骤的关系以及数学归纳法的关键步骤借助具体题目使学生进一步体会数学归纳法的原理，规范利用数学归纳法解题的步骤对知识的加深理解和进一步升华三、练习用数学归纳法证明：2.首项是，公比为的等比数列的通项公式是师：针对学生的解答强化或给予肯定。生：自主思考，探究解题思路。使学生“学以致用”利用已有知识解决实际问题，增强学习数学的兴趣四、小结1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。2数学归纳法证明命

8、题的两个步骤。3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。（1） 5证明n=k+1命题成立时，要明确证明的目标教师引导下学生总结概括使学生在总结过程中深化对数学归纳法的认识五、作业课本96页习题2.3A组2 B组1.2师：教师布置作业生：自主完成作业。运用知识解决问题板书设计四、教学设计说明：1数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可你怎么知道n

9、=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试2在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法目的是在于加强学生对教学过程的参与程度为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨