高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题

1、函数专题之值域与最值问题一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+ V(23x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出V(2- 3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知V(2- 3x) 0故 3+V(2-3x) 3函数的知域为点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数 y=x(0 x胡的值域。(答案：值域为：0, 1, 2, 3 , 4 , 5)二反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域

2、就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1 -2y)/ (y- 1),其定义域为yl的实数，故函 数y的值域为 y I y丰1,y R 。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数 y=(10x+10-x)/(10x 10-x)的值域。(答案：函数的值域为 y I y1)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域例3 :求函数y= V( x2+x

3、+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由x2+x+2 0可知函数的定义域为 x 1 , 2。此时x2+x+2= ( x 1/2 ) 2 + 9/4 0 , 9/4 0a x2+x+2 w 3/2,函数的值域是0,3/2点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数 y=2x 5 + V15- 4x的值域.(答案:值域为y I y0 解得：2 v xw 10/3当y=2时，方程(*)无解。函数的值域为2v yw 10/3o点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=O，由于方程有实

4、数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如 y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f) 及y=ax+bV(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数 y=1/(2x2 3x+1)的值域。(答案：值域为y 0 )。五. 最值法对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值 f(a).f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x- 3)/(3x2+x+1) 0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3W 0同解，解之得 K x 3/2又x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-

5、K x 3/2), z=-(x-2)2+4 且x -1,3/2,函数z在区间-1,3/2上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时，z= 5 ;当 x=3/2 时，z=15/4 。函数z的值域为 z I 5W z 15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若 Vx为实数，则函数 y=x2+3x-5的值域为()A . ( , + )B . 7，+ m C . 0，+ x) D . 5 ,+ )(答案：D )。六. 图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y= I x+1 I +V (x2

6、)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为2x+1 (x w 1)y= 3 (- 1x2)它的图象如图所示。显然函数值y3所以，函数值域3,+点评：分段函数应注意函数的端点。禾U用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值 域。七. 单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x Vl- 3x(x w 1/3的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= Vl-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为xw 1/3在此

7、区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解:设f(x)=4x,g(x)= VL3x ,(x w 1/3易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4xVl-3x在定义域为xw 1/3上也为增函数，而且yw f(1+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y w 4/3。点评：利用单调性求函数的值域， 是在函数给定的区间上， 或求出函数隐含的区间， 结合 函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+“4-x的值域。(答案： y|y 3 )八. 换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求

8、出值域。例2求函数y=x-3+V2x+1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t= V2x+1 (t 0，则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4 1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为 y|y 7/2 o点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y= V-1 -x的值域。(答案： y|y二3/4 九. 构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函

9、数y= Vx2+4x+5+ Vx-4x+8的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为 f(x)= V (x+2)2+1+ V(22+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设 HK=x,贝U ek=2-x ,KF=2+x,AK=V(2 -x)2+22 ,KC=/ (x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KO AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为 y|y 5。点评：对于形如函数 y= Vx2+a “xC2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由 几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思

10、想的体现。练习：求函数 y= Vx2+9 + V -5)2+4的值域。(答案： y|y 5V2)十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例4已知x,y R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k= 3/5 时,x=3/5,y= 4/5 时,zmin=1 。函数的值域

11、为 z|z .点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可 将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知 x,y R,且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=2x2-y 的值域。(答案： f(x,y)|f(x,y) 1十一利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3 - 1/(x+1)。/ 1/(x+1)工,故 y工3函数y的值域为yN的一切实数。点评：对于形如 y=(ax+b)/(cx+d)的形式的

12、函数均可利用这种方法。练习：求函数 y=(x2-1)/(x- 1)(x工的值域。(答案：y2)十二不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x),由对数函数的定义知x/(1-x) 01-XM0解得，0 v x1。函数的值域(0, 1 )。点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1 Y=V(15-4x)+2x-5 ;( y|y 1 或

13、 y0 )训练例题例1 求下列函数的值域2(1) y2 (2) y2 +x23x 1(x即)x -2(3) y=2x 4,1-x (4) 丫=乂亠4.9x?例 2.已知 x, y _ 0 , 2x 2 2 、,4 x 3xy y -6x-3y 的最值。例3 求下列函数的值域2(1)y _4x -2x 25(2)2x -xsin x(3) y =2 - cos x例4.如何求函数y =X 3(x . -1)的最值？ y = ： 1 (x . _1)呢?x +1x +3(1)f(x)x(x _2) (2) y =2x 一4 J -x (3)例5 求下列函数的值域1 _sin xy =| X -1

14、I I x 4 I (4) y =2 _cos x课后练习题、选择题1.已知函数log 2 X(X A 0) f(X) x3 (x 兰0)J，则f1()的值是4A.9B.1C. -99D.-2.若集合SA. 03.F列函数中值域是(1A. y =52 B.丿y | y-0 y | y的函数是1_xC.y I y 二 log 2(x 1), x -门，则 s t 等于D.y J，题号12345678910111213答案4. 定义在R上的函数y = f (x)的值域为a , b,则f (x 1)的值域为A. : a, b B. : a+1,b+1 C. : a 1,b 1 D. 无法确定25.

15、函数y =的定义域是(-：,1)2,5，则其值域是x -11 1A.(-: ,0)- ,2 B.(-: ,2) C.(- 二，一)2,+ ： D.(0,+:)226. 函数y =lgx2，(k 3)x 4的值域为R,则实数k的取值范围是A. 一7 空 k 乞1 B. k 乞 一7 或 k _1 C . 一1 乞 k 乞 7 D. k ：: 7 或 k 11 17. 已知函数f(x)满足2f(x)-f(),则f (x)的最小值是x | x| 2 . 2A. 28. 函数 y=|x_3|_|x - 1 |A.最小值为0,最大值为C.最小值为-4 ,最大值为B.D.最小值为-4，最大值为0 没有最大

16、值，也没有最小值9.已知f(2x - 1)的最大值为2,f (4 x 1)的最大值为a，贝U a的取值范围是A. a :：: 2 B . a . 2 C . a = 2 D.以上三种均有可能1 1110.已知a 0,b . 0,a、b的等差中项是,且：.二a - 二b -,则:.-:的最小值是A. 32abD.6B . 4C . 51 -x2t111.已知g ( x) 口1 - 2x,fg(x)2 (x = 0),则f ()=x2A . 1 5B . 1C . 3D.3012.设函数f(x)-1=彳(x 0)则(a b) (a b)f (a -b),(a丄b)的值为1(x 0)的值域为卜1 ,

17、 4，则a , b的值为x +12x 3 x _ 017 .函数y = * X十30 X兰1的最大值是x +5 x 1.已知 a,b 为常数，若 f (x) = x2 4x 3, f (ax b x2 10 x 24,则 5a - b 二 三、解答题:19. 求下列函数的值域(1)(2)-_x -(3)220. 已知函数f (x) =2x :bx *c(b vo)的值域为1, 3 ,求实数b、c的值。x +12 121. 设函数 f (x) = x x -4(1) 若定义域为0, 3，求f (x)的值域；1 1(2) 若定义域为a, a - 1时，f (x)的值域为,，求a的值.2 1622.

18、已知函数：x +1 _a ,、f (x)(aw R且 x = a)a _x（1）证明:f （x） h2Hf（2a_x）=0对定义域内的所有 x都成立.1(2)当f(x)的定义域为a , a M 时，求证：f (x)的值域为-3, _2; 2*(3)设函数 g(x) = x2 |(x - a)f(x)|,求 g (x)的最小值.函数的值域与最值参考答案（三）例题讲评例 1. （0,1；4, 3）; （- :,4;1, 4 3、22.y = 6 2x _0,及 x _0,. 0 mx 乞 323 22727=2x -6x 18 =2(x)(0 乞 x3)，最大值 18;最小值 一2 2 23.-1

19、,1)； -丄,1) ； 3, 3；3334.2 2j=（x -2（x4十1）.丄一2_2，当且仅当= （x . -1）时取等号；即x=1时，y的最小值是2。没有最大值。x +111另外y 22方法同上，即x =1时，y的最大值是一。没有最小值。x +3 x +32x 1111说明：本题不能用判别式法。因为x R。若用判别式法得y ，当y 时,626求得x - -3，不合。,54例 5.一，；）；（：，2 ； 5, ；）;0,23（以上各小题考虑了各种方法的顺序，有的方法给出2个小题，有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。）（四）练习题一、选择题题号12345678910111213答案BCBA

20、ABDCCCACC缩短变为原来的二分之一,纵坐标不变。故最值不变。10.提示：由 a b = 1 = 11-4 , ab114ab二、填空题14.7 ;15.4012;16.a =4,b=3 ;17. 4;18. 2。15.提示：f(a b)f(a)用赋值法或令xf (X) =29.提示：令g (x) = f (2x T)r g (2x) = f (4x亠1)，实际是将原函数图象的点的横坐标f (b)三、解答题19.解析先确定函数的定义域，正确选择方法，并作出相应的数式变换(1 )函数的定义域为x = -1,且x = 5 ,令 u = x 2 - 4x 一5 = (x _2)2 一9,. u 】：9且 u 严 0 ,、4即 u0 或9 兰u 0二440 或 b11(注)这里运用了不等式性质：丿=- 08c b2即 4y2 4(2+ c) y+8c b2 0,由已知得 2+c=1+3 且=1 x 34 b= 2, c=2 又 b -a -1