子主题三 应用一元二次方程根与系数的关系求方程中待定字母的值

1、一、 学习目标进一步理解和掌握会一元二次方程根与系数的关系，并应用一元二次方程根与系数的关系解决求方程中待定字母的值在经历过已知方程系数，求方程两根组成的代数式值的过程的基础上，经历并体验已知方程的根或两根组成的代数式值，求方程系数的逆过程，掌握用一元二次方程根与系数的关系，解决求字母值问题的方法 通过求字母的值，让学生感受到求字母的值或范围，需列出方程或不等式(组)，降低难度，改变学生对数学的看法和态度，在活动中体会数学的价值在合作学习中培养合作学习的意识和习惯，提高数学学习的兴趣和探究问题的能力二、 重难点分析利用一元二次方程根与系数的关系求方程中待定字母的值问题中隐含条件即求出的待定字母

2、的值必须确保方程有实数根利用一元二次方程根与系数的关系计算或证明，可以大大降低原来计算或证明的难度，也使计算或证明过程简化一元二次方程根与系数关系的应用关键是要抓住问题的本质，也就是要能够从所给的代数式中分解或构造出关于两个根的对称式，一个是两根和，一个是两根积这需要教师在教学中注意不断引导学生去观察、分析和转化三、活动建议方案应用一元二次方程根与系数的关系求方程中待定字母的值活动建议方案一、活动流程框图复习准备引入探究问题小组合作探究交流、总结、提高二、活动过程2.1活动任务通过利用一元二次方程的根与系数的关系来求方程中待定字母的值的过程，增进对一元二次方程根与系数的关系的理解，并总结求字母

3、值或范围问题的方法2.2活动内容第一步：提出任务利用一元二次方程的根与系数，求下列方程中待定字母的值第二步：学生分组探究此活动的组织中，学生以小组为单位进行探究教师要注意让学生记录自己的研究过程，可以从如下五个方面提出建议：第一，让学生观察和思考：求方程中待定字母问题与前面探究过的求代数式的值有什么区别和联系？第二，让学生思考：利用一元二次方程的根与系数的关系求字母的值，关键是要确定什么？第三，让学生思考：你得到的方程有实根吗？第四，让学生尝试归纳：这类求字母值的问题的基本方法和步骤是什么？第五，让学生将小组的探究过程记录下来，根据“过程性评价表“对自己小组的探究活动进行评价第三步：交流研究结

4、果 总结经验选择两个小组进行全班交流，交流研究过程和结果，并由其他小组指导评价，互相补充完善，总结研究方法参考资料1.韦达定理韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。 当时，方程（）有两个实数根，2数学家韦达韦达（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一他第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进他于1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于巴黎年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、

5、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著在欧洲他被尊称为“代数学之父”韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系给出三次方程不可约情形的三角解法著有分析方法入门论方程的识别与订正等多部著作他的应用于三角形的数学定律是其最

6、早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作韦达还专门写了一篇论文“截角术”，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中他考虑含有倍角的方程，具体给出了将cos(nx)表示成cos(x)的函数并给出当n11等于任意正整数的倍角表达式分析方法入门是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的数学文集第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的

7、思想，试图创立一般的符号代数他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus 表示x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”，以此区别于用来确定数目的“数的运算”当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路1593年，韦达又出版了另一部代数学专著分析五篇（5卷，约1591年完成）；论方程的识别与订正是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成而另一成就是记

8、载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1600年以幂的数值解法为题出版 1593年韦达在分析五篇中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解同年他的几何补篇（Supplementum geometriae）在图尔出版了，其中有给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识此外，韦达最早明确给出有关圆周率值的无穷运算式，而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393416个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的

9、时间里处于世界领先地位2.3活动组织方式教师提出活动任务，并适当引导、启发；学生在独立思考的基础上进行小组合作探究，完成探究任务；全班交流、总结，师生共同提炼探究结果2.4活动评价方式两个活动都结束后，采用学生互评和教师评价相结合的方式学生完成效果测试，根据效果测试结果进行自评；由小组组长根据过程性学习评价表和终结性学习评价表对自己组内成员的探究过程和结果进行评价；教师根据学生课堂上的探究情况，参考过程性学习评价表和终结性学习评价表对学生进行评价2.5所需学习资源求方程中待定字母的值（1）.swf求方程中待定字母的值（2）.swf求方程中待定字母的值（3）.swf求方程中待定字母的值.doc2

10、.6所需学习时间40分钟四、 学习评价评价的目的是记录学生的数学学习过程中的成长与进步，促进学生学习、身心、情感、价值观的全面发展，为其终身学习与社会化发展奠定厚实宽泛的基础评价的特点是评价主体多元（教师、学生）、评价手段多样（笔试、观察、主观、客观、定性、定量）、过程与结果并重 “应用一元二次方程根与系数的关系求方程中待定字母的值”过程性学习评价评价项目等级评价人备注小组成员参加讨论的人数本组长分为A、B两个等级，四项中算出共有几个A，几个B小组成员能够互相帮助合作意识强本组长小组成员汇报时表达清楚准确并能解答他组同学提出的问题外组长小组成员能及时回答和提出课堂中的问题教师成绩“应用一元二次方程根与系数的关系求方程中待定字母的值”终结性学习评价表评价项目等级评价人备注小组得到了结论本组长分为A、B两个等级，四项中算出共有几个A，几个B小组得到的结论与正确结论比较接近外组长小组得到了正确的结论教师练习应用时落实到位教师成绩 1. 已知关于x的方程x2+(2k-3)x+k2=0的两个实数根为m、n，且=1，求k的值2. 已知等腰三角形的一边长为1，另外两边长b、c恰好是关于x的方程x2-(k+2)x+2k=