弹性力学简单问题的求解

1、第五节第五节 弹性力学简单问题的求解弹性力学简单问题的求解 简单问题：简单问题：应力及应变是物体中的点坐标的线应力及应变是物体中的点坐标的线性函数或是常数值的问题。此时，当体积力为性函数或是常数值的问题。此时，当体积力为零时，应力恒满足零时，应力恒满足Beltrami-Michell相容性条相容性条件，只剩下平衡方程和边界条件需要处理。件，只剩下平衡方程和边界条件需要处理。 例题例题 正六面体不受体力作用，但各表面受均匀压力正六面体不受体力作用，但各表面受均匀压力p作用。作用。这个问题为（相当于）静水压力问题这个问题为（相当于）静水压力问题 采用应力法及逆解法采用应力法及逆解法，猜应力：，猜应

2、力： x= y= z=-p， xy= yz= zx=0；应力解是否满足力的边界条件；应力解是否满足力的边界条件?是否为真是否为真解解?它须满足平衡微分方程和应力表示变形协调方程它须满足平衡微分方程和应力表示变形协调方程 解：1）设）设应力应力：x=y=z=-p2）检查是否满足）检查是否满足平衡微分方程平衡微分方程满足满足 3）检查是否满足）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）应力表示的变形协调方程（无体力时） 011,ijkkij满足满足 xy=yz=zx=0ji,j+Fi =04）检查是否满足）检查是否满足应力的边界条件应力的边界条件 xyxzxxsssxyyzyysssxzyzz

3、zsssmnfmnfmnfxyza）前、后面：）前、后面：1 0mn00 xyzfpff 前面面力：前面面力：后面面力：后面面力：00 xyzfpff代入代入（A）满足满足 （A） xy= yz= zx=0 x= y= z=-pxyzb）左、右面：）左、右面：1m 0n00 xyzffpf左面面力：左面面力：右面面力：右面面力：00 xyzffpf 代入代入（A）满足满足 c）上、下面：）上、下面：1n 00 xyfffp 上面面力：上面面力：下面面力：下面面力：00 xyzfffp代入代入（A）满足满足 0mxyxzxxsssxyyzyysssxzyzzzsssmnfmnfmnf因此，因此，

4、 x= y= z=-p， xy= yz= zx=0 满足应力法的所满足应力法的所有方程，为真解有方程，为真解 5）求）求应变分量：应变分量：由物理方程得应变由物理方程得应变 11()(2)(1 2 )xxyzyzppEEpE 0zxyzxy6）求）求位移分量位移分量：代入几何方程并积分可求位移代入几何方程并积分可求位移 1231)21 (),()21 (zcycxEpzyfxEpu2312)21 (),()21 (xczcyEpxzfyEpv3121)21 (),()21 (ycxczEpyxfzEpw1(1 2 )(2)xyzpppEE例题例题2 等截面柱体在自重作用下等截面柱体在自重作用下

5、。 等截面柱体受体力等截面柱体受体力Fz= - g（在图示坐标系）（在图示坐标系） 为为柱的密度，柱的密度，g为重力加速度。为重力加速度。 而而 Fx=Fy=0 zFg xlzxy猜应力解：猜应力解： x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz 采用应力法及逆解法采用应力法及逆解法解：解：1）设）设应力：应力： x= y= xy= yz= zx=0 , z= gz 2）检查是否满足）检查是否满足平衡微分方程平衡微分方程 ji,j+Fi =0满足满足 000ZzyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxx011,ijkkij3）检查是否满足）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）应

6、力表示的变形协调方程（常体力时） 01, 0101, 0101, 01222222222222222xyzzxyyzxxyzzxyyzx将应力分量代入，显然均能满足。将应力分量代入，显然均能满足。4）检查是否满足）检查是否满足应力的边界条件应力的边界条件 xyxzxxsssxyyzyysssxzyzzzsssmnfmnfmnf 1、检查、检查在柱体侧边（主要边界）在柱体侧边（主要边界） 0if03 nn00zxxyxml00zxyxyml0)(0gzmlzyzx柱体侧边满足力的边界条件柱体侧边满足力的边界条件 2 2、检查在柱体底边（、检查在柱体底边（z=0）：）： l=m=0，n=-1 0i

7、XYZf0) 1(zx应力解代入力的边界条件应力解代入力的边界条件 0) 1(zy0)0() 1(g柱体底边满足力的边界条件柱体底边满足力的边界条件 3 3、检查在柱体顶边（、检查在柱体顶边（z=l）：）： l=m=0，n=1 面力未给出，但面力的合力与应力满足平衡。面力未给出，但面力的合力与应力满足平衡。因此，应力解因此，应力解 x= y= xy= yz= zx=0 , z= gz 可以作为可以作为本题的解答（在柱体本题的解答（在柱体顶顶边附近不能用）边附近不能用） 5）求）求应变分量：应变分量：由物理方程得应变由物理方程得应变 EgyxzEgz0zxyzxy6）求）求位移分量：位移分量：代

8、入几何方程并积分可求位移代入几何方程并积分可求位移 例例3：等直杆受均匀拉伸，求应力分布。：等直杆受均匀拉伸，求应力分布。2）检查是否满足平衡微分方程ji,j+Fi =0满足满足 011,ijkkij满足满足 解：解：1）设）设应力：应力：3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时） 4）检查是否满足应力的边界条件 xyxzxxsssxyyzyysssxzyzzzsssmnfmnfmnf应力法求解应力法求解1、侧面（、侧面（主边界须严格满足主边界须严格满足）边界：）边界：00 xxyzxlm00zxyxyml0 ()0zxzyPlmA柱体侧边满足力的边界条件柱体侧边满足力的边界条件 2、

9、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：由于由于P的分布关系不知，的分布关系不知，用等效力系代替：用等效力系代替：zzAAPdAdAPA满足满足5）求）求应变分量：应变分量：由物理方程得应变由物理方程得应变 Eyyxx0 xyzxyzEzz6）求）求位移分量位移分量：为了确定位移，要给出位移的限制条件，以避免位为了确定位移，要给出位移的限制条件，以避免位移的不唯一性。由于物体的刚性位移只包含六个量，移的不唯一性。由于物体的刚性位移只包含六个量，只要给出六个不重复的约束条件，即可确定出位移。只要给出六个不重复的约束条件，即可确定出位移。 代入几何方程

10、并积分可求位移代入几何方程并积分可求位移 yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzzxyyzx限制条件为：限制条件为：坐标原点的位移和转动为零坐标原点的位移和转动为零，即：，即：00u00可以得到六个条件可以得到六个条件 0 xyzxyz,00i juji ,1122kijkijkijj iee u由应变及几何方程，得到三个位移为由应变及几何方程，得到三个位移为 1,uxfy zE 2,vyfz xE 3,wzfx yE1 1）由）由 ，可知三个函数，可知三个函数 中无常数项；中无常数项； 00u3 , 2 , 1ifi为使柱体不能随便移动为使柱体不能随便移动,假设原点的位移为零假设原点的位

11、移为零;为使柱体不为使柱体不能随便转动能随便转动,规定过原点的微分线段规定过原点的微分线段dx、dy、dz中的任何中的任何两根保持不动。两根保持不动。2 2）由）由 ，即，即 、再微分一次得到，、再微分一次得到，同理可以得到其它两个等式，从而可知三个函数中无相应变量的同理可以得到其它两个等式，从而可知三个函数中无相应变量的交叉项。交叉项。 0yz0,32yyxfzxzf0,3222xyyxfxzxzf3）由由 ，得，得 ，同理可以得到其它等，同理可以得到其它等式，从而可知三个函数无相应变量二次以上的项，即仅有一次项。式，从而可知三个函数无相应变量二次以上的项，即仅有一次项。 0,32yyxfz

12、xzf0,232yyxf4 4）由）由 可知三个函数中无一次项。可知三个函数中无一次项。 ji ,00i ju从而得到位移为从而得到位移为 ：xEAPxEuyEAPyEvzEAPzEw解法解法2：再用位移法求解，位移边界条件可取，在再用位移法求解，位移边界条件可取，在x=y=z=0处处采用位移法及逆解法采用位移法及逆解法根据实验观察的结果，主体拉伸时的根据实验观察的结果，主体拉伸时的变形可直接设变形可直接设2）检查是否满足位移表示的）检查是否满足位移表示的平衡微分方程平衡微分方程222()0()0()0 xyzGGuFxGGvFyGGwFz满足3）求）求应变分量：应变分量：由几何方程由几何方程

13、xyzuaxvaywbz 102102102yzzxxywvyzuwzxvuxy2iibaLame-Navie方程4）求应力分量： 由物理方程5）检查是否满足）检查是否满足应力的边界条件应力的边界条件 1、侧面（主边界须严格满足）边界：、侧面（主边界须严格满足）边界：l，m与法线具体所在位置有关，与法线具体所在位置有关，n=000 xxyzxlm00zxyxyml0 ()0zxzyzlm解出：解出：2、上、下面（次边界）边界：、上、下面（次边界）边界：代入代入a值：值：再利用弹性摸量再利用弹性摸量E的关系的关系01xyz 边界可放松边界可放松zzAAPdAdAPA由由其中其中将将a、b代回：代

14、回：求得位移分量为：求得位移分量为：例题例题4yJMzxx0 xyzxyzzzyy其中 为绕 轴的截面惯性矩 zJzy为对称轴这组应力满足无体积力时的平衡方程和用应力表示的协调方程 2）检查是否满足平衡微分方程ji,j+Fi =0满足满足 011,ijkkij满足满足 解：1）设应力：3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时） 4）检查是否满足应力的边界条件 yJMzxx0 xyzxyzzzyya）侧面（n=0）应力边界条件 代入边界条件满足满足 000 xyzfffb b）右端面）右端面：由于外力M 的分布规律未知，只能用圣维南原理，写出静力等效的边界条件：方向余弦为 ：1x0,0y

15、zmn满足满足 0 xxAdAxxAydAM0 xyAdAyJMzxx0yyzzyzzxxy0 xxZAAAZZZMMMdAydAydASJJJ22xxAAAZZZZMMydAy dAy dAJJMJMJ5）求求应变分量应变分量：由物理方程得应变 xxzMyEJyyzMyEJ zzzMyEJ 0 xyzxyz6）求位移分量：1,zMuxyy zEJ22,2zMvyz xEJ 3,zMwyzx yEJ 前三式代入后三式（A）xzyzzzuMyxEJvMyyEJwMyzEJ 积分102102102yzzxxywvyzuwzxvuxyxyyzxz式中: 1 (y,z) 、2 (x,z) 、 3 (x,y)为待定函数。求解上述方程yzxzxy（