2001通州高级中学三角向量专题

1、2001通州高级中学三角向量专题例1.已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且()2···（）判断ABC的形状，并求sinAsinB的取值范围； （）若不等式a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围.解：（）()2···， ()2·()· ， 即()2··，即·0ABC 是以C为直角顶点的直角三角形 sinAsinBsinAcosAsin(A)，A(0，) ，sinAsinB的取值范围为 （）在直角ABC中， acsin

2、A，bccosA若a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc，对任意的满足题意的a、b、c都成立，则有k，对任意的满足题意的a、b、c都成立， c2sin2A(ccosAc)c2cos2A(csinAc)c2(csinAccosA) sin2AcosAcos2A sinA1cosAsinAcosAsinA 令tsinAcosA，t，设f(t)ttt11f(t)t11，当t1时 f(t)为单调递减函数，当t时取得最小值，最小值为23，即k23 k的取值范围为（，23例2.在锐角ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(tanA+tanB)=1+tan(p-A)tanB （1）若

3、a=2，ABC的外接圆半径R=2，求A，B，C ；（2）设f ( A，B )=2sinA cosA+2cos2 B，求f ( A，B )的取值范围解：由(tanA+tanB)=1+tan(p-A) tanB，得 ，tan(A+B)= -由锐角ABC知，A+B=，C=（1）由正弦定理，得 =2R ，sin A=又A为锐角，A=，B=-A=， 所求的A，B，C 分别为，（2）由上知，B=-A，0A，B，A而f ( A，B ) =sin2A+1+cos2B=sin2A+cos (-2A )+1=sin2A-cos2A-sin2A+1=sin2A-cos2A+1=sin(2A-)+1，又2A-，sin

4、(2A)1，f ( A，B )的取值范围为例3已知定义数列an：an0，且 （1）求的表达式； （2）求证数列是等比数列； （3）令，Sn为数列bn的前n项和g(x)=x+x2+x3+xn，试证明，并由此求出Sn关于n的表达式解：（1），所以所以，即 （2），数列是以1为首项，为公比的等比数列 （3）由（2）知，于是bn=，故，又当x1时，故，于是=例4. 已知为实数，函数 （1）若（），试求的取值范围；（2）若，求函数的最小值（1）即，又，所以，从而的取值范围是 （2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立由解得，所以当时，函数的最小值是； 下面求当时，函数的最小值当时，函数在上为减函数所以函数的最小值为 时，函数在上为减函数的证明：任取，因为，所以，由单调性的定义函数在上为减函数于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值 例5.已知函数 ，（）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。（）若为奇函数：（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围。（）在上存在最大值和最小值，（否则值域为R），又，由题意有，； （）若为奇函数，（1）若，使在（0，）上递增，在（，）上递减，则，这时，当时，